Delvis integrasjon

Metoden med delvis integrasjon bygger på produktregelen for derivasjon, som er gitt slik:

$$ \begin{array}{rcl}{\left(u·v\right)}^{\text{'}}& = & u^{\text{'}}·v+u·v^{\text{'}}\end{array}$$

Vi hugsar at vi for å gjere det enklare kan skrive $u$ i staden for $u\left(x\right)$ og $v$ i staden for $v\left(x\right)$.

Vi bruker denne regelen til å utleie ein ny regel for integrasjon, og vi gjer det ved å integrere begge sider i uttrykket. Vi oppnår då at å integrere eitt uttrykk blir endra til å integrere eit anna uttrykk.

$$ \begin{array}{rcl} {\left(u·v\right)}^{\text{'}}& = & u^{\text{'}}·v+u·v^{\text{'}}\\ & & \\ \int {\left(u·v\right)}^{\text{'}}dx& =& \int \left(u^{\text{'}}·v+u·v^{\text{'}}\right) dx\\ & & \\ u·v& =& \int \left(u^{\text{'}}·v\right) dx+\int \left(u·v^{\text{'}}\right) dx\\ & & \\ \int u^{\text{'}}·v dx& =& u·v-\int u·v^{\text{'}} dx\end{array}$$$\begin{array}{}\end{array}$

Metoden fungerer på integral der integranden er eit produkt, og der dette produktet blir lettare å integrere når den eine faktoren i produktet blir derivert og den andre blir antiderivert.

Vi skal finne $$ \begin{array}{c}\int 2x·\ln x dx\end{array}$$ ved bruk av delvis integrasjon.

Vi legg merke til at integranden er eit produkt og startar med å angi kva som er $$ u^{\text{'}}$$, og kva som er $$ v$$. Vi vel ut frå at $$ u^{\text{'}}$$ må kunne integrerast, mens $$ v$$ må kunne deriverast.

$$ \int \stackrel{u^{\text{'}}}{2x}·\stackrel{v}{\ln x }dx$$

Vi har valt $$ u^{\text{'}}=2x$$ og $$ v=\ln x$$. Kva hadde skjedd dersom vi hadde valt motsett i dette tilfellet?

Vi har då at

$$ u^{\text{'}}=2x$$, som gir $u=x^2$

$$ v=\ln x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=\frac{1}{x}$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon

$$ \begin{array}{c}\int u^{\text{'}}·v dx=u·v-\int u·v^{\text{'}} dx\end{array}$$

og får

$$ \begin{array}{rcl}\int \stackrel{u^{\text{'}}}{2x}·\stackrel{v}{\ln x }dx& = & \stackrel{u}{x^2}·\stackrel{v}{\ln x}-\int \stackrel{u}{x^2}·\frac{\stackrel{v^{\text{'}}}{1}}{x} dx\\ & & \\ & =& x^2·\ln x-\int x dx\\ & & \\ & =& x^2\ln x-\frac{1}{2}{x}^2+C\end{array}$$

Poenget er å få ein integrand på høgre side som er enklare å integrere enn det vi hadde som utgangspunkt. Vi må altså finne ut kva for ein av faktorane som derivert gir eit enklare integrasjonsuttrykk.

Du må tenke deg om før du vel kva du skal setje som $$ u^{\text{'}}$$ og $$ v$$. Det kan ofte vere både lurt og nødvendig å byte rekkefølga på uttrykka i integranden, men det er likevel ikkje uvanleg å gjere eit val, finne ut at det var feil og så gjere omval.

Over såg vi til dømes at det var lurt å velje $\ln x$ som den faktoren som skal deriverast fordi ${\left(\ln x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x}$, og det gir i mange tilfelle moglegheit til å forkorte integranden.

Det er viktig at du reknar mange oppgåver, slik at du både lærer sjølve metoden, men etter kvart òg kjenner igjen uttrykk som lar seg integrere med delvis integrasjon.