Integrasjonsmetodar – blanda oppgåver
Oppgåver
3.2.30
Det er i nokre tilfelle mogleg å bruke fleire integrasjonsmetodar for å bestemme eit integral. I denne oppgåva skal vi sjå på eit døme på nettopp dette.
Vi skal bestemme .
a) Grunngi at vi kan bruke delbrøkoppspalting for å bestemme integralet, og utfør integrasjonen ved bruk av delbrøkoppspalting.
b) Grunngi at vi òg kan velje å bruke integrasjon ved variabelskifte i dette tilfellet, og bestem integralet på nytt ved bruk av variabelskifte for å kontrollere at du får det same resultatet.
c) Kva for ein av metodane var mest effektiv?
3.2.31
I denne oppgåva må du vurdere kva integrasjonsmetode du kan bruke for å bestemme integrala som blir gitt. I nokre tilfelle vil fleire av metodane vere moglege å bruke, andre vil krevje ein kombinasjon av metodar, og i nokre oppgåver må du skrive om uttrykket før du kan nytte ein metode.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
3.2.32
I fagartikkelen "Omvende trigonometriske funksjonar" kom vi fram til desse samanhengane:
Funksjon: | Omvend funksjon: | |
---|---|---|
Bruk desse samanhengane til å bestemme integrala nedanfor. Hugs at derivasjon og integrasjon er motsette rekneoperasjonar.
a)
b)
c)
d)
3.2.33
I denne oppgåva skal vi sjå korleis vi kan bestemme
a) Studer integralet og kommenter kva vi må vere merksam på før vi startar med integrasjonen, og kva som eventuelt er annleis med dette integralet samanlikna med integral som vi har bestemt tidlegare.
b) Sidan nemnaren har to like førstegradsfaktorar, tek vi med ein ekstra brøk som har nemnar lik
Kvifor vel vi å splitte brøken
c) Bestem
d) Bestem integralet ut frå det vi no har komme fram til.
Løysingar
3.2.30
3.2.30 a)
Integranden er ein brøk der teljaren har lågare grad enn nemnaren. Nemnaren har reelle nullpunkt og kan faktoriserast i ulike førstegradsfaktorar. Dette betyr at vi kan dele brøken i to brøkar med ulike nemnarar, noko som gir at integrasjon ved delbrøkoppspalting er mogleg.
Før vi kan spalte brøken, må vi faktorisere teljaren:
Vi spaltar brøken i to brøkar med
Vi set inn for
3.2.30 b)
Integrasjon ved variabelskifte krev at dersom vi set ein faktor lik
Vi set
Dette gir
Vi set inn for
3.2.30 c)
Integrasjon med variabelskifte var mest effektivt.
Det er vanleg å velje integrasjon med delbrøkoppspalting dersom integranden er ein brøk, men det lønner seg å sjekke om integrasjon med variabelskifte er mogleg.
3.2.31
3.2.31 a)
Her kan vi bruke dei generelle reglane for integrasjon av polynom ved å gjere ei omskriving først:
3.2.31 b)
Her kan vi utføre polynomdivisjon før vi integrerer ved hjelp av dei generelle reglane:
3.2.31 c)
Vi vel integrasjon ved variabelskifte.
Vi set
Dette gir
Vi set inn for
3.2.31 d)
Her kan vi bruke regelen for integrasjon av eksponentialfunksjonar i kombinasjon med gjenteken delvis integrasjon.
Vi må no utføre delvis integrasjon to gonger sidan vi har ein andregradsfaktor i integranden:
Vi vel
, som girv = 5 x 2 v ' = 10 x , som giru ' = e 2 x + 7 u = 1 2 e 2 x + 7
Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får
Vi vel
, som girv = x v ' = 1 , som giru ' = e 2 x + 7 u = 1 2 e 2 x + 7
Vi bruker formelen for delvis integrasjon på nytt og får
3.2.31 e)
3.2.31 f)
Vi formar først om radikanden slik at vi får eit produkt.
No kan vi bruke integrasjon ved variabelskifte:
Vi set
Dette gir
Vi set inn for
3.2.31 g)
Her trengst det ikkje meir enn dei grunnleggande reglane for integrasjon av polynom dersom vi formar om uttrykket.
3.2.31 h)
Vi ser at teljaren er ei grad lågare enn nemnaren i begge ledda som inneheld
Vi set
Dette gir
Vi set inn for
3.2.31 i)
Vi prøver integrasjon ved variabelskifte sidan vi veit at derivasjon av
Vi set
Dette gir
Vi set inn for
3.2.31 j)
Denne oppgåva kan løysast ved hjelp av polynomdivisjon og delbrøkoppspalting:
Vi ser at teljaren har høgare grad enn nemnaren, og vi startar derfor med polynomdivisjon:
Integralet blir no slik:
Før vi kan spalte brøken, må vi faktorisere teljaren:
Vi spaltar brøken i to brøkar med
Vi set opp likning for å bestemme
Vi set inn for
Alternativ løysing: Faktoriser teljaren og nemnaren først, gjennomfør deretter ein enklare polynomdivisjon. For å faktorisere teljaren må vi sjå at han har nullpunkt for
3.2.32
3.2.32 a)
Dette minner om den deriverte av
Vi set
Dette gir
Vi set inn for
3.2.32 b)
Dette minner om den deriverte av
Vi set
Dette gir
Vi set inn for
3.2.32 c)
Her ser vi òg at ei omforming av uttrykket gjer at vi kan bruke integrasjon ved variabelskifte.
Vi set
Dette gir
Vi set inn for
3.2.32 d)
Vi set
Dette gir
Vi set inn for
3.2.33
3.2.33 a)
Denne oppgåva ser ut til å krevje integrasjon med delbrøkoppspalting. Teljaren er ein grad lågare enn nemnaren, noko som gjer at vi ikkje treng å nytte polynomdivisjon. Vi ser òg at dersom vi faktoriserer nemnaren, så består han av to like førstegradsfaktorar,
3.2.33 b)
Vi splittar brøken i to brøkar fordi vi treng to likningar for å bestemme to ukjende, og det får vi ved å splitte opp.
3.2.33 c)
Vi finn
3.2.33 d)
Vi kan integrere tre av dei fire brøkane direkte, men brøken
Vi set
Dette gir
Vi set inn for
Med dette på plass kan vi bestemme heile integralet: