Delvis integrasjon

$$ \int e^x·4x dx$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=4x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=4$$

• $$ u^{\text{'}}=e^x$$, som gir $$ u=e^x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon

$$ \begin{array}{c}\int u^{\text{'}}·v dx=u·v-\int u·v^{\text{'}} dx\end{array}$$

og får

$$ \begin{array}{rcl}\int e^x·4x dx & =& e^x·4x-\int e^x·4 dx\\ & =& 4x{e}^x-4\int e^{x}dx\\ & =& 4x{e}^x-4e^x+C\end{array}$$

Vel $$ v$$ som den av faktorane som blir forenkla ved derivasjon.

$$ \int x·\sin x dx$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=1$$

• $$ u^{\text{'}}=\sin x$$, som gir $$ u=-\cos x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon

$$ \begin{array}{c}\int u^{\text{'}}·v dx=u·v-\int u·v^{\text{'}} dx\end{array}$$

og set faktorane i "rett rekkefølge" for å få betre oversikt:

$$ \begin{array}{rcl}\int x·\sin x dx & =& \int \sin x·x dx\\ & =& -\cos x·x-\int -\cos x·1 dx\\ & =& -x\cos x+\int \cos x dx\\ & =& -x\cos x+\sin x+C\end{array}$$

$$ \int \left(4x+3\right)·\sin x dx$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=\left(4x+3\right)$$, som gir $$ v^{\text{'}}=1$$

• $$ u^{\text{'}}=\sin x$$, som gir $$ u=-\cos x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon

$$ \begin{array}{c}\int u^{\text{'}}·v dx=u·v-\int u·v^{\text{'}} dx\end{array}$$

og markerer vala på faktorane for betre oversikt:

$$ \begin{array}{rcl}\int \stackrel{v}{\left(4x+3\right)}·\stackrel{u^{\text{'}}}{\sin x }dx & =& -\cos x·\left(4x+3\right)-\int -\cos x·4 dx\\ & =& -\cos x·\left(4x+3\right)+4\int \cos x dx\\ & =& -\cos x·\left(4x+3\right)+4\sin x+C\\ & =& 4\sin x-\cos x·\left(4x+3\right)+C\end{array}$$

$$ \int \left(2x-7\right)·\cos x dx$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=\left(2x-7\right)$$ som gir $$ v^{\text{'}}=2$$

• $$ u^{\text{'}}=\cos x$$ som gir $$ u=\sin x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon

$$ \begin{array}{c}\int u^{\text{'}}·v dx=u·v-\int u·v^{\text{'}} dx\end{array}$$

og får

$$ \begin{array}{rcl}\int \stackrel{v}{\left(2x-7\right)}·\stackrel{u^{\text{'}}}{\cos x d}x & =& \sin x·\left(2x-7\right)-\int \sin x·2 dx\\ & =& \left(2x-7\right)\sin x-2\int \sin x dx\\ & =& \left(2x-7\right) \sin x-2\left(-\cos x\right)+C\\ & =& \left(2x-7\right) \sin x+2\cos x+C\end{array}$$

I dette tilfellet blir begge faktorane forenkla ved derivasjon. Då må vi heller sjå på kva for ein av funksjonane som er enklast å integrere.

$$ \int 2x·\ln x dx$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=\ln x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=\frac{1}{x}$$

• $$ u^{\text{'}}=2x$$, som gir $$ u=x^2$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon

$$ \begin{array}{c}\int u^{\text{'}}·v dx=u·v-\int u·v^{\text{'}} dx\end{array}$$

og får

$$ \begin{array}{rcl}\int \stackrel{v}{2x}·\stackrel{u^{\text{'}}}{\ln x} dx& =& x^2·\ln x-\int x^2·\frac{1}{x}dx\\ & =& x^2·\ln x-\int x dx\\ & =& x^2·\ln x-\frac{1}{2}{x}^2+C\end{array}$$

$$ \int e^{\frac{x}{2}}·\left(2x-1\right)dx$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=\left(2x-1\right)$$, som gir $$ v^{\text{'}}=2$$

• $$ u^{\text{'}}=e^{\frac{x}{2}}$$, som gir $$ u=2e^{\frac{x}{2}}$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon

$$ \begin{array}{c}\int u^{\text{'}}·v dx=u·v-\int u·v^{\text{'}} dx\end{array}$$

og får

$$ \begin{array}{rcl}\int e^{\frac{x}{2}}·\left(2x-1\right)dx & =& 2e^{\frac{x}{2}}·\left(2x-1\right)-\int 2e^{\frac{x}{2}}·2 dx\\ & =& \left(4x-2\right)e^{\frac{x}{2}}-4\int e^{\frac{x}{2}}dx\\ & =& \left(4x-2\right)e^{\frac{x}{2}}-4·2e^{\frac{x}{2}}+C\\ & =& e^{\frac{x}{2}}\left(4x-2-8\right) +C\\ & =& e^{\frac{x}{2}}\left(4x-10\right) +C\end{array}$$

For å gå frå ein faktor til to faktorar utan å endre verdien kan vi multiplisere med 1, slik at integralet blir $$ \int \ln x·1 dx$$.

$$ \int 1·\ln x dx$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=\ln x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=\frac{1}{x}$$

• $$ u^{\text{'}}=1$$, som gir $$ u=x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

$$ \begin{array}{rcl}\int \stackrel{u^{\text{'}}}{1}·\stackrel{v}{\ln x }dx & =& x\ln x-\int x·\frac{1}{x}dx\\ & =& x\ln x-\int 1 dx\\ & =& x\ln x-x+C\end{array}$$

Hugs at $$ {\left(\ln x\right)}^2$$ kan skrivast som to faktorar: $$ \ln x·\ln x$$.

$$ \int {\left(\ln x\right)}^{2}dx=\int \ln x·\ln x dx$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=\ln x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=\frac{1}{x}$$

• $$ u^{\text{'}}=\ln x$$, som gir $$ x\ln x-x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

$$ \begin{array}{rcl}\int \ln x·\ln x dx & =& \left(x\ln x-x\right)·\ln x-\int \left(x\ln x-x\right)·\frac{1}{x}dx\\ & =& \left(x\ln x-x\right)·\ln x-\int \left(\ln x-1\right)dx\\ & =& x{\left(\ln x\right)}^2-x\ln x- \left(x\ln x-x-x\right)+C\\ & =& x{\left(\ln x\right)}^2-2x\ln x+2x+C\end{array}$$

$$ \int e^x·x^{2}dx$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=x^2$$, som gir $$ v^{\text{'}}=2x$$

• $$ u^{\text{'}}=e^x$$, som gir $$ u=e^x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

$$ \begin{array}{rcl}\int e^x·x^{2}dx & =& e^x·x^2-\int e^x·2x dx\\ & =& e^x·x^2-2\int e^x·x dx\end{array}$$

Den nye integranden er enklare enn den vi starta med, men framleis ikkje så enkel at vi kan integrere direkte.

Frå første "runde" med delvis integrasjon har vi

$$ \begin{array}{rcl}\int e^x·x^{2}dx & =& e^x·x^2-2\int e^x·x dx\end{array}$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=1$$

• $$ u^{\text{'}}=e^x$$, som gir $$ u=e^x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon på nytt og får

$$ \begin{array}{rcl}\int e^x·x^{2}dx & =& e^x·x^2-2\int e^x·x dx\\ & =& e^x·x^2-2\left(e^x·x-\int e^x·1 dx\right)\\ & =& e^x·x^2-2·e^x·x+2·e^x+C\\ & =& e^x\left(x^2-2x+2\right)+C\end{array}$$

Delvis integrasjon handlar om å forenkle det som skal integrerast. Ofte skjer dette ved at ein av faktorane blir forenkla ved derivasjon.

I vårt tilfelle inneheld integranden faktorane $$ e^x$$ og $$ x^2$$.

• $$ e^x$$ kan ikkje forenklast verken ved integrasjon eller derivasjon.

• $$ x^2$$ krev to "rundar" med derivasjon for at resultatet blir 1, og ein faktor lik 1 (eller ein annan konstant) vil som regel medføre at integrasjonen kan gjennomførast.

Dette betyr at vi kan sjå frå start at vi må gjennomføre to rundar med delvis integrasjon for å bestemme integralet.

$$ \int x^2·\sin x dx$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=x^2$$, som gir $$ v^{\text{'}}=2x$$

• $$ u^{\text{'}}=\sin x$$, som gir $$ u=-\cos x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon, byter rekkefølga på faktorane for betre oversikt og får

$$ \begin{array}{rcl}\int \stackrel{}{x^2}·\stackrel{}{\sin x }dx & =& \int \stackrel{}{\sin x·x^2}dx\\ & =& -\cos x·x^2-\int -\cos x·2x dx\\ & =& -\cos x·x^2+\int \cos x·2x dx\end{array}$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$ på nytt ut frå ny integrand:

• $$ v=2x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=2$$

• $$ u^{\text{'}}=\cos x$$, som gir $$ u=\sin x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

$$ \int \sin x·x^{2}dx=\begin{array}{rcl}& & -\end{array}\begin{array}{rcl}& & \cos \end{array}\begin{array}{rcl}& & x\end{array}\begin{array}{rcl}& & ·\end{array}\begin{array}{rcl}& & x\end{array}\begin{array}{rcl}& & {}^2\end{array}\begin{array}{rcl}& & +\end{array}\begin{array}{rcl}& & \int \end{array}\begin{array}{rcl}& & \cos \end{array}\begin{array}{rcl}& & x\end{array}\begin{array}{rcl}& & ·\end{array}\begin{array}{rcl}& & 2\end{array}\begin{array}{rcl}& & x dx\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{cl}=& -\cos x·x^2+\sin x·2x-\int \sin x·2 dx\\ =& -\cos x·x^2+\sin x·2x-2\int \sin x dx\\ =& -\cos x·x^2+\sin x·2x-2\left(-\cos x\right)+C\\ =& \cos x\left(2-x^2\right)+2x·\sin x+C\end{array}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}$$

Her må du bruke delvis integrasjon tre gonger.

$$ \int x^3·e^{2x}dx$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=x^3$$, som gir $$ v^{\text{'}}=3x^2$$

• $$ u^{\text{'}}=e^{2x}$$, som gir $$ u=\frac{1}{2}{e}^{2x}$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

$$ \begin{array}{rcl}\int x^3·e^{2x}dx & =& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}·3x^{{}^2}dx\\ & =& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{2}\int e^{2x}·x^{{}^2}dx\end{array}$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=x^2$$, som gir $$ v^{\text{'}}=2x$$

• $$ u^{\text{'}}=e^{2x}$$, som gir $$ u=\frac{1}{2}{e}^{2x}$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon for andre gong og får

$$ \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{2}\int e^{2x}·x^{2}dx$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{cl}=& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}{e}^{2x}·x^2-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}·2x dx\right)\\ =& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{4}{e}^{2x}·x^2+\frac{3}{2}\int \frac{1}{2}{e}^{2x}·2x dx\end{array}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=1$$

• $$ u^{\text{'}}=e^{2x}$$, som gir $$ u=\frac{1}{2}{e}^{2x}$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon for tredje gong og får

$$ \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{4}{e}^{2x}·x^2+\frac{3}{2}\int \frac{1}{2}{e}^{2x}·2x dx$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{cl}=& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{4}{e}^{2x}·x^2+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}{e}^{2x}·x-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}·1 dx\right)\\ =& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{4}{e}^{2x}·x^2+\frac{3}{4}{e}^{2x}·x-\frac{3}{4}\int e^{2x}dx\\ =& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{4}{e}^{2x}·x^2+\frac{3}{4}{e}^{2x}·x-\frac{3}{4}·\frac{1}{2}{e}^{2x}+C\\ =& e^{2x}\left(\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{3}{4}x-\frac{3}{8}\right)+C\end{array}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}$$

Ingen av dei to faktorane blir forenkla verken ved integrasjon eller derivasjon.

$$ \int e^x·\sin x dx$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=\sin x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=\cos x$$

• $$ u^{\text{'}}=e^x$$, som gir $$ u=e^x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

$$ \begin{array}{rcl}\int e^x·\sin x dx & =& e^x·\sin x-\int e^x·\cos x dx\end{array}$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$ på nytt ut frå ny integrand:

• $$ v=\cos x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=-\sin x$$

• $$ u^{\text{'}}=e^x$$, som gir $$ u=e^x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon på nytt og får

$$ e^x·\sin x-\int e^x·\cos x dx$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{cl}=& e^x·\sin x-\left(e^x\cos x-\int e^x·\left(-\sin x\right)dx\right)\\ =& e^x·\sin x-e^x\cos x-\int e^x·\sin x dx\end{array}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}$$

Samanlikn med det opphavlege integralet.

Det opphavlege integralet finst i uttrykket som vi har komme fram til etter å ha utført delvis integrasjon to gonger.

$$ \begin{array}{rcl}\int e^x·\sin x dx & =& e^x·\sin x-e^x·\cos x-\int e^x·\sin x dx\\ 2·\int e^x·\sin x dx & =& e^x·\sin x-e^x·\cos x+C_1\\ \int e^x·\sin x dx & =& \frac{1}{2}{e}^x·\sin x-\frac{1}{2}{e}^x·\cos x+\frac{1}{2}{C}_1\\ \int e^x·\sin x dx & =& \frac{1}{2}{e}^x\left(\sin x-\cos x\right)+C\\ & & \end{array}$$

Kommentar: Konstantleddet $$ \frac{1}{2}{C}_1$$ blir sett lik $$ C$$ for å gjere uttrykket enklast mogleg.