Oppgave

Andregradsfunksjoner

Oppgavene nedenfor skal løses uten bruk av hjelpemidler.

Denne sida er arkivert. Innholdet kan være utdatert.

3.3.1

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre minus 4 x pluss 3 er tegnet i et koordinatsystem der x-aksen går fra minus 2 til 7. Fire punkt på grafen er markert. Skjermutklipp.

I koordinatsystemet har vi tegnet grafen til funksjonen

$f (x) = x^{2} - 4 x + 3$

og markert noen punkter på grafen.

a) Skriv ned koordinatene til punktene A, B, C og D.

Vis fasit

$A (2, - 1) B (3, 0) C (0, 3) D (4, 3)$

b) Regn ut $f (0), f (2), f (3) og f (4)$ .

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} f (0) & = & 0^{2} - 4 \cdot 0 + 3 = 3 \\ f (2) & = & 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1 \\ f (3) & = & 3^{2} - 4 \cdot 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0 \\ f (4) & = & 4^{2} - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 \end{array}$

c) Forklar at koordinatene til punktene på grafen kan skrives som

$A (2, f (2)), B (3, f (3)), C (0, f (0)), D (4, f (4))$

Vis fasit

Når vi regner ut $f (2)$ , finner vi funksjonsverdien for $x = 2$ $f (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = - 1$ , det vil si punktet A på grafen. Et punkt $(b, f (b))$ vil derfor alltid ligge på grafen til $f$ for alle verdier for $b$ der funksjonen eksisterer.

3.3.2

Bestem hvilken vei grafene til funksjonene krummer (smil eller sur), og hvor de skjærer andreaksen, uten å tegne grafene.

a) $f (x) = x^{2} - 7 x + 12$

Vis fasit

Tallet for andregradsleddet er positivt. Grafen vil vende sin hule side opp (smile) og vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 12.

b) $g (x) = - 2 x^{2} + 2 x + 4$

Vis fasit

Tallet foran andregradsleddet er negativt. Grafen vil vende sin hule side ned (sur) og vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i 4.

c) $h (x) = - x^{2} - 8$

Vis fasit

Tallet foran andregradsleddet er negativt. Grafen vil vende sin hule side ned (sur) og vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i $- 8$ .

d) $i (x) = 3 x^{2} + 12 x$

Vis fasit

Tallet foran andregradsleddet er positivt. Grafen vil vende sin hule side opp (smile) og vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 0.

e) Sjekk svarene i a) ved å tegne grafene til funksjonene i et koordinatsystem.

Vis fasit

Fire grafer er tegnet med GeoGebra i et koordinatsystem der x-aksen går fra minus 5 til 6. Det er grafene til f av x er lik x i andre minus 7 x pluss 12, g av x er lik minus 2 x i andre pluss 2 x pluss 4, h av x er lik minus x i andre minus 8 og i av x er lik 3 x i andre pluss 12 x. Grafene til f og i har et bunnpunkt mens grafene til g og h har et toppunkt. Skjermutklipp. — Grafene i oppgaven

3.3.3

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = x^{2} + x - 6$ for verdier mellom $- 4$ og $3$ .

a) Tegn grafen til $f$ .

Vis fasit

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre pluss x minus 6 er tegnet i et koordinatsystem der x-aksen går fra minus 6 til 6. Skjermutklipp.

b) Finn bunnpunktet på grafen til $f$ .

Vis fasit

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre pluss x minus 6 er tegnet i et koordinatsystem der x-aksen går fra minus 6 til 6. Bunnpunktet med koordinatene minus 0,5 og 6,25 er tegnet inn. Skjermutklipp.

Vi bruker verktøyet "Nullpunkt" i GeoGebra. Bunnpunktet er $(- 0.5, - 6.25) .$

c) Finn nullpunktene til $f$ .

Vis fasit

Vi bruker verktøyet "Nullpunkt" i GeoGebra. Nullpunktene er $x = - 3$ og $x = 2$ .

d) Finn hvor grafen til $f$ skjærer $x$ -aksen. Hva kalles disse skjæringspunktene?

Vis fasit

Grafen skjærer $x$ -aksen for $x = - 3 og x = 2 .$ Skjæringspunktene kalles nullpunkter.

3.3.4

Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter $t$ sekunder er høyden $h$ meter over bakken gitt ved andregradsfunksjonen

$h (t) = 14, 1 t - 4, 9 t^{2} + 1, 8$

a) Tegn grafen til $h$ for de første 3 sekundene.

Vis fasit

Grafen til funksjonen h av t er lik 14,1 t minus 4,9 t i andre pluss 1,8 er tegnet for t-verdier mellom 0 og 3. Toppunktet A har koordinatene 1,44 og 11,94. Nullpunktet C har koordinatene 3 og 0. Linja y er lik 10 er også tegnet inn. Skjæringspunktene mellom linja og grafen til h er D med koordinatene 0,81 og 10 og E med koordinatene 2,07 og 10. Skjermutklipp.

b) Når er ballen 10 meter over bakken?

