Oppgåve

Varians og standardavvik

Vi jobbar med oppgåver om varians og standardavvik.

4.1.21

La $X$ vere talet på humrar ein hummarfiskar får i ei tilfeldig hummarteine. Sannsynsfordelinga for $X$ er gitt i tabellen:

Sannsynsfordeling
$x$	0	1	2	3	4
$P (X = x)$	0,55	0,30	0,10	0,04	0,01

Rekn ut forventningsverdien, variansen og standardavviket.

Løysing

$\begin{array}{rcl} μ & = & 0 \cdot 0, 55 + 1 \cdot 0, 30 + 2 \cdot 0, 10 + 3 \cdot 0, 04 + 4 \cdot 0, 01 \\ = & 0, 30 + 0, 20 + 0, 12 + 0, 04 \\ = & 0, 66 \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{rclc} V a r (X) & = & {(0 - 0, 66)}^{2} \cdot 0, 55 + {(1 - 0, 66)}^{2} \cdot 0, 30 + {(2 - 0, 66)}^{2} \cdot 0, 10 \\ + {(3 - 0, 66)}^{2} \cdot 0, 04 + {(4 - 0, 66)}^{2} \cdot 0, 01 \\ = & 0, 24 + 0, 03 + 0, 18 + 0, 22 + 0, 11 \\ = & 0, 78 \end{array} \end{array}$

$σ = \sqrt{V a r (X)} = \sqrt{0, 78} = 0, 883 \approx 0, 88$

4.1.22

Overflata til eit tetraeder består av fire likesida trekantar. Dei ulike sidene er markerte med høvesvis 1, 2, 3 og 4 auge.

Vi kastar to slike "terningar". La $X$ vere produktet av talet på auge på dei to sidene som vender ned mot bordet.

a) Lag ei oversikt over utfallsrommet til $X$ .

Løysing

Vi lagar ein tabell for å skaffe oversikt:

utfallsrom
	1	2	3	4
1	1	2	3	4
2	2	4	6	8
3	3	6	9	12
4	4	8	12	16

Dette gir følgande utfallsrom:

$U_{X} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16\}$

b) Set opp sannsynsfordelinga til $X$ .

Løysing

Vi les av tabellen i a) og oppgir alle sannsyna i sekstendelar:

sannsynet i sekstendelar
$x$	1	2	3	4	6	8	9	12	16
$P (X = x)$	$\frac{1}{16}$	$\frac{2}{16}$	$\frac{2}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{2}{16}$	$\frac{2}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{2}{16}$	$\frac{1}{16}$

c) Rekn ut forventningsverdien, variansen og standardavviket til $X$ .

Løysing

$\begin{array}{ccl} E (X) & = & 1 \cdot \frac{1}{16} + 2 \cdot \frac{2}{16} + 3 \cdot \frac{2}{16} + 4 \cdot \frac{3}{16} + 6 \cdot \frac{2}{16} + 8 \cdot \frac{2}{16} \\ + 9 \cdot \frac{1}{16} + 12 \cdot \frac{2}{16} + 16 \cdot \frac{1}{16} \\ = & \frac{1}{16} + \frac{4}{16} + \frac{6}{16} + \frac{12}{16} + \frac{12}{16} + \frac{16}{16} + \frac{9}{16} + \frac{24}{16} + \frac{16}{16} \\ = & \frac{100}{16} = \frac{25}{4} = 6, 25 \end{array}$

$\begin{array}{cl} \begin{array}{ccl} V a r (X) & = & {(1 - 6, 25)}^{2} \cdot \frac{1}{16} + {(2 - 6, 25)}^{2} \cdot \frac{2}{16} + {(3 - 6, 25)}^{2} \cdot \frac{2}{16} \\ + {(4 - 6, 25)}^{2} \cdot \frac{3}{16} + {(6 - 6, 25)}^{2} \cdot \frac{2}{16} \\ + {(8 - 6, 25)}^{2} \cdot \frac{2}{16} + {(9 - 6, 25)}^{2} \cdot \frac{1}{16} \\ + {(12 - 6, 25)}^{2} \cdot \frac{2}{16} + {(16 - 6, 25)}^{2} \cdot \frac{1}{16} \\ = & \frac{27, 6}{16} + \frac{36, 1}{16} + \frac{21, 1}{16} + \frac{15, 2}{16} + \frac{0, 5}{16} + \frac{6, 1}{16} + \frac{7, 6}{16} + \frac{66, 1}{16} + \frac{95}{16} \\ = & \frac{275, 3}{16} = 17, 20 \approx 17, 2 \end{array} \end{array}$

$σ = \sqrt{V a r (X)} = \sqrt{17, 2} = 4, 14 \approx 4, 1$

d) Lag eit program som simulerer kast med to slike tetraeder og få programmet til å rekne ut gjennomsnittet, variansen og standardavviket. Samanlikn med svara du rekna ut i c).

