Rasjonale funksjoner

Den vertikale asymptoten finner vi ved å sette nevneren i funksjonsuttrykket lik 0.

Vi får $x+2=0$ som gir $x=-2$.

Den vertikale asymptoten blir $x=-2$.

Den horisontale asymptoten finner vi ved å la $x$-leddet gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall. Konstantene i brøken betyr da minimalt, og vi kan skrive $f\left(x\right)=\frac{x}{x+2}\approx \frac{x}{x}=1$.

Horisontal asymptote blir  $y=1$.

I GeoGebra kan vi finne begge asymptotene ved kommandoen Asymptote(f).

Vi har $x+2=0$ som gir den vertikale asymptoten $x=-2$.

Den horisontale asymptoten finner vi ved å la $x$-leddet gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall. Konstantene i brøken betyr da minimalt, og vi kan skrive $g\left(x\right)=\frac{3x-1}{x+2}\approx \frac{3x}{x}=3$.

Horisontal asymptote blir $y=3$.

Vi har $2x+4=0$ som gir den vertikale asymptoten $x=-2$.

Den horisontale asymptoten finner du ved å la $x$-leddet gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall. Konstantene i brøken betyr da minimalt, og vi kan skrive $h\left(x\right)=\frac{2}{2x+4}\approx \frac{0}{2x}=0$.

Horisontal asymptote blir $y=0$ (altså $x$-aksen).

Vi har $x-1=0$ som gir den vertikale asymptoten $x=1$.

Her har vi i tillegg en skråasymptote $y=x+1$.

(Du finner eventuelle skråasymptoter i GeoGebra på samme måte som du finner vertikale og horisontale asymptoter.)

Vi bruker kommandoen $\text{ K}\left(\text{x}\right)=\mathrm{Funksjon}\left(\frac{0.49\text{x}+59}{\text{x}}, 0, 1400\right)$ til å tegne funksjonen.

Når Morten ringer svært mye, vil den faste månedsavgiften bety svært lite, og kostnadene per minutt vil nærme seg 49 øre. Se linja $y=0,49$ .

Vi skriver inn punktet $(300, K(300\left)\right)$. Se punkt $A$ på grafen. Prisen per minutt blir 69 øre når Morten ringer 300 minutter en måned.

Vi tegner linja $y=0,60$. Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til $K$ med verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Se punkt $B$ på grafen. Han må ringe 536 minutt dersom prisen per minutt skal bli 60 øre.

$K\left(300\right)=150·300+10 500=55 500$.

Det koster 55 500 kr å produsere 300 sykkelhjelmer.

$\begin{array}{ccl}f\left(x\right)& =& \frac{150x+10500}{x}\\ & =& \frac{150x}{x}+\frac{10500}{x}\\ & =& \frac{10500}{x}+150\end{array}$

Vi bruker kommandoen

 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{Funksjon}\left(\frac{10500}{\mathrm{x}}+150, 0, 500\right)$

til å tegne grafen.

Med en totalkostnad på 84 300 kr produseres det 492 sykkelhjelmer.

$\begin{array}{rcl}84 300& =& 150x+10 500\\ 84 300-10 500& =& 150x\\ x& =& 492\end{array}$

Dette gir en gjennomsnittskostnad på

$\begin{array}{rcl}f\left(492\right)& =& \frac{10 500}{492}+150\\ & =& 171,34\end{array}$

Når det produseres hjelmer for 84 300 kr, koster hver hjelm 171 kr.

Vi kan ikke ha null i nevner, altså er funksjonen ikke definert for $x=-2$.

Vi sjekker bruddpunktet $x=-2$. Hvis dette skal være en asymptote, kan ikke $x=-2$ være et nullpunkt for telleren også. Vi ser at ${\left(-2\right)}^2-4=4-4=0$, altså har funksjonen ingen vertikal asymptote.

Vi sjekker om vi kan finne en fast verdi som funksjonsverdien nærmer seg hvis vi lar $x$ gå mot uendelig.

$\frac{x^2-4}{x+2}\to \frac{x^2}{x}=x \mathrm{når} x\to \infty$

Vi finner ingen fast verdi, altså har ikke funksjonen noen horisontal asymptote.

$\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{\cancel{\left(x+2\right)}\left(x-2\right)}{\cancel{x+2}}=x-2$.

Grafen blir ei rett linje med brudd for $x=-2$.

GeoGebra markerer ikke bruddpunktet, så vi har markert det manuelt ved å legge på en tekstboks med et kryss.

Vi ser at vi har $x-2$ i nevneren. Dette uttrykket er null når $x=2$, altså er funksjonen ikke definert for denne $x$-verdien.

Hvis en rasjonal funksjon skal ha en horisontal asymptote, må vi finne en verdi som funksjonen går mot når $x$ går mot pluss uendelig eller minus uendelig. Da ser vi bort fra konstantleddene i uttrykket:

$\frac{x^2-9}{x-2}\to \frac{x^2}{x}=x \mathrm{når} x\to \infty$

Vi ser at vi her ikke finner noen fast verdi, altså har ikke funksjonen en horisontal asymptote.

Siden vi har $-5$ i rest når vi utfører polynomdivisjonen, får vi uttrykket over.

$\begin{array}{l} \left(x^2-9\right):\left(x-2\right)=x+2\\ \underline{-\left(x^2-2x\right)}\\ 2x-9\\ \underline{-\left(2x-4\right)}\\ -5\end{array}$

Vi ser at linja $y=x+2$ er en asymptote til $g\left(x\right)$.