Vis fasit

Vi tegner linja $y = 10 .$ Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til h med kommandoen "Skjæring mellom to objekt". Se punktene D og E i løsningen til oppgave a). Ballen er 10 meter over bakken etter 0,8 sekunder og etter 2,1 sekunder.

c) Når treffer ballen bakken?

Vis fasit

Vi finner nullpunktet med verktøyet "Nullpunkt". Se punktet C i løsningen til oppgave a). Ballen treffer bakken etter 3 sekunder.

d) Når er ballen 15 meter over bakken?

Vis fasit

Vi ser av grafen i løsningen til oppgave a) at ballen aldri når denne høyden.

e) Hvor høyt når ballen, og når er ballen på sitt høyeste punkt?

Vis fasit

Vi finner toppunktet med verktøyet "Ekstremalpunkt". Se punkt A i løsningen til oppgave a). Ballen når sitt høyeste punkt etter omtrent 1,4 sekunder og har da en høyde på 12 meter over bakken.

3.3.5

Gitt grafene nedenfor.

Grafene til tre ulike andregradsfunksjoner er tegnet i et koordinatsystem med x-verdier fra minus 5 til 4. Graf A har et toppunkt med koordinatene minus 2 og 4 og nullpunkter for x er lik minus 4,8 og 0,8. Graf B har et bunnpunkt med koordinatene 1 og 1 og ingen nullpunkter. Graf C har et toppunkt med koordinatene 2 og minus 2 og ingen nullpunkter. Skjermutklipp.

Sett riktig bokstav (A, B, C) foran den andregradsfunksjonen du mener tilhører graf A, graf B eller graf C. Prøv deg uten å tegne grafene. Obs: Tre av funksjonsuttrykkene hører ikke til noen av grafene.

$\begin{array}{rcl} ^{} f (x) & = & x^{2} - 2 x + 2 \\ ^{} f (x) & = & - x^{2} - 2 x + 2 \\ ^{} f (x) & = & 2 x^{2} - 2 x + 2 \\ ^{} f (x) & = & - 0, 5 x^{2} - 2 x + 2 \\ ^{} f (x) & = & - 0, 5 x^{2} - 2 x - 6 \\ ^{} f (x) & = & - x^{2} + 4 x - 6 \end{array}$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} B f (x) & = & x^{2} - 2 x + 2 \\ f (x) & = & - x^{2} - 2 x + 2 \\ f (x) & = & 2 x^{2} - 2 x + 2 \\ A f (x) & = & - 0, 5 x^{2} - 2 x + 2 \\ f (x) & = & - 0, 5 x^{2} - 2 x - 6 \\ C f (x) & = & - x^{2} + 4 x - 6 \end{array}$

3.3.6

a) Se på de fire funksjonsuttrykkene nedenfor, og finn ut ved regning

hvilken vei grafene til funksjonene krummer (smil $☺$ eller sur $☹$ )
hvilke av grafene som har toppunkt, og hvilke som har bunnpunkt
hvor grafene skjærer andreaksen
likningen for symmetrilinja til hver av grafene
koordinatene til topp- eller bunnpunktet til hver av grafene
verdimengden til funksjonene
nullpunktene til funksjonene

$f (x) = x^{2} - 7 x + 12$

Vis fasit

Når $f (x) = a x^{2} + b x + c$ og $a > 0$ , vil grafen vende sin hule side opp (smile). Grafen vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 12 fordi konstantleddet $c = 12$ .

Symmetrilinja er $x = \frac{- b}{2 a} = \frac{7}{2}$ .

Bunnpunktet har koordinatene $(\frac{7}{2}, f (\frac{7}{2})) = (\frac{7}{2}, - \frac{1}{4})$ .

$f (\frac{7}{2}) = {(\frac{7}{2})}^{2} - 7 \cdot \frac{7}{2} + 12 = - \frac{1}{4}$

Verdimengden blir da $[- \frac{1}{4}, \to 〉$ .

For å finne nullpunktene løser vi likningen

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 0 \\ x^{2} - 7 x + 12 & = & 0 \\ x & = & \frac{7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 12}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2} \\ x_{1} & = & 3 x_{2} = 4 \end{array}$

Nullpunktene er 3 og 4.

$g (x) = - 2 x^{2} + 2 x + 4$

Vis fasit

Når $f (x) = a x^{2} + b x + c$ og $a < 0$ , vil grafen vende sin hule side ned (sur). Grafen vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i 4 fordi konstantleddet $c = 4$ .

Symmetrilinja er $x = \frac{- 2}{2 \cdot - 2} = \frac{1}{2}$ .

Toppunktet har koordinatene

$(\frac{1}{2}, \frac{9}{2})$

Verdimengden blir da $〈 \leftarrow, \frac{9}{2}]$ .

For å finne nullpunktene løser vi likningen

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & 0 \\ - 2 x^{2} + 2 x + 4 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 4}}{2 \cdot (- 2)} = \frac{- 2 \pm 6}{- 4} \\ x_{1} & = & - 1 x_{2} = 2 \end{array}$

Nullpunktene er $- 1$ og $2$ .

