Fagartikkel

Integrasjon ved delbrøkoppspalting

Integrasjon ved delbrøkoppspalting er ein metode som kan gjere det mogleg å integrere rasjonale uttrykk der nemnaren er ein polynomfunksjon som kan skrivast som eit produkt av førstegradsfaktorar.

Vi har tidlegare sett korleis vi kan integrere brøkuttrykk der nemnaren anten er ein potensfunksjon eller ein polynomfunksjon av første grad.

Vi skal gjennom eit døme sjå korleis vi kan integrere eit brøkuttrykk der nemnaren er ein polynomfunksjon av høgare grad. Metoden føreset at vi kan skrive nemnaren som eit produkt av ulike førstegradsuttrykk.

Døme

Vi skal berekne $\begin{matrix} \int \frac{1}{x^{2} - 4} d x \end{matrix}$ .

Vi kan faktorisere nemnaren til $(x - 2) (x + 2)$ og kan då skrive

$\frac{1}{x^{2} - 4} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}$

Vi gjer altså det motsette av å setje to brøkar på felles brøkstrek, vi splittar opp ein brøk i to brøkar.

Kvifor set vi $A$ og $B$ som teljarar i dei nye brøkane?

Svar

Utgangspunktet er ein brøk med teljar lik 1. Når vi splittar opp brøkane, veit vi etter faktorisering kva nemnarane blir, men vi veit ikkje kva teljarane blir. Vi angir derfor dei nye teljarane som to konstantar, $A$ og $B$ . $A$ og $B$ er tilfeldig valde namn, men dei er vanlege å bruke i denne samanhengen.

Ved delbrøkoppspalting får vi altså brøkar av typen $\frac{A}{x + b}$ , der $A$ og $b$ er konstantar. Har vi ein kjend metode for å integrere ein brøk av denne typen?

Svar

Vi har at $\frac{A}{x + b} = A \cdot \frac{1}{x + b}$ .

I artikkelen "Integrasjon ved variabelskifte" fant vi ein integrasjonsregel for $\begin{matrix} \int \frac{1}{a x + b} d x \end{matrix}$ som seier at

$\int \frac{1}{a x + b} d x = \frac{1}{a} \ln |a x + b| + C$

Ein av dei grunnleggande integrasjonsreglane er at ein konstant multiplisert med ein funksjon kan skrivast om slik:

$\int k \cdot f (x) d x = k \cdot \int f (x) d x$

Vi ser at uttrykket vårt er av typen $k \cdot f (x)$ , der $k = A$ . Vi har vidare at $f (x) = \frac{1}{a x + b}$ der $a = 1$ .

Dette gir

$\int \frac{A}{x + b} d x = A \int \frac{1}{x + b} d x = A \cdot \ln |x + b| + C$

Vi har altså følgande utgangspunkt:

$\frac{1}{x^{2} - 4} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}$

No gjeld det å finne koeffisientane $A$ og $B$ . Det gjer vi ved å multiplisere med felles nemnar:

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{x^{2} - 4} & = & \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2} | \cdot (x - 2) (x + 2) \\ 1 & = & A (x + 2) + B (x - 2) \\ 1 & = & A x + 2 A + B x - 2 B \\ 1 & = & (A + B) x + 2 A - 2 B \end{array}$

Vi set ut frå dette at $(A + B) = 0$ . Kvifor kan vi påstå dette?

Svar

Dersom vi har ei likning, vil vi kunne lage nye likningar ved å setje ledd eller uttrykk som inneheld $x$ på venstre side, lik ledd eller uttrykk som inneheld $x$ på høgre side.

Høgre side i uttrykket $(A + B) x + 2 A - 2 B = 1$ har ikkje noko ledd med $x$ , så dersom vi skulle ha sett inn eit $x$ -ledd utan å endre uttrykket, måtte koeffisienten framfor dette $x$ -leddet vere $0$ . Vi kan med andre ord skrive likninga som

$(A + B) x + 2 A - 2 B = 0 x + 1$ .

Det betyr at vi kan lage ei ny likning ved å setje faktoren med $x$ på venstre side lik faktoren med $x$ på høgre side, og vi får

$\begin{array}{rcl} (A + B) x & = & 0 x \\ A + B & = & 0 \end{array}$

Vi set så at $\begin{array}{rcl} (2 A - 2 B) & = & 1 \end{array}$ . Kvifor gjeld denne samanhengen?

Svar

Dersom vi har ei likning, vil vi kunne lage ei ny likning ved å setje konstantledd på den eine sida lik konstantledd på den andre sida.

Høgre side i uttrykket $(A + B) x + 2 A - 2 B = 1$ inneheld konstantledda $2 A - 2 B$ , mens venstre side inneheld konstantleddet $1$ . Vi kan derfor lage ei ny likning, $\begin{array}{rcl} (2 A - 2 B) & = & 1 \end{array}$ .

Vi har no to likningar med to ukjende og finn

$\begin{array}{rclcccrcl} A + B & = & 0 & \land & 2 A - 2 B & = & 1 \\ A & = & - B & \land & 2 (- B) - 2 B & = & 1 \\ A & = & - B & \land & - 4 B & = & 1 \\ A & = & \frac{1}{4} & \land & B & = & - \frac{1}{4} \end{array}$

Vi set verdiane for $A$ og $B$ inn i det opphavlege integralet og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{1}{x^{2} - 4} d x & = & \int (\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}) d x \\ = & A \int \frac{1}{x - 2} d x + B \int \frac{1}{x + 2} d x \\ = & \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} d x - \frac{1}{4} \int \frac{1}{x + 2} d x \\ = & \frac{1}{4} \ln |x - 2| - \frac{1}{4} \ln |x + 2| + C \\ = & \frac{1}{4} \ln |\frac{x - 2}{x + 2}| + C \end{array}$

I den siste linje i utrekninga har vi forenkla ved å bruke den andre logaritmesetninga, som seier at $\lg (\frac{a}{b}) = \lg a - \lg b$ .

Delbrøkoppspalting føreset at nemnaren kan faktoriserast i førstegradsuttrykk. Ein annan føresetnad er at teljaren må vere av lågare grad enn nemnaren. Kva er årsaka til dette?

Svar

Dersom nemnaren er av andre grad og blir faktorisert til faktorar av første grad, vil konstantane $A$ og $B$ i dei to nye delbrøkane bli multipliserte med kvar sin parentes der innhaldet er av første grad når vi forkortar bort nemnarane. Det nye uttrykket vil bestå av ledd av første grad og dessutan konstantledd. Dette gjer at den opphavlege teljaren må vere av første grad eller lågare for at vi skal få eit resultat når vi set desse to lik kvarandre for å finne $A$ og $B$ .

Delbrøkoppspalting med polynomdivisjon

Korleis kan vi forme om ein brøk der teljaren er av same grad som nemnaren til eit uttrykk vi kan integrere med dei metodane vi kjenner til no?

Svar

Dersom teljaren er av same grad som nemnaren, kan vi utføre polynomdivisjon for å få eit fleirledda uttrykk, der eitt av ledda vil vere ein brøk med teljar av lågare grad enn nemnaren. Denne brøken kan spaltast i delbrøkar.

Denne metoden kan òg brukast dersom teljaren er av høgare grad enn nemnaren. Eit slikt uttrykk kan vi ha moglegheit til å integrere med dei metodane vi kjenner til no.

Døme

Vi skal finne $\begin{matrix} \int \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 9} d x \end{matrix}$ .

Vi ser at teljaren har same grad som nemnaren og startar derfor med å utføre ein polynomdivisjon.

$x^{2} + 2 x + 1 : x^{2} - 9 = 1 + \frac{2 x + 10}{x^{2} - 9}$

Vi kan no skrive om integralet slik:

$\int (1 + \frac{2 x + 10}{x^{2} - 9}) d x$

Vi formar om brøken $\frac{2 x + 10}{x^{2} - 9}$ ved delbrøkoppspalting:

$\frac{2 x + 10}{x^{2} - 9} = \frac{2 x + 10}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - 3} = \frac{A (x - 3) + B (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Vi får då følgande samanheng mellom teljarane:

$\begin{array}{rcl} A (x - 3) + B (x + 3) & = & 2 x + 10 \\ A x - 3 A + B x + 3 B & = & 2 x + 10 \\ (A + B) x - 3 A + 3 B & = & 2 x + 10 \end{array}$

Vi set opp to likningar med to ukjende:

$\begin{aligned} A + B & = & 2 & \land & - 3 A + 3 B & = & 10 \\ A & = & 2 - B & \land & - 3 (2 - B) - 2 B & = & 1 \\ A & = & 2 - B & \land & B & = & \frac{8}{3} \\ A & = & 2 - \frac{8}{3} & \land & B & = & \frac{8}{3} \\ A & = & - \frac{2}{3} & \land & B & = & \frac{8}{3} \end{aligned}$

Vi set verdiane for $A$ og $B$ inn i det opphavlege integralet og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{2 x + 10}{(x + 3) (x - 3)} d x & = & \int (1 - \frac{\frac{2}{3}}{x + 3} + \frac{\frac{8}{3}}{x - 3}) d x \\ = & \begin{array}{cl} \int 1 d x & - \frac{2}{3} \int \frac{1}{x + 3} d x + \frac{8}{3} \int \frac{1}{x - 3} d x \end{array} \\ = & x - \frac{2}{3} \ln |x + 3| + \frac{8}{3} \ln |x - 3| + C \end{array}$

Integrasjon ved delbrøkoppspalting

$\int \frac{P (x)}{Q (x)} d x$

Vi føreset at polynomet $P$ har lågare grad enn polynomet $Q$ , og at $Q$ kan faktoriserast på forma

$Q (x) = (x - c_{1}) (x - c_{2}) \dots (x - c_{n}) .$

Vi skriv om brøken:

$\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{A_{1}}{(x - x_{1})} + \frac{A_{2}}{(x - x_{2})} + \dots + \frac{A n}{(x - x_{n})}$

$A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ er konstantar.

Vi multipliserer med felles nemnar, $Q (x)$ , og bruker den nye likninga til å finne verdiane til $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ .

Vi fullfører integrasjonen:

$\int \frac{P (x)}{Q (x)} d x = \int \frac{A_{1}}{(x - x_{1})} d x + \int \frac{A_{2}}{(x - x_{2})} d x + \dots + \int \frac{A n}{(x - x_{n})} d x$

Dersom polynomet $P$ har høgare grad enn polynomet $Q$ , utfører vi polynomdivisjon.

Film om delbrøkoppspalting

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Relatert innhald

Fagstoff

Grunnleggande reknereglar for integrasjon

Her set vi opp dei grunnleggande integrasjonsreglane.

Fagstoff

Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradspolynom

Her viser vi korleis vi gjer polynomdivisjon, som tilsvarer divisjon med tal.