Oppgåver og aktivitetar

Andregradslikningar

Løys oppgåver med andregradslikningar.

1.2.40

Løys likningane ved rekning for hand, grafisk og med CAS.

a) $2 x^{2} - 2 x = 0$

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

$\begin{array}{rcl} 2 x (x - 1) & = & 0 \\ 2 x & = & 0 \lor x - 1 = 0 \\ x & = & 0 \lor x = 1 \end{array}$

(" $\lor$ " betyr "eller".)

Grafisk løysing:

Vi skriv inn venstresida av likninga som ein funksjon $f (x)$ i algebrafeltet i GeoGebra. Sidan høgresida av likninga er null, kan vi bruke verktøyet "Nullpunkt" til å finne ut når funksjonen er null. Dei to nullpunkta har $x$ -koordinatar 0 og 1, som er dei to løysingane på likninga.

Grafen til funksjonen f av x er lik 2 x i andre minus 2 x minus 2 x er teikna for x-verdiar mellom minus 1 og 2. I tillegg er dei to skjeringspunkta med x-aksen markert. Det eine punktet har koordinatane 0 og 0, og det andre har koordinatane 1 og 0. Illustrasjon.

Løysing med CAS:

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive 2 x i andre minus 2 x er lik 0. Svaret med "Løys" er x er lik 0 eller x er lik 1. Skjermutklipp.

b) $12 x = 3 x^{2}$

Løysing

Vi viser berre løysing ved rekning for hand her.

$\begin{array}{rcl} 12 x - 3 x^{2} & = & 0 \\ 3 x (4 - x) & = & 0 \\ 3 x & = & 0 \lor 4 - x = 0 \\ x & = & 0 \lor - x = - 4 \\ x & = & 0 \lor x = 4 \end{array}$

c) $x^{2} + 7 x = - 6$

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

Her må vi bruke abc-formelen. Vi ordnar likninga først.

$x^{2} + 7 x + 6 = 0$

Vi får at

$a = 1, b = 7, c = 6$

Dette gir

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} \\ x & = & \frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{2} \\ x & = & \frac{- 7 + 5}{2} = - 1 \lor x = \frac{- 7 - 5}{2} = - 6 \end{array}$

Grafisk løysing:

Vi skriv inn venstresida av likninga som ein funksjon $f (x)$ og høgresida som ein funksjon $g (x)$ i algebrafeltet i GeoGebra. Vi bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt" for å finne skjeringspunktet mellom grafane til dei to funksjonane. Skjeringspunkta har $x$ -koordinatar $- 6$ og $- 1$ , som er løysingane på likninga.

Grafen til funksjonane f av x er lik x i andre pluss 7 x og g av x er minus 6 er teikna for x-verdiar mellom minus 7 og 0. Skjeringspunkta mellom funksjonane er markerte. Det eine har koordinatane minus 6 og minus 6, og det andre har koordinatane minus 1 og minus 6. Illustrasjon.

Løysing med CAS:

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive x i andre pluss 7 x er lik minus 6. Svaret med "Løys" er x er lik minus 6 eller x er lik minus 1. Skjermutklipp.

d) $5 x^{2} = 25 x$

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

$\begin{array}{rcl} 5 x^{2} - 25 x & = & 0 \\ 5 x (x - 5) & = & 0 \\ 5 x & = & 0 \lor x - 5 = 0 \\ x & = & 0 \lor x = 5 \end{array}$

1.2.41

Løys likningane ved rekning for hand, grafisk og med CAS.

a) $x^{2} - 4 = 0$

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 4 \\ x & = & \sqrt{4} \lor x = - \sqrt{4} \\ x & = & 2 \lor x = - 2 \end{array}$

Grafisk løysing:

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre minus 4 er teikna for x-verdiar mellom minus 2,5 og 2,5. I tillegg er dei to skjeringspunkta med x-aksen markerte. Det eine punktet har koordinatane minus 2 og 0, og det andre har koordinatane 2 og 0. Illustrasjon.