$h (x) = - x^{2} - 8$

Vis fasit

Når $f (x) = a x^{2} + b x + c$ og $a < 0$ , vil grafen vende sin hule side ned (sur). Grafen vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i $- 8$ fordi konstantleddet $c = - 8$ .

Symmetrilinja er $x = \frac{- b}{2 a} = \frac{0}{- 2} = 0$ .

Toppunktet faller da sammen med skjæring med andreaksen: $(0, - 8)$

Verdimengden er $⟨ \leftarrow, - 8]$ .

Grafen til ligger $h$ under $x$ -aksen. $V_{f} = ⟨ \leftarrow, - 8]$ . Funksjonen har derfor ingen nullpunkter.

$i (x) = 3 x^{2} + 12 x$

Vis fasit

Når $f (x) = a x^{2} + b x + c$ og $a > 0$ , vil grafen vende sin hule side opp (smile). Grafen vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 0 fordi konstantleddet $c = 0$ .

Symmetrilinja blir $x = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 12}{2 \cdot 3} = - 2$ .

Bunnpunktet har koordinatene $(- 2, i (- 2)) = (- 2, - 12)$ .

$i (- 2) = 3 \cdot {(- 2)}^{2} + 12 \cdot - 2 = - 12$

Verdimengden blir da $[- 12, \to 〉$ .

For å finne nullpunktene løser vi likningen

$\begin{array}{rcl} i (x) & = & 0 \\ 3 x^{2} + 12 x & = & 0 \\ 3 x (x + 4) & = & 0 \\ x_{1} & = & - 4 x_{2} = 0 \end{array}$

Nullpunktene er $- 4$ og 0.

b) Sjekk svarene i a) ved å tegne grafene til funksjonene i et koordinatsystem.

Vis fasit

3.3.7

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = x^{2} + x - 6$ for $x$ -verdier mellom $- 4$ og $3$ .

a) Tegn grafen til $f$ .

Vis fasit

b) Bestem bunnpunktet til grafen til $f$ grafisk og ved regning.

Vis fasit

Vi bruker verktøyet "Ekstremalpunkt" i GeoGebra.

Vi ser av grafen at bunnpunktet er $(- 0.5, - 6.25)$ .

Ved regning

Symmetrilinja blir $x = \frac{- 1}{2 \cdot 1} = - 0, 5$ .

y-verdien blir da $f (- 0, 5) = {(- 0, 5)}^{2} - 0, 5 - 6 = - 6, 25$ .

Bunnpunktet blir $(- 0, 5, - 6, 25)$ .

c) Bestem grafisk hvor grafen til $f$ skjærer koordinataksene.

Vis fasit

Grafen til $f$ skjærer førsteaksen i $(- 3, 0)$ og $(2, 0)$ .

Grafen til $f$ skjærer andreaksen i $(0, - 6)$ .

d) Bestem ved regning hvor grafen til $f$ skjærer koordinataksene.

Vis fasit

Grafen skjærer andreaksen når $x = 0$ :

$f (0) = - 6$

Skjæringspunktene er $(0, - 6)$ .

Grafen skjærer andreaksen når $y = 0$

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 0 \\ x^{2} + x - 6 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 6)}}{2} \\ x & = & - 3 \lor x = 2 \end{array}$

Grafen skjærer førsteaksen i punktene $(- 3, 0)$ og $(2, 0)$ .

e) Hva er verdimengden til $f$ ?

Vis fasit

I denne oppgaven skulle vi velge $x$ -verdier fra og med $- 4$ til og med $3$ .

Definisjonsmengden $D_{f}$ til funksjonen blir dermed $D_{f} = [- 4, 3]$ .

Den laveste verdien til funksjonen $f$ er $- 6, 25$ . Vi ser grafisk at den høyeste verdien til funksjonen er 6.

Verdimengden $V_{f}$ blir dermed $V_{f} = [- 6.25, 6]$ .

3.3.8

Andreas kaster et spyd.

Grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f (x) = - 0, 01 x^{2} + 0, 85 x + 2, 20$ beskriver banen spydet følger gjennom lufta.

Her er $x$ meter målt langs bakken fra stedet hvorfra Andreas kaster spydet, og $f (x)$ meter er høyden spydet har over bakken.

a) Tegn grafen til $f$ for $x \geq 0$ .

Vis fasit

Vi tegner grafen i GeoGebra ved å skrive inn

$f (x) = Funksjon (- 0.01 x^{2} + 0.85 x + 2.20, 0, \infty)$ .

b) Bestem skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og aksene.

Bestem toppunktet på grafen til $f$ .

Vis fasit

Vi finner skjæringspunktene mellom aksene og grafen ved å bruke kommandoen "Skjæring mellom to objekt".

Grafen skjærer $x$ -aksen for $x = 87, 5$ og $y$ -aksen for $y = 2, 2$ .

Vi finner toppunktet ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt".

Toppunktet er $(42.5, 20.3)$ .

c) Hva forteller svarene i b) om spydkastet?

Vis fasit

Andreas kaster ut spydet 2,2 meter over bakken. Spydet når en høyde på litt over 20 meter, og lengden på kastet er 87,5 meter.