Løysing

Her er to ulike måtar å skrive programmet på. Kanskje har du eit tredje alternativ som verkar minst like godt?

python

1import numpy as np
2
3rng = np.random.default_rng() 
4
5N = 100000
6X = np.zeros(N) #ein array for resultata av kast
7V = np.zeros(N) #ein array for kvadratavvika
8
9tetra_1 = (rng.integers(1, 5, size = N)) #kastar den eine terningen tilfeldig
10tetra_2 = (rng.integers(1, 5, size = N)) #kastar den andre terningen tilfeldig
11
12for i in range(N):     #finn produkta av dei to terningane i kvart kast
13    X[i] = tetra_1[i]*tetra_2[i]
14
15snitt = sum(X)/N       #finn gjennomsnittsverdien
16
17for i in range(N):     #reknar ut kvadratavviket i kvart tilfelle
18    V[i] = (snitt-X[i])**2
19    
20varians = sum(V)/N    #finn variansen
21avvik = np.sqrt(varians)  #reknar ut kvadratavviket
22
23print(f"Gjennomsnittet er {snitt:.2f}, variansen er {varians:.1f}, og standardavviket er {avvik:.1f}.")

python

1import numpy as np
2
3N = 100000
4U = [1,2,2,3,3,4,4,4,6,6,8,8,9,12,12,16]     #listar opp alle dei moglege utfalla i rett tal
5X = np.zeros(N) #ein array for resultata av kast
6V = np.zeros(N) #ein array for kvadratavvika
7
8for i in range(N):
9    X[i] = np.random.choice(U) #vel tilfeldig eit utfall frå utfallsrommet og legg det i arrayen
10
11snitt = sum(X)/N   #finn gjennomsnittet
12    
13for i in range(N):     #reknar ut kvadratavviket i kvart tilfelle
14    V[i] = (snitt-X[i])**2
15    
16varians = sum(V)/N    #finn variansen
17avvik = np.sqrt(varians)  #reknar ut kvadratavviket
18
19print(f"Gjennomsnittet er {snitt:.2f}, variansen er {varians:.1f}, og standardavviket er {avvik:.1f}.")

Når vi køyrer desse programma mange gonger, ser vi at svara varierer veldig lite. Vi kan få dei til å variere endå mindre ved å køyre simuleringa fleire gonger, det vil seie ved å gjere N større.

4.1.23

Sannsynsfordelinga til ein stokastisk variabel $X$ er gitt ved

Sannsynsfordeling
$x$	1	2	3	4
$P (X = x)$	0,40	$a$	0,20	0,10

a) Bestem $a$ .

Løysing

Vi har at summen i ei sannsynsfordeling alltid skal vere lik 1:

$\begin{array}{rcl} 0, 40 + a + 0, 20 + 0, 1 & = & 1 \\ a & = & 1 - 0, 70 \\ a & = & 0, 30 \end{array}$

b) Finn standardavviket til $X$ .

Løysing

Vi må først finne forventningsverdien:

$μ = 1 \cdot 0, 4 + 2 \cdot 0, 3 + 3 \cdot 0, 2 + 4 \cdot 0, 1 = 2, 0$

Så kan vi rekne ut variansen og standardavviket:

$\begin{array}{rcl} V a r (X) & = & {(1 - 2)}^{2} \cdot 0, 4 + {(2 - 2)}^{2} \cdot 0, 3 \\ + {(3 - 2)}^{2} \cdot 0, 2 + {(4 - 2)}^{2} \cdot 0, 1 \\ = & 0, 4 + 0 + 0, 2 + 0, 4 \\ = & 1 \\ σ & = & \sqrt{1} = 1 \end{array}$

4.1.24

To maskiner, $A$ og $B$ , pakkar lakrispastillar i esker. Talet på pastillar i eska varierer litt. La $X$ vere talet på pastillar i eskene til pakkemaskin $A$ og $Y$ vere talet på pastillar i eskene til pakkemaskin $B$ .

Sannsynsfordelingane til $X$ og $Y$ er gitt nedanfor.

Maskin $A$ :

maskin a
$x$	28	29	30	31	32
$P (X = x)$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{20}$

Maskin $B$ :

maskin b
$y$	28	29	30	31	32
$P (Y = y)$	$\frac{2}{25}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{50}$

a) Finn forventningsverdi, varians og standardavvik til $X$ og $Y$ .

Løysing

$\begin{array}{rcl} E (X) & = & 28 \cdot \frac{1}{10} + 29 \cdot \frac{1}{4} + 30 \cdot \frac{1}{2} + 31 \cdot \frac{1}{10} + 32 \cdot \frac{1}{20} \\ = & 28 \cdot \frac{2}{20} + 29 \cdot \frac{5}{20} + 30 \cdot \frac{10}{20} + 31 \cdot \frac{2}{20} + 32 \cdot \frac{1}{20} \\ = & \frac{2 \cdot 28 + 5 \cdot 29 + 10 \cdot 30 + 2 \cdot 31 + 1 \cdot 32}{20} \\ = & \frac{595}{20} = 29, 75 \end{array}$

$\begin{array}{ccl} V a r (X) & = & {(28 - 29, 75)}^{2} \cdot \frac{1}{10} + {(29 - 29, 75)}^{2} \cdot \frac{1}{4} + {(30 - 29, 75)}^{2} \cdot \frac{1}{2} \\ + {(31 - 29, 75)}^{2} \cdot \frac{1}{10} + {(32 - 29, 75)}^{2} \cdot \frac{1}{20} \\ = & 3, 06 \cdot \frac{2}{20} + 0, 56 \cdot \frac{5}{20} + 0, 06 \cdot \frac{10}{20} + 1, 56 \cdot \frac{2}{20} + 5.06 \cdot \frac{1}{20} \\ \approx & 0, 89 \end{array}$

$S D (X) = \sqrt{0, 89} \approx 0, 94$

$\begin{array}{rcl} E (Y) & = & 28 \cdot \frac{2}{25} + 29 \cdot \frac{3}{20} + 30 \cdot \frac{3}{5} + 31 \cdot \frac{3}{20} + 32 \cdot \frac{1}{50} \\ = & 28 \cdot \frac{8}{100} + 29 \cdot \frac{15}{100} + 30 \cdot \frac{60}{100} + 31 \cdot \frac{15}{100} + 32 \cdot \frac{2}{100} \\ = & \frac{8 \cdot 28 + 15 \cdot 29 + 60 \cdot 30 + 15 \cdot 31 + 2 \cdot 32}{100} \\ = & \frac{2988}{100} = 29, 88 \end{array}$

$\begin{array}{ccl} V a r (Y) & = & {(28 - 29, 88)}^{2} \cdot \frac{2}{25} + {(29 - 29, 88)}^{2} \cdot \frac{3}{20} + {(30 - 29, 88)}^{2} \cdot \frac{3}{5} \\ + {(31 - 29, 88)}^{2} \cdot \frac{3}{20} + {(32 - 29, 88)}^{2} \cdot \frac{1}{50} \\ = & 3, 53 \cdot \frac{2}{20} + 0, 77 \cdot \frac{5}{20} + 0, 01 \cdot \frac{10}{20} + 1, 25 \cdot \frac{2}{20} + 4, 49 \cdot \frac{1}{20} \\ \approx & 0, 69 \end{array}$

$S D (Y) = \sqrt{0, 69} \approx 0, 83$

b) Kva maskin produserer esker med minst spreiing i talet på pastillar?

Løysing

Standardavviket til $Y$ er mindre enn standardavviket til $X$ . Det betyr at maskin $B$ produserer pastillesker med minst spreiing i talet på pastillar.

c) Lag eit program som lar brukaren oppgi sannsynsfordeling, og som så reknar ut forventningsverdi, varians og standardavvik. Test programmet ved å køyre det på maskin A og B.

Løysing

Forslag til program:

python

1import numpy as np
2
3X = input("Oppgi dei moglege verdiane X kan ha. Skil mellom verdiane med komma.")
4p_x = input("Oppgi dei tilhøyrande sannsyna. Skil med komma.")
5
6X = X.split(",")
7for i in range(len(X)):
8    X[i] = float(X[i])
9X = np.array(X)
10
11p_x = p_x.split(",")
12for i in range(len(p_x)):
13    p_x[i] = float(p_x[i])
14p_x = np.array(p_x)
15
16e = sum(X*p_x)
17v = sum((X-e)**2*p_x)
18
19print(f"Forventningsverdien blir {e:.2f}.")
20print(f"Variansen blir {v:.2f}.")
21print(f"Standardavviket blir {np.sqrt(v):.2f}.")

I linjene 3 og 4 hentar vi dataa frå brukaren.

Linjene 6 og 11: Vi splittar opp informasjonen frå brukaren og legg tala i ei liste.

Linjene 7–8 og 12–13: Vi gjer om elementa til tal.

Linjene 9 og 14: Vi transformerer til array slik at vi får moglegheit til å rekne med elementa.

Linje 16: Vi finn forventningsverdien.

Linje 17: Vi finn variansen.

Linjene 19–21: Vi skriv ut dei tre verdiane.

Legg merke til at du må oppgi sannsyna som desimaltal (med punktum som desimalskiljeteikn), og ikkje som brøk.

4.1.21

4.1.22

4.1.23

4.1.24

Reglar for bruk av teksten "Varians og standardavvik"