Rasjonale ulikheter

Problemet er at når vi har en brøkulikhet med $x$ i nevner, vil nevneren være negativ for noen $x$-verdier og positiv for andre $x$-verdier. Da blir det vanskelig å forholde seg til regelen som sier at vi må snu ulikhetstegnet når vi multipliserer en ulikhet med et negativt tall.

Vi løser rasjonale ulikheter på tilsvarende måte som andregrads- og tredjegradsulikheter. Vi må samle alle ledd på den ene siden av ulikhetstegnet og faktorisere.

Eksempel

Vi skal løse ulikheten

$\frac{x+1}{2x-1}⩾1 , x\ne \frac{1}{2}$

Vi må forutsette at $x$ er forskjellig fra $\frac{1}{2}$, for ellers får vi null i nevneren.

Vi ordner ulikheten slik at vi får null på høyre side

$\begin{array}{rcl} \frac{x+1}{2x-1}& ⩾ & 1\\ & & \\ \frac{x+1}{2x-1}-1& ⩾& 0\end{array}$

Vi trekker sammen til én brøk og faktoriserer teller og nevner hvis nødvendig.

$\begin{array}{rcl}\frac{x+1}{2x-1}-1·\frac{\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)}& ⩾ & 0\\ & & \\ \frac{x+1-2x+1}{2x-1}& ⩾& 0\\ & & \\ \frac{2-x}{2x-1}& ⩾& 0\end{array}$

Telleren er null når $2-x=0$, det vil si når $x=2$. Nevneren er null når $2x-1=0$, det vil si når $x=\frac{1}{2}$, som vi også slo fast i starten på eksempelet. Det er bare for disse to verdiene av $x$ at brøken kan skifte fortegn. Vi tar «stikkprøver» og undersøker fortegnet til brøken i de aktuelle intervallene $\langle \leftarrow , -\frac{1}{2}\rangle , ⟨\frac{1}{2}, 2⟩ \mathrm{og} ⟨2, \to ⟩$.

For $x=0$ får vi

$\frac{2-0}{2·\left(0\right)-1}=\frac{\left(+2\right)}{\left(-1\right)}$ Uttrykket er negativt.

For $x=1$ får vi

$\frac{2-1}{2·\left(1\right)-1}=\frac{\left(+1\right)}{\left(+1\right)}$ Uttrykket er positivt.

For $x=3$ får vi

$\frac{2-3}{2·\left(3\right)-1}=\frac{\left(-1\right)}{\left(+5\right)}$ Uttrykket er negativt.

Vi setter opp et fortegnsskjema for brøken $\frac{2-x}{2x-1}$. NB! Legg merke til at brøken $\frac{2-x}{2x-1}$ ikke er definert når nevneren blir 0. I fortegnsskjemaet markerer vi dette med to pilspisser som møtes eller et kryss for $x=\frac{1}{2}$.

Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av $x$ brøken $\frac{x+1}{2x-1}⩾1$, det vil si at $\frac{2-x}{2x-1}⩾0$. Løsningen på oppgaven blir at $x$ må være større enn $\frac{1}{2}$ og mindre enn eller lik 2, $x\in ⟨\frac{1}{2}, 2]$.

Merk at her kunne uttrykket vårt være null, og da tar vi med 2 i løsningen.

Ved CAS i GeoGebra får vi samme løsning.

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \frac{\mathrm{x}+1}{2\mathrm{x}-1}\ge 1\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \left\{\frac{1}{2}<\mathrm{x}\le 2\right\}\end{array}}$