Binomisk fordeling. Forventningsverdi, varians og standardavvik

I S1 lærte du om binomisk sannsynsfordeling. I ei binomisk sannsynsfordeling er tre vilkår oppfylte: Vi har berre to moglege utfall, sannsynet er lik i alle delforsøka, og alle delforsøka er uavhengige av kvarandre. Vi skal utleie formlar for forventningsverdi, varians og standardavvik i ei slik fordeling.

Vi tek utgangspunkt i eit døme der du skal ha ein fleirvalsprøve i matematikk, med ti oppgåver og fire svaralternativ på kvar oppgåve.

Vi lar den stokastiske variabelen $$ Y$$ vere talet på rette svar på éi oppgåve. $$ Y$$ kan då ha verdien 0 eller 1, noko som gir følgande sannsynsfordeling:

No kan vi rekne ut forventningsverdien, variansen og standardavviket til $$ Y$$:

$$ \begin{array}{rcl}E\left(Y\right) & =& 0·\frac{3}{4}+1·\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\\ Var\left(Y\right) & =& {\left(0-\frac{1}{4}\right)}^2·\frac{3}{4}+{\left(1-\frac{1}{4}\right)}^2·\frac{1}{4}\\ & =& \frac{3}{4^3}+\frac{9}{4^3}=\frac{12}{4^3}=\frac{3}{16}\\ ST\left(Y\right) & =& \sqrt{\frac{3}{16}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\end{array}$$

Studer verdiane til forventningsverdien og standardavviket. Kan du sjå ein samanheng med sannsyna i tabellen?

Vi lar no $$ X$$ vere talet på rette svar på prøven. Då har vi at

$$ X=Y_1+Y_2 +...+ Y_{10}=10·Y$$.

Vi kan no finne forventningsverdien, variansen og standardavviket til $$ X$$ ved hjelp av det vi veit om summar av stokastiske variablar:

$$ \begin{array}{rcl}E\left(X\right) & =& 10·E\left(Y\right)=10·\frac{1}{4}=2,5\\ Var\left(X\right) & =& 10·Var\left(Y\right)=10·\frac{3}{16}=\frac{30}{16}=\frac{15}{8}\\ ST\left(X\right) & =& \sqrt{\frac{15}{8}}\end{array}$$

Vi kan generalisere desse utrekningane til formlar for forventningsverdi, varians og standardavvik i binomiske sannsynsfordelingar. Vi lar no variabelen $$ Y$$ vere talet på suksessar i eitt delforsøk, og som i dømet over kan han få verdien 0 eller 1 og får følgande sannsynsfordeling:

Vi reknar ut forventningsverdi og varians og ser at samanhengen vi fann over, gjeld generelt:

$$ \begin{array}{rcl}E\left(Y\right) & =& 0·\left(1-p\right)+1·p\\ & =& p\\ Var\left(Y\right)\hspace{0.17em}& =& {\left(0-p\right)}^2·\left(1-p\right)+{\left(1-p\right)}^2·p\\ & =& p^2-p^3+p-2p^2+p^3\\ & =& p-p^2\\ & =& p\left(1-p\right)\end{array}$$

Vi lar no variabelen $$ X$$ vere talet på suksessar i eit binomisk forsøk med $$ n$$ delforsøk. Då har vi at

$$ X=Y_1+Y_2 +...+ Y_n$$

På same måte som over har vi at

$$ \begin{array}{rcl}E\left(X\right) & =& n·p\\ Var\left(X\right) & =& n·p·\sqrt{1-p}\\ ST\left(X\right) & =& \sqrt{n·p·\left(1-p\right)}\end{array}$$

Vi kan no formulere følgande: