Integrasjon ved delbrøkoppspalting

$$ \int \frac{12}{x^2-9}dx$$

Før vi kan spalte brøken, må vi faktorisere teljaren:

$$ x^2-9=\left(x+3\right)\left(x-3\right)$$

Vi spaltar brøken i to brøkar med $$ A$$ og $$ B$$ som teljarar og set opp likning for å bestemme $$ A$$ og $$ B$$:

$$ \frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-3}=\frac{12}{x^2-9}$$

$$ \begin{array}{rcl}A\left(x-3\right)+B\left(x+3\right) & =& 12\\ Ax-3A+Bx+3B & =& 12\end{array}$$

$$ \begin{array}{rclcrcl}-3A+3B& =& 12& & A+B& =& 0\\ & & & & A& =& -B\\ -3\left(-B\right)+3B& =& 12& & & & \\ 6B& =& 12& & & & \\ B& =& 2& & A& =& -2\end{array}$$

Vi set inn for $$ A$$ og $$ B$$:

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{12}{x^2-9}dx & =& \int \left(\frac{{\displaystyle -2}}{x+3}+\frac{{\displaystyle 2}}{x-3}\right)dx \\ & =& -2\ln \left|x+3\right|+2\ln \left|x-3\right|+C\\ & =& 2\left(\ln \left|x-3\right|-\ln \left|x+3\right|\right)+C\\ & =& 2\ln \left(\left|\frac{x-3}{x+3}\right|\right)+C\end{array}$$

$$ \int \frac{2+x}{x^2-1}dx$$

Før vi kan spalte brøken, må vi faktorisere teljaren:

$$ x^2-1=\left(x+1\right)\left(x-1\right)$$

Vi spaltar brøken i to brøkar med $$ A$$ og $$ B$$ som teljarar og set opp likning for å bestemme $$ A$$ og $$ B$$:

$$ \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}=\int \frac{2+x}{x^2-1}dx$$

$$ \begin{array}{rcl}A\left(x-1\right)+B\left(x+1\right) & =& 2+x\\ Ax-A+Bx+B & =& 2+x\end{array}$$

$$ \begin{array}{rclcrcl}-A+B& =& 2& & A+B& =& 1\\ B& =& 2+A& & A+2+A& =& 1\\ & & & & 2A& =& -1\\ B& =& 2+\left(-\frac{1}{2}\right)& & A& =-& \frac{1}{2}\\ B& =& \frac{3}{2}& & & & \end{array}$$

Vi set inn for $$ A$$ og B:

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{2+x}{x^2-1}dx & =& \int \left(\frac{{\displaystyle -\frac{1}{2}}}{x+1}+\frac{{\displaystyle \frac{3}{2}}}{x-1}\right)dx \\ & =& -\frac{1}{2}\ln \left|x+1\right|+\frac{3}{2}\ln \left|x-1\right|+C\end{array}$$

$$ \int \frac{5x-6}{x^2-4}dx$$

Før vi kan spalte brøken, må vi faktorisere teljaren:

$$ x^2-4=\left(x+2\right)\left(x-2\right)$$

Vi spaltar brøken i to brøkar med $$ A$$ og $$ B$$ som teljarar og set opp likning for å bestemme $$ A$$ og $$ B$$:

$$ \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-2}=\int \frac{{\displaystyle 5x-6}}{{\displaystyle x^2-4}}dx$$

$$ \begin{array}{rcl}A\left(x-2\right)+B\left(x+2\right) & =& 5x-6\\ Ax-2A+Bx+2B & =& 5x-6\end{array}$$

$$ \begin{array}{rclcrcl}-2A+2B& =& -6& & A+B& =& 5\\ & & & & B& =& 5-A\\ -2A+2\left(5-A\right)& =& -6& & & & \\ -2A+10-2A& =& -6& & & & \\ -4A& =& -6-10& & & & \\ A& =& 4& & B& =& 5-4\\ & & & & B& =& 1\end{array}$$

Vi set inn for $$ A$$ og $$ B$$:

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{x+6}{x^2-4}dx & =& \int \left(\frac{{\displaystyle 4}}{x+2}+\frac{{\displaystyle 1}}{x-2}\right)dx \\ & =& 4\ln \left|x+2\right|+\ln \left|x-2\right|+C\end{array}$$

$$ \int \frac{3x+1}{x^2-x-6}dx$$

Før vi kan spalte brøken, må vi faktorisere teljaren. Dette kan til dømes gjerast ved hjelp av abc-formelen.

$$ x^2-x-6=\left(x-3\right)\left(x+2\right)$$

Vi spaltar brøken i to brøkar med $$ A$$ og $$ B$$ som teljarar og set opp likning for å bestemme $$ A$$ og $$ B$$:

$$ \frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3}=\int \frac{{\displaystyle 3x+1}}{{\displaystyle x^2-x-6}}dx$$

$$ \begin{array}{rcl}A\left(x+2\right)+B\left(x-3\right) & =& 3x+1\\ Ax+2A+Bx-3B & =& 3x+1\end{array}$$

$$ \begin{array}{rclcrcl}2A-3B& =& 1& & A+B& =& 3\\ & & & & B& =& 3-A\\ 2A-3\left(3-A\right)& =& 1& & & & \\ 2A+-9+3A& =& 1& & & & \\ 5A& =& 10& & & & \\ A& =& 2& & B& =& 3-2\\ & & & & B& =& 1\end{array}$$

Vi set inn for $$ A$$ og $$ B$$:

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{3x+1}{x^2-x-6}dx & =& \int \left(\frac{{\displaystyle 2}}{x-3}+\frac{{\displaystyle 1}}{x+2}\right)dx \\ & =& 2\ln \left|x-3\right|+\ln \left|x+2\right|+C\\ & =& \ln \left({\left(x-3\right)}^2\left(\left|x+2\right|\right)\right)+C\end{array}$$

Her ser vi at teljaren og nemnaren er av same grad. Vi startar derfor med polynomdivisjon:

$$ \begin{array}{ccccccccccccccccrcrcrcccccccccccc}& & & & & & & & & & & & & & & (& x^2& +3& x& -& 4& )& :& (& x^2& -& 2& x& -& 8& )& = & 1+\frac{5x+4}{x^2-2x-8} \end{array}$$$$ \begin{array}{rrrrrrcccc}-& (& x^2& -& 2& x& -& 8)& & \\ & & & & 5& x& +& 4& & \end{array}$$

Integralet blir no slik:

$$ \int \left(1+\frac{5x+4}{x^2-2x-8}\right)dx$$

Før vi kan spalte brøken, må vi faktorisere nemnaren. Dette kan til dømes gjerast ved hjelp av abc-formelen.

$$ x^2-2x-8=\left(x+2\right)\left(x-4\right)$$

Vi spaltar brøken i tre brøkar med $$ A$$, $$ B$$ og $$ C$$ som teljarar og får no dette integralet:

$$ \int \left(1+\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-4}\right)dx$$

Vi set opp likning for å bestemme $$ A$$ og $$ B$$:

$$ \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-4}=\frac{5x+4}{x^2-2x-8}$$

$$ \begin{array}{rcl}A\left(x-4\right)+B\left(x+2\right) & =& 5x+4\\ Ax-4A+Bx+2B & =& 5x+4\end{array}$$

$$ \begin{array}{rclcrcl}-4A+2B& =& 4& & A+B& =& 5\\ -4A+2\left(5-A\right)& =& 4& & B& =& 5-A\\ -4A+10-2A& =& 4& & & & \\ -6A& =& -6& & & & \\ A& =& 1& & B& =& 4\end{array}$$

Vi set inn for $$ A$$ og $$ B$$:

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{x^2+3x-4}{x^2-2x-8}dx & =& \int \left(1+\frac{1}{x+2}+\frac{4}{x-4}\right)dx \\ & =& x+\ln \left|x+2\right|+4\ln \left|x-4\right|+C\end{array}$$

Her er teljaren av lågare grad enn nemnaren, så vi kan gå direkte til faktorisering og delbrøkoppspalting.

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{4x^2-2x+4}{x^3-4x}dx & =& \int \frac{4x^2-2x+4}{x\left(x^2-4\right)}dx =\int \frac{4x^2-2x+4}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}dx\end{array}$$

Vi spaltar brøken i tre brøkar med $$ A$$, $$ B$$ og $$ C$$ som teljarar og får no dette integralet:

$$ \int \left(\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+2}\right)dx$$

Vi set opp likning for å bestemme $$ A, B$$ og $$ C$$:

$$ \frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+2}=\frac{4x^2-2x+4}{x^3-4x}$$

$$ \begin{array}{rcl}A\left(x-2\right)\left(x+2\right)+Bx\left(x+2\right)+Cx\left(x-2\right) & =& 4x^2-2x+4\\ A{x}^2-4A+B{x}^2+2Bx+C{x}^2 -2Cx & =& 4x^2-2x+4\end{array}$$

Vi kan bestemme $$ A$$ direkte:

$$ \begin{array}{rcl}-4A & =& 4\\ A & =& -1\end{array}$$

Vi bestemmer $$ B$$ og $$ C$$ ut frå likningssett:

$$ \begin{array}{rclcrcl}2B-2C & =& -2& & A+B+C & =& 4\\ 2B & =& -2+2C& & & & \\ B & =& -1+C& & -1+\left(-1+C\right)+C & =& 4\\ & & & & 2C & =& 6\\ B & =& -1+3& & C & =& 3\\ B& = & 2& & & & \end{array}$$

Vi set inn for $$ A, B$$ og $$ C$$ og bestemmer integralet:

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{4x^2-2x+4}{x^3-4x}dx & =& \int \left(-\frac{1}{x}+\frac{{\displaystyle 2}}{x-2}+\frac{{\displaystyle 3}}{x+2}\right)dx\\ & =& -\ln \left|x\right|+2\ln \left|x-2\right|+3\ln \left|x+2\right|+C\end{array}$$

$$ x·{\left(x-1\right)}^2=x\left(x-1\right)\left(x-1\right)$$

Vi ser at nemnaren har to like førstegradsfaktorar.

$$ \begin{array}{rcl}A\left(x-1\right)x+B\left(x-1\right)x+C\left(x-1\right)\left(x-1\right) & =& x^2-x+12\\ A{x}^2-ax+B{x}^2-Bx+C{x}^2-2Cx-C & =& x^2-x+12 \end{array}$$

$$ \begin{array}{rlcrcccccc}A+B+C& = 1& & A+B-2C& =& 1& & C& =& 12\\ A+B+12& = 1& & A+B-2·12& =& 1& & & & \\ A+B& =-11& & A+B& =& 25& & & & \end{array}$$

Vi ser at vi ikkje finn verdiar for $$ A$$ og $$ B$$ med dette valet av delbrøkar.

$$ \int \frac{x^2-x+12}{x{\left(x-1\right)}^2}dx = \int \left(\frac{A}{{\left(x-1\right)}^2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x}\right)dx$$

Generelt har vi at dersom nemnaren har ein faktor av typen $$ {\left(x-a\right)}^2$$, må delbrøkoppspaltinga innehalde brøkane $$ $$$$ $$ $$ \frac{A}{\left(x-a\right)}+\frac{B}{{\displaystyle {\left(x-a\right)}^2}}$$.

Minste felles nemnar for brøkane blir $$ x{\left(x-1\right)}^2$$, altså nemnaren i den opphavlege brøken.

$$ \int \frac{x^2-x+12}{x{\left(x-1\right)}^2}dx = \int \left(\frac{A}{{\left(x-1\right)}^2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x}\right)dx$$

$$ \begin{array}{rcl}A·x+B·x\left(x-1\right)+C{\left(x-1\right)}^2 & =& x^2-x+12\\ Ax+B{x}^2-Bx+C{x}^2-2Cx+C & =& x^2-x+12\end{array}$$

$$ \begin{array}{rclrcccrclcc}B+C& =& 1& A-B-2C& =& -1& & C& =& 12& & \\ B& =& 1-12& & & & & & & & & \\ B& =& -11& & & & & & & & & \\ & & & A-(-11)-2·12& =& -1& & & & & & \\ & & & A& =& 12& & & & & & \\ & & & & & & & & & & & \end{array}$$

$$ \int \left(\frac{12}{{\left(x-1\right)}^2}-\frac{11}{x-1}+\frac{12}{x}\right)dx$$

I den førre oppgåva integrerte vi brøkar der alle hadde nemnar av første grad. No har vi i tillegg ein brøk som har nemnar av andre grad.

