Oppgave

Lineær regresjon

Denne sida er arkivert. Innholdet kan være utdatert.

3.2.80

Tabellen nedenfor viser folkemengden i Norge for noen utvalgte år i perioden fra 1950 til 2000.

År	1950	1960	1970	1980	1990	2000
Folkemengde	3 249 954	3 567 707	3 863 221	4 078 900	4 233 116	4 478 497

a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon $f$ som beskriver sammenhengen mellom år og folkemengde ved å bruke et digitalt verktøy. La $x$ være antall år etter 1950 og $f (x)$ folkemengden i millioner.

vis fasit

Jeg valgte «Regneark». La punktene fra tabellen nedenfor inn i kolonne A og B.

x	0	10	20	30	40	50
f(x)	3,2	3,6	3,9	4,1	4,2	4,5

Merk et området A1:B6. Jeg valgte så «Regresjonsanalyse» og «Analyser».

Som regresjonsmodell valgte jeg «Lineær»

Lineær regresjon i GeoGebra. Skjermbilde.

Funksjonen $f$ kan beskrives med uttrykket $f (x) = 0, 024 x + 3, 315$

Jeg valgte «Kopier til grafikkfeltet»

b) Hvor mye øker folkemengden per år ut fra uttrykket du fant i a)?

vis fasit

Av funksjonsuttrykket ser vi at stigningstallet er 0,024. Økningen i folkemengde per år er 0,024 millioner altså 24 000 individer.

c) Dersom denne utviklingen fortsetter, hva vil folkemengden i Norge være i år 2050?

vis fasit

Variabelen x er antall år etter 1950. Vi setter da $x$ lik 100 i funksjonen vi fant ovenfor og finner folkemengden i Norge i år 2050.

$f (100) = 0, 024 \cdot 100 + 3, 315 = 5, 715$

Folkemengden i Norge vil være 5 715 000 i år 2050 etter denne modellen.

3.2.81

Tabellen nedenfor viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for noen utvalgte år fra 1973 til 2000.

År	1973	1980	1987	1992	1996	2000
Utslipp til luft i 1000 tonn	156,4	136,4	73,1	37,0	33,1	27,3

a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon $S$ som beskriver sammenhengen mellom år og utslipp.

La x være antall år etter 1973 og $S (x)$ utslippet av svoveldioksid i tusen tonn.

vis fasit

Jeg bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen $S$ kan beskrives med uttrykket $S (x) = - 5, 39 x + 158$

b) Når var utslippet av svoveldioksid 100 tusen tonn?

vis fasit

Jeg finner skjæringspunktet mellom linjen $y = 100$ og grafen til funksjonen $S$ ved kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Jeg finner at utslippet av $S O_{2}$ er 100 tusen tonn omtrent 11 år etter 1973, dvs. i 1984.

c) Hva vil utslippet være i år 2010 dersom vi følger denne modellen? Kommenter svaret.

vis fasit

Utslipp i år 2010:

S av 37 er lik minus 41 komma 43. CASutklipp.

Utslippet kan ikke være negativt. Modellen ovenfor kan ikke brukes til å anslå utslipp i lang tid framover. Når vi ser på punktene og grafen ovenfor, ser vi at modellen passer bra fram til 1996. Modell en passer dårlig etter 1996.

3.2.82

Årstall	1998	2000	2002	2004	2006	2008
Prisindeks for frukt, F	100	105	103	106	110	107
Prisindeks for tobakk, T	100	118	124	154	162	175
Prisindeks for sko etc. S	100	104	99	88	83	84

Tabellen viser utviklingen i prisindeksen på frukt, tobakk og sko.

Plott punktene i tabellen i et koordinatsystem, og bruk regresjon i et digitalt hjelpemiddel til å finne en lineær sammenheng som viser prisutviklingen for hver av varene i tabellen ovenfor. La $x$ være antall år fra 1998, $F (x)$ prisutviklingen på frukt, $T (x)$ prisutviklingen for tobakk og $S (x)$ prisutviklingen for sko og annet fottøy.
vis fasit
Frukt: Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket $F (x) = 0, 8 x + 101$ .
Tobakk: Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket $T (x) = 7, 7 x + 100$ .
Sko og annet fottøy: Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket $S (x) = - 2, 2 x + 104$ .
Bruk modellene du fant i a), og finn prisindeksen på frukt, tobakk og sko og annet fottøy i 2005.
vis fasit
Prisindeks i 2005 for frukt er $0, 8 \cdot 8 + 101 = 107, 4$
Prisindeks i 2005 for tobakk er $7, 7 \cdot 8 + 100 = 161, 6$
Prisindeks i 2005 for sko og annet er $- 2, 2 \cdot 8 + 104 = 86, 4$
Hvordan synes du modellene dine stemmer med punktene?
vis fasit
Modellene stemmer ganske bra med de observerte verdiene.

3.2.83

Tabellen viser prisutviklingen for varegruppen klær i perioden 1997 til 2004.

År	1997	1998	1999	2000	2001	2003	2005	2008
Prisindeks	102,5	100	99,0	93,5	93,2	77,1	68,1	58,5

Bruk tabellen og et digitalt hjelpemiddel til å finne en lineær sammenheng mellom årstallene og prisutviklingen på klær.
La $x$ være antall år fra 1990 og $P (x)$ prisutviklingen på klær.
vis fasit
Jeg bruker GeoGebra og finner den lineære modellen
$P (x) = - 4, 3 x + 136$
Hva var prisindeksen i 2007 og 1990 etter denne modellen?
vis fasit
Prisindeks i 2007 er $P (17) = - 4, 3 \cdot 17 + 135, 9 = 62, 8$
Prisindeks i 1990 er $P (0) = - 4, 3 \cdot 0 + 135, 9 = 135, 9$
Tabellen ovenfor er hentet fra Statistisk sentralbyrå (SSB). Ifølge SSB var prisindeksen for varegruppen klær i 2007 på 61,6 og i 1990 på 99,5. Hvordan stemmer denne indeksen med indeksen du fikk ved å bruke modellen?
vis fasit
Modellen bygger på de observerte verdiene i perioden 1997 til 2008. I 2007 gir modellen en prisindeks på 62,8, mens den i virkeligheten var 61,6. Vi kan dermed si at modellen treffer meget bra når det gjelder 2007.
I perioden fra 1997 til 2008 falt prisen på klær. Modellen vår vil dermed vise at prisen på klær falt fra 1990 og framover. Prisindeksen på 133,3 vil være den høyeste i hele perioden 1990 – 2008.
Når den virkelige prisindeksen i 1990 var på 99,5, betyr det at vår modell treffer dårlig. Prisutviklingen på klær følger ikke vår modell i perioden 1990 til 1997. Fra 1990 fram til 1997 har det faktisk vært en økning i prisindeksen.