Oppgåve

Binomisk fordeling. Forventningsverdi, varians og standardavvik

Her får du jobbe med oppgåver om forventningsverdi, varians og standardavvik i binomisk sannsynsfordeling.

4.1.41

Ein fleirvalsprøve består av tre oppgåver. Kvar oppgåve er eit spørsmål med fem svaralternativ, og oppgåva skal løysast ved å krysse av for eit rett svaralternativ. Du er ikkje førebudd, og alle svaralternativa verkar like sannsynlege. Vi reknar med at oppgåvene er uavhengige av kvarandre.

a) Kva er sannsynet for å svare rett på eitt enkelt spørsmål?

Løysing

$P (r e t t s v a r) = \frac{1}{5} = 0, 20$

La $X$ vere talet på rette svar på 3 spørsmål. $X$ har følgande sannsynsfordeling:

sannsynsfordeling
$x$	0	1	2	3
$P (X = x)$	0,512	0,384	0,096	0,008

b) Finn forventningsverdien $μ$ til $X$ ved å bruke formelen $μ = E (X) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (X = x_{i})$ .

Løysing

$\begin{array}{rcl} μ & = & 0 \cdot 0, 512 + 1 \cdot 0, 384 + 2 \cdot 0, 096 + 3 \cdot 0, 008 \\ = & 0, 384 + 0, 192 + 0, 024 \\ = & 0, 6 \end{array}$

c) Finn forventningsverdien $μ$ til $X$ ved å bruke formelen for forventningsverdien i ei binomisk fordeling.

Løysing

$μ = n \cdot p = 3 \cdot 0, 2 = 0, 6$

d) Finn standardavviket $σ$ til $X$ .

Løysing

Vi har at $σ = \sqrt{n p (1 - p)} = \sqrt{2 \cdot 0, 2 \cdot 0, 8} = \sqrt{0, 48} \approx 0, 7$ .

e) Finn $P (X \leq 1)$ og forklar med ord kva du har funne.

Løysing

$P (x \geq 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0, 512 + 0, 384 = 0, 896$

Dette betyr at det er 89,6 % sjanse for at du ikkje får meir enn eitt riktig svar på prøven om du berre gjettar.

4.1.42

Ein skiskyttar har ein treffprosent på 80 %. La $X$ vere talet på treff på 10 skot. Vi føreset at talet på treff er binomisk fordelt.

a) Finn forventningsverdi $μ$ og standardavvik $σ$ til $X$ .

Løysing

Vi har ei binomisk fordeling med $n = 10$ og $p = 0, 8$ :

$\begin{array}{rcl} μ & = & n \cdot p = 10 \cdot 0, 8 = 8 \\ σ & = & \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{8 \cdot 0, 2} = \sqrt{1, 6} \approx 1, 26 \end{array}$

La $Y$ vere talet på treff på 20 skot. Vi føreset her òg at talet på treff er binomisk fordelt.

b) Finn forventningsverdi $μ$ og standardavvik $σ$ til $Y$ .

Løysing

Vi har ei binomisk fordeling med $n = 20$ og $p = 0, 8$ :

$\begin{array}{rcl} μ & = & n \cdot p = 20 \cdot 0, 8 = 16 \\ σ & = & \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{16 \cdot 0, 2} = \sqrt{3, 2} \approx 1, 79 \end{array}$

4.1.43

a) I ei binomisk fordeling har vi $n = 10$ og $μ = 2, 5$ . Finn $p$ og $σ$ i denne fordelinga.

Løysing

Vi veit at $μ = n p$ og $σ = \sqrt{n p (1 - p)}$ .

Dette gir følgande:

$\begin{array}{rcl} μ & = & n p \\ 2, 5 & = & 10 p \\ p & = & \frac{2, 5}{10} = \frac{25}{100} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} σ & = & \sqrt{n p (1 - p)} \\ = & \sqrt{\frac{25}{10} (1 - \frac{1}{4})} \\ = & \sqrt{\frac{100}{40} - \frac{25}{40}} \\ = & \sqrt{\frac{75}{40}} = \sqrt{\frac{15}{8}} \end{array}$

b) I ei anna binomisk fordeling er $μ = 10$ og $σ$ = 3. Kva er $n$ og $p$ i denne fordelinga?

Løysing

Vi bruker formlane slik som i a:

$\begin{array}{rcl} σ^{2} & = & n p (1 - p) \\ 3^{2} & = & 10 (1 - p) \\ 9 & = & 10 - 10 p \\ 10 p & = & 1 \\ p & = & 0, 1 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} n p & = & 10 \\ n \cdot 0, 1 & = & 10 \\ n & = & 100 \end{array}$

Vi har at $n = 100$ og $p = 0, 1$ .

4.1.41

4.1.42

4.1.43

Reglar for bruk av teksten "Binomisk fordeling. Forventningsverdi, varians og standardavvik"