Brøkar av typen $$ \int \frac{A}{{\left(x-a\right)}^2}dx$$ har vi tidlegare sett kan bestemmast ved hjelp av integrasjon ved variabelskifte:

Vi set $$ u=x-1$$.

Dette gir

$$ \begin{array}{lll}& & \frac{du}{dx}=1\\ & & \\ & & dx=du\end{array}$$

Vi set inn for $$ u$$ og $$ dx$$ og får

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{12}{{\left(x-1\right)}^2}dx & =& \int \frac{12}{u^2}du\\ & =& 12\int \frac{1}{u^2}du\\ & =& 12\left(-\frac{1}{u}\right)+C\\ & =& -\frac{12}{x-1}+C\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\int \left(\frac{12}{{\left(x-1\right)}^2}-\frac{11}{x-1}+\frac{12}{x}\right)dx & =& \int \left(12{\left(x-1\right)}^{-2}-\frac{11}{x-1}+\frac{12}{x}\right)dx\\ & =& -\frac{12}{x-1}-11\ln \left|x-1\right|\\ & & +12\ln \left|x\right|+C\end{array}$$

Derivasjon:

$$ \begin{array}{rcl}& & {\left(-\frac{12}{x-1}-11\ln \left|x-1\right|+12\ln \left|x\right|+C\right)}^{\text{'}} \end{array}$$$$ \begin{array}{ccccclc}& & & & =& -\frac{0·\left(x-1\right)-12·1}{{\left(x-1\right)}^2}-\frac{11}{x-1}+\frac{12}{x}& \\ & & & & =& \begin{array}{rcl}& & -\end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{-12}{{\left(x-1\right)}^2}\end{array}\begin{array}{rcl}& & -\end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{11}{x-1}\end{array}\begin{array}{rcl}& & +\end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{12}{x}\end{array}& \\ & & & & =& \begin{array}{rcl}& & \frac{12}{{\left(x-1\right)}^2}\end{array}\begin{array}{rcl}& & -\end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{11}{x-1}\end{array}\begin{array}{rcl}& & +\end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{12}{x}\end{array}& \\ & & & & =& \begin{array}{rcl}& & \frac{12x-11x\left(x-1\right)+12{\left(x-1\right)}^2}{{\left(x-1\right)}^2·x}\end{array}& \\ & & & & =& \begin{array}{rcl}& & \frac{12x-11x^2+11x+12x^2-24x+12}{{\left(x-1\right)}^2·x}\end{array}& \\ & & & & =& \begin{array}{rcl}& & \frac{x^2-x+12}{{\left(x-1\right)}^2·x}\end{array}& \\ & & & & & & \end{array}$$

Vi ser at resultatet av derivasjonen er lik den opphavlege integranden.

CAS:

$$ \int \frac{x+9}{x^2\left(x+3\right)}dx=\int \left(\frac{A}{x^2}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x+3}\right)dx$$

$$ \begin{array}{rcl}A\left(x+3\right)+Bx\left(x+3\right)+C{x}^2 & =& x+9\\ Ax+3A+B{x}^2+3Bx+C{x}^2 & =& x+9\\ & & \end{array}$$

$$ \begin{array}{rclcrclcrcl}B+C& =& 0& & A+3B& =& 1& & 3A& =& 9\\ & & & & & & & & A& =& 3\\ & & & & 3+3B& =& 1& & & & \\ & & & & 3B& =& -2& & & & \\ & & & & B& =& \frac{-2}{3}& & & & \\ C& =& \frac{2}{3}& & & & & & & & \end{array}$$

$$ \int \left(\frac{3}{x^2}-\frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}}{x}+\frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}}{x+3}\right)dx = -\frac{3}{x}-\frac{2}{3}\ln \left|x\right|+\frac{2}{3}\ln \left|x+3\right|+C$$

CAS: