Integrasjon ved delbrøkoppspalting
Vi har tidlegare sett korleis vi kan integrere brøkuttrykk der nemnaren anten er ein potensfunksjon eller ein polynomfunksjon av første grad.
Vi skal gjennom eit døme sjå korleis vi kan integrere eit brøkuttrykk der nemnaren er ein polynomfunksjon av høgare grad. Metoden føreset at vi kan skrive nemnaren som eit produkt av ulike førstegradsuttrykk.
Døme
Vi skal berekne .
Vi kan faktorisere nemnaren til
Vi gjer altså det motsette av å setje to brøkar på felles brøkstrek, vi splittar opp ein brøk i to brøkar.
Kvifor set vi
Svar
Utgangspunktet er ein brøk med teljar lik 1. Når vi splittar opp brøkane, veit vi etter faktorisering kva nemnarane blir, men vi veit ikkje kva teljarane blir. Vi angir derfor dei nye teljarane som to konstantar,
Ved delbrøkoppspalting får vi altså brøkar av typen
Svar
Vi har at
I artikkelen "Integrasjon ved variabelskifte" fant vi ein integrasjonsregel for
Ein av dei grunnleggande integrasjonsreglane er at ein konstant multiplisert med ein funksjon kan skrivast om slik:
Vi ser at uttrykket vårt er av typen
Dette gir
Vi har altså følgande utgangspunkt:
No gjeld det å finne koeffisientane
Vi set ut frå dette at
Svar
Dersom vi har ei likning, vil vi kunne lage nye likningar ved å setje ledd eller uttrykk som inneheld
Høgre side i uttrykket
Det betyr at vi kan lage ei ny likning ved å setje faktoren med
Vi set så at
Svar
Dersom vi har ei likning, vil vi kunne lage ei ny likning ved å setje konstantledd på den eine sida lik konstantledd på den andre sida.
Høgre side i uttrykket
Vi har no to likningar med to ukjende og finn
Vi set verdiane for
I den siste linje i utrekninga har vi forenkla ved å bruke den andre logaritmesetninga, som seier at
Delbrøkoppspalting føreset at nemnaren kan faktoriserast i førstegradsuttrykk. Ein annan føresetnad er at teljaren må vere av lågare grad enn nemnaren. Kva er årsaka til dette?
Svar
Dersom nemnaren er av andre grad og blir faktorisert til faktorar av første grad, vil konstantane
Delbrøkoppspalting med polynomdivisjon
Korleis kan vi forme om ein brøk der teljaren er av same grad som nemnaren til eit uttrykk vi kan integrere med dei metodane vi kjenner til no?
Svar
Dersom teljaren er av same grad som nemnaren, kan vi utføre polynomdivisjon for å få eit fleirledda uttrykk, der eitt av ledda vil vere ein brøk med teljar av lågare grad enn nemnaren. Denne brøken kan spaltast i delbrøkar.
Denne metoden kan òg brukast dersom teljaren er av høgare grad enn nemnaren. Eit slikt uttrykk kan vi ha moglegheit til å integrere med dei metodane vi kjenner til no.
Døme
Vi skal finne
Vi ser at teljaren har same grad som nemnaren og startar derfor med å utføre ein polynomdivisjon.
Vi kan no skrive om integralet slik:
Vi formar om brøken
Vi får då følgande samanheng mellom teljarane:
Vi set opp to likningar med to ukjende:
Vi set verdiane for
Integrasjon ved delbrøkoppspalting
Vi føreset at polynomet
Vi skriv om brøken:
Vi multipliserer med felles nemnar,
Vi fullfører integrasjonen:
Dersom polynomet