Løysing med CAS:

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive x i andre minus 4 er lik 0. Svaret med "Løys" er x er lik minus 2 eller x er lik 2. Skjermutklipp.

b) $x^{2} + 5 x = - 6$

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 5 x + 6 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 6}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\ x & = & \frac{- 5 + \sqrt{1}}{2} \\ x & = & \frac{- 5 + 1}{2} = - 2 \lor x = \frac{- 5 - 1}{2} = - 3 \end{array}$

Grafisk løysing:

Grafen til funksjonane f av x er lik x i andre pluss 5 x og g av x er lik minus 6 er teikna for x-verdiar mellom minus 5 og 0. Skjeringspunkta mellom funksjonane er markerte. Det eine har koordinatane minus 3 og minus 6, og det andre har koordinatane minus 2 og minus 6. Illustrasjon.

Løysing med CAS:

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive x i andre pluss 5 x er lik minus 6. Svaret med "Løys" er x er lik minus 3 eller x er lik minus 2. Skjermutklipp.

c) $3 x^{2} = 3$

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 1 \\ x & = & \sqrt{1} \lor x = - \sqrt{1} \\ x_{1} & = & 1 \lor x_{2} = - 1 \end{array}$

d) $x^{2} = 2 x + 24$

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x - 24 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{100}}{2} \\ x & = & \frac{2 + 10}{2} = 6 \lor x = \frac{2 - 10}{2} = - 4 \end{array}$

e) $2 x^{2} + 8 = 0$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} & = & - 8 \\ x^{2} & = & - 4 \\ Inga løysing \end{array}$

Det er alltid lurt å sjekke om du kan forkorte før du set inn i abc-formelen.

1.2.42

Løys likningane ved å rekne for hand. Kontroller svaret med CAS.

a) $270 x^{2} + 230 x = 540 - 40 x$

Løysing

Her er det lurt å dividere alle ledda med 270 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} 270 x^{2} + 270 x - 540 & = & 0 : 270 \\ x^{2} + x - 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 1 - 3}{2} = - 2 \lor x = \frac{- 1 + 3}{2} = 1 \end{array}$

b) $360 x^{2} - 360 x = - 90$

Løysing

Her er det lurt å dividere alle ledda med 90 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} 360 x^{2} - 360 x + 90 & = & 0 : 90 \\ 4 x^{2} - 4 x + 1 & = & 0 \\ x & = & \frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} \\ x & = & \frac{4 + 0}{8} \lor x = \frac{4 - 0}{8} \\ x & = & \frac{1}{2} \end{array}$

1.2.43

Løys likningane ved å rekne for hand. Kontroller svaret med CAS.

a) $3 x^{2} - 3 x - 6 = 0$

Løysing

Her er det lurt å dividere alle ledda med 3 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} x^{2} - x - 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 1) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \\ x & = & \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \\ x & = & \frac{1 + 3}{2} = 2 \lor x = \frac{1 - 3}{2} = - 1 \end{array}$

b) $- 2 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Løysing

Her er det lurt å dividere alle ledda med -2 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

c) $- 5 x = x^{2} + 6$

Løysing

$\begin{array}{rcl} - x^{2} - 5 x - 6 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{1}}{- 2} \\ x & = & \frac{5 + 1}{- 2} = - 3 \lor x = \frac{5 - 1}{- 2} = - 2 \end{array}$

1.2.44

Løys likningane ved å rekne for hand. Kontroller svaret med CAS.

a) $- x^{2} - 6 x - 8 = 0$

Løysing

$\begin{array}{rcl} - x^{2} - 6 x - 8 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 6) \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)} \\ x & = & \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2} \\ x & = & \frac{6 \pm \sqrt{4}}{- 2} \\ x & = & \frac{6 + 2}{- 2} = - 4 \lor x = \frac{6 - 2}{- 2} = - 2 \end{array}$

b) $3 x^{2} + 12 = - 12 x$

Løysing

Her er det lurt å dividere alle ledda med 3 før vi set inn i abc-formelen. I tillegg må vi ordne likninga.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} 3 x^{2} + 12 x + 12 & = & 0 | : 3 \\ x^{2} + 4 x + 4 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2} \\ x & = & \frac{- 4}{2} = - 2 \end{array}$

c) $3 x^{2} + 2 = 2 x$

Løysing

Vi må ordne likninga først.

$\begin{array}{rcl} 3 x^{2} - 2 x + 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{6} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{- 20}}{6} \end{array}$

Her får vi inga løysing på grunn av det negative talet under rotteiknet.

1.2.45

Løys likningane ved å rekne for hand. Kontroller svaret med CAS.

a) $0, 3 x^{2} + 0, 2 = 0, 2 x$

Løysing

Her er det lurt å multiplisere alle ledda med 10 før vi set inn i abc-formelen. Hugs òg å ordne likninga.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} 0, 3 x^{2} - 0, 2 x + 0, 2 & = & 0 \cdot 10 \\ 3 x^{2} - 3 x + 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{6} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{- 20}}{6} \end{array}$

Her får vi inga løysing på grunn av det negative talet under rotteiknet.

b) $0, 003 x^{2} + 0, 002 = 0, 002 x$

Løysing

Her er det lurt å multiplisere alle ledda med 1 000 før vi set inn i abc-formelen. Hugs å ordne likninga òg.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} 0, 003 x^{2} - 0, 002 x + 0, 002 & = & 0 \cdot 1000 \\ 3 x^{2} - 2 x + 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{6} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{- 20}}{6} \end{array}$

Her får vi inga løysing på grunn av det negative talet under rotteiknet.

1.2.46

Løys likningane ved å rekne for hand. Kontroller svaret med CAS.

a) $x^{2} - 4 x + 2 = 0$

Løysing

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} \\ x & = & \frac{4 + 2 \sqrt{2}}{2} \lor x = \frac{4 - 2 \sqrt{2}}{2} \\ x & = & \frac{2 (2 + \sqrt{2})}{2} \lor x = \frac{2 (2 - \sqrt{2})}{2} \\ x & = & 2 + \sqrt{2} \lor x = 2 - \sqrt{2} \end{array}$

Svaret kan stå med eit rotuttrykk. Ved løysing med CAS kan vi finne tilnærma løysing ved å trykkje på knappen $_{}^{} \overset{}{\approx}$ . (Vi må ikkje gjere det.)

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive x i andre minus 4 x pluss 2 = 0. Svaret med "Løys" er x er lik minus rot 2 pluss 2 eller x er lik rot 2 pluss 2. På linje 2 er det skrive dollarteikn 1. Svaret med tilnærming er x er lik 0,59 eller x er lik 3,41. Skjermutklipp. — Løysing av andregradslikning med CAS og tilnærming av svaret

b) $10 x^{2} = 10 x + 4$

Løysing

Her er det lurt å dividere alle ledda med 2 før vi set inn i abc-formelen. Hugs òg å ordne likninga.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} 5 x^{2} - 5 x - 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 5} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{65}}{10} \\ x & = & \frac{5 + \sqrt{65}}{10} \lor x = \frac{5 - \sqrt{65}}{10} \end{array}$

c) $x (x - 2) + 2 = 4 - 4 x$

Løysing

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x + 2 - 4 + 4 x & = & 0 \\ x^{2} + 2 x - 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2} \\ x & = & \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2} \\ x & = & \frac{2 (- 1 + \sqrt{3})}{2} \lor x = \frac{2 (- 1 - \sqrt{3})}{2} \\ x & = & \sqrt{3} - 1 \lor x = - 1 - \sqrt{3} \end{array}$

d) $4 - x (2 - x) = 3 (x - 1) + 2 x^{2}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 4 - 2 x + x^{2} & = & 3 x - 3 + 2 x^{2} \\ x^{2} - 2 x^{2} - 2 x - 3 x + 4 + 3 & = & 0 \\ - x^{2} - 5 x + 7 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7}}{2 \cdot (- 1)} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{25 + 28}}{- 2} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{53}}{- 2} \\ x & = & - \frac{5 + \sqrt{53}}{2} \lor x = - \frac{5 - \sqrt{53}}{2} \end{array}$

e) $4 x^{2} - 2 x (3 - x) + 11 x = 3 (x + 1) - 2 x^{2}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 4 x^{2} - 6 x + 2 x^{2} + 11 x & = & 3 x + 3 - 2 x^{2} \\ 4 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 6 x + 11 x - 3 x - 3 & = & 0 \\ 8 x^{2} + 2 x - 3 & = & 0 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 8} \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 8} \\ x & = & \frac{- 2 \pm 10}{2 \cdot 8} \\ x & = & \frac{- 12}{16} = - \frac{3}{4} \lor x = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \end{array}$

1.2.47

a) Grunnflata til eit hus er eit rektangel der breidda er 4 meter kortare enn lengda. Arealet av grunnflata er 96 m². Finn ut kor langt og kor breitt huset er.

Tips til oppgåva

Kall breidda $x$ . Finn deretter ein formel for lengda.

Løysing

Dersom vi kallar breidda for $x$ , blir lengda, som er 4 m lengre, $x + 4$ .

Vi set opp ei likning ut ifrå at arealet skal vere 96 m².

$x (x + 4) = 96$

Løysing med CAS:

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive x multiplisert med parentes x pluss 4 parentes slutt er lik 96. Svaret med "Løys" er x er lik minus 12 eller x er lik 8. Skjermutklipp.

Her bruker vi berre den positive løysinga. Lengda blir

$8 + 4 = 12$

Huset er 12 m langt og 8 m breitt.

Løysing ved rekning for hand:

$\begin{array}{rcl} x \cdot (x + 4) & = & 96 \\ x^{2} + 4 x - 96 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 96)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{400}}{2} \\ x & = & \frac{- 4 \pm 20}{2} \\ x & = & 8 \lor x = - 12 \end{array}$

b) Løys oppgåva på nytt, men ta utgangspunkt i at lengda er $x$ . Kommenter løysinga.

Løysing

Når $x$ står for lengda, betyr det at breidda er $x - 4$ . Dette gir likninga

$x (x - 4) = 96$

Løysing med CAS:

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive x multiplisert med parentes x minus 4 parentes slutt er lik 96. Svaret med "Løys" er x er lik minus 8 eller x er lik 12. Skjermutklipp.

Igjen bruker vi berre den positive løysinga. Lengda er altså 12 m, og breidda blir som før

$12 - 4 = 8$

Det speler altså lita rolle om vi vel at $x$ skal vere breidda eller lengda. Vi får ei anna likning å løyse, men resultatet er det same.

1.2.48

Grunnflata til eit hus er eit rektangel der breidda er 5 meter kortare enn lengda. Arealet av grunnflata er 126 m². Finn ut kor langt og kor breitt huset er.

Løysing

Dersom vi kallar lengda for $x$ , blir uttrykket for breidda $x - 5$ . Vi set opp ei likning ut ifrå at arealet skal vere 126 m².

$x (x - 5) = 126$

Løysing med CAS:

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive x multiplisert med parentes x minus 5 parentes slutt er lik 126. Svaret med "Løys" er x er lik minus 9 eller x er lik 14. Skjermutklipp.

Her bruker vi berre den positive løysinga. Breidda blir

$14 - 5 = 9$

Huset er 14 m langt og 9 m breitt.

Løysing ved rekning for hand:

$\begin{array}{rcl} x \cdot (x - 5) & = & 126 \\ x^{2} - 5 x - 126 & = & 0 \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 126)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{529}}{2} \\ x & = & \frac{5 \pm 23}{2} \\ x & = & 14 \lor x = - 9 \end{array}$

1.2.49

Grunnflata til ein garasje er eit rektangel der breidda er 2 meter kortare enn lengda. Diagonalen i grunnflata er 10 meter. Finn ut kor lang og kor brei garasjen er.

Tips til oppgåva

Teikn grunnflata til garasjen, og ta med diagonalen på teikninga.

Løysing

Rektangel med lengde lik x pluss 2, breidde lik x og diagonal lik 10. Illustrasjon. — Skisse av grunnflata til garasjen med diagonalen teikna inn

Vi kan sjå på grunnflata som sett saman av to rettvinkla trekantar, og vi har valt at $x$ står for breidda av garasjen. Det betyr at vi kan bruke pytagorassetninga til å setje opp likninga:

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} = 10^{2}$

Løysing med CAS:

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive x i andre pluss parentes x pluss 2 parentes slutt i andre er lik 10 i andre. Svaret med "Løys" er x er lik minus 8 eller x er lik 6. Skjermutklipp.

Vi bruker berre den positive løysinga. Lengda blir

$6 + 2 = 8$

Garasjen er 8 m lang og 6 m brei.

Løysing ved rekning for hand:

$\begin{array}{rcl} x^{2} + {(x + 2)}^{2} & = & 10^{2} \\ x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - 100 & = & 0 \\ 2 x^{2} + 4 x - 96 & = & 0 \end{array}$

Her er det lurt å dividere alle ledda med 2 for å få enklare tal å setje inn i abc-formelen.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x - 48 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{196}}{2} \\ x & = & \frac{- 2 \pm 14}{2} \\ x_{1} & = & 6 \lor x_{2} = - 8 \end{array}$

1.2.50

Ei tomt er eit rektangel der breidda er 10 meter kortare enn lengda. Diagonalen er 45 meter. Finn arealet av tomta.

Løysing

Rektangel med lengde lik x pluss 10, breidde lik x og diagonal lik 50. Illustrasjon. — Skisse av grunnflata til tomta med diagonalen teikna inn

Vi kan sjå på grunnflata som sett saman av to rettvinkla trekantar, og vi har valt at $x$ står for breidda av tomta. Det betyr at vi kan bruke pytagorassetninga til å setje opp likninga

$x^{2} + {(x + 10)}^{2} = 45^{2}$

Løysing med CAS:

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive x i andre pluss parentes x pluss 10 parentes slutt i andre er lik 45 i andre. Svaret med "Løys" er x er lik to store rotuttrykk som vi forenklar på neste linje. På linje 2 er det skrive dollarteikn 1. Svaret med tilnærming er x er lik minus 36,42 eller x er lik 26,42. Skjermutklipp.

Vi får at den eksakte løysinga på likninga blir to uttrykk med kvadratrot. Då trykkjer vi på knappen $_{}^{} \overset{}{\approx}$ for å få rekna ut svaret som desimaltal.

Vi kan berre bruke den positive løysinga. Det betyr at breidda av tomta er 26,42 m og lengda er 36,42 m. I linje tre reknar vi ut arealet av tomta, og vi har teke med måleiningane i utrekninga.

Arealet av tomta er 962 m².

1.2.51

a) Gitt andregradslikninga $a x^{2} - 4 x + 4 = 0$ .

Finn ut kva verdiar av $a$ som gir to løysingar, éi løysing og inga løysing av likninga.

Tips til oppgåva

Bruk abc-formelen.

Løysing

Vi har ei andregradslikning der $a$ er ukjend, $b = - 4$ og $c = 4$ . Vi set dette inn i abc-formelen.

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot a \cdot 4}}{2 \cdot a} \\ x & = & \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 a}}{2 a} \end{array}$

Vi ser på uttrykket under rotteiknet, $16 - 16 a$ .

Dersom $a > 1$ , vil uttrykket under rotteiknet bli negativt, og vi har inga løysing.

Dersom $a = 1$ , vil uttrykket under rotteiknet bli lik 0, og vi får éi løysing, $x = \frac{4}{2 \cdot 1} = 2$ .

Dersom $a < 1$ , vil uttrykket under rotteiknet bli positivt, og vi har to løysingar.

b) Bruk GeoGebra, og lag ein glidar med namn $a$ ved å skrive $a = 1$ i algebrafeltet. Skriv så inn funksjonen $f (x) = a \cdot x^{2} - 4 x + 4$ . Endre på glidaren, og observer korleis grafen til $f$ endrar seg. Stemmer det du observerer med løysinga i oppgåve a)?

c) Gitt andregradslikninga $x^{2} - b x + 4 = 0$ .

Bruk abc-formelen, og finn ut kva verdiar av $b$ som gir to løysingar, éi løysing og inga løysing.

Løysing

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- b) \pm \sqrt{{(- b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{b \pm \sqrt{b^{2} - 16}}{2} \end{array}$

Vi ser på uttrykket under rotteiknet, $b^{2} - 16$ .

Dersom $b^{2} < 16$ vil uttrykket under rotteiknet bli negativt, og vi har inga løysing.

Dette vil skje når $b$ ligg mellom $- 4$ og $4$ .

Dersom $b^{2} = 16$ , det vil seie når $b = 4$ eller $b = - 4$ , vil uttrykket under rotteiknet bli lik 0, og vi får éi løysing.

$b = - 4 : x = \frac{- (- 4)}{2 \cdot 1} = 2$

$b = 4 : x = \frac{- 4}{2 \cdot 1} = - 2 .$

Dersom $b^{2} > 16$ , det vil seie når $b > 4$ eller $b < - 4$ , vil uttrykket under rotteiknet bli positivt, og vi har to løysingar.

d) Bruk GeoGebra. Lag ein glidar $b$ , og skriv inn funksjonen $g (x) = x^{2} - b x + 4 = 0$ . Endre på glidaren, og observer korleis grafen til $g$ endrar seg. Stemmer det du observerer med løysinga i oppgåve c)?

e) Gjer tilsvarande analyse med andregradslikninga $x^{2} + 2 x + c = 0$ .

Løysing

Likninga har éi løysing når $c = 1$ .

Likninga har to løysingar når $c < 1$ .

Likninga har inga løysing når $c > 1$ .

1.2.52

Camilla kastar ein ball rett opp i lufta. Etter $t$ sekund er høgda $h$ meter over bakken gitt ved funksjonen

$h (t) = 14, 5 t - 4, 9 t^{2} + 1, 8$

a) Når er ballen 10 m over bakken?

Løysing

Når høgda er 10 m, betyr det at $h (t) = 10$ . Vi skriv inn funksjonen i CAS i GeoGebra og løyser likninga.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive h av t kolon er lik 14,5 t minus 4,9 t i andre pluss 1,8. Svaret er h av t kolon er lik minus 49 tidels t i andre pluss 29 halve t pluss 9 femtedelar. På linje 2 er det skrive h av t er lik 10. Svaret med "Løys" er t er lik to store rotuttrykk som vi forenklar på neste linje. På linje 3 er det skrive dollarteikn 2. Svaret med tilnærming er t er lik 0,76 eller t er lik 2,2. Skjermutklipp.

Ballen er 10 m over bakken etter 0,76 s (på veg opp) og etter 2,2 s (på veg ned).

b) Når treffer ballen bakken?

Løysing

Når ballen treffer bakken, er høgda over bakken 0 m.

Det betyr at vi må løyse likninga $h (t) = 0$ .

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 4 er det skrive h av t er lik 0. Svaret med "Løys" er t er lik to store rotuttrykk som vi forenklar på neste linje. På linje 5 er det skrive dollarteikn 4. Svaret med tilnærming er t er lik minus 0,12 eller t er lik 3,08. Skjermutklipp.

Vi kan berre bruke den positive løysinga.

Ballen treffer bakken etter 3,08 s.

c) Når er ballen 15 m over bakken? Kva betyr svaret du får?

Løysing

Når høgda er 15 m, betyr det at $h (t) = 15$ .

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 6 er det skrive h av t er lik 15. Svaret med "Løys" er ingenting. Skjermutklipp.

Inga løysing. Det må bety at ballen aldri når ei høgde på 15 m over bakken.

1.2.53

Det er vist korleis ein sylinder så å seie kan brettast ut til eit rektangel og ein sirkel. Illustrasjon.

Ein brusboks har form som ein sylinder. Overflata til ein sylinder med topp og botn er gitt ved

$O = 2 π r^{2} + 2 π r h$

der $r$ er radiusen til sylinderen og $h$ er høgda.

Kva er radius til ein brusboks dersom overflata er $250 {cm}^{2}$ og høgda $5 cm$ ?

Løysing

Når høgda skal vere 5 cm, kan vi lage oss den følgjande overflatefunksjonen:

$O (r) = 2 π r^{2} + 10 π r$

Når overflata skal vere 250 cm², betyr det at vi må løyse likninga

$O (r) = 250$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive O av r kolon er lik 2 pi r i andre pluss 10 pi r. Svaret er det same. På linje 2 er det skrive O av r er lik 250. Svaret med "Løys" er r er lik to store rotuttrykk som vi forenklar på neste linje. På linje 3 er det skrive dollarteikn 2. Svaret med tilnærming er r er lik minus 9,29 eller r er lik 4,29. Skjermutklipp.

Vi kan berre bruke den positive løysinga.

Brusboksen har ein radius på 4,3 cm.

CC BY-SASkrive av Olav Kristensen, Stein Aanensen og Bjarne Skurdal.

Sist fagleg oppdatert 02.06.2021

Andregradslikningar

1.2.40

1.2.41

1.2.42

1.2.43

1.2.44

1.2.45

1.2.46

1.2.47

1.2.48

1.2.49

1.2.50

1.2.51

1.2.52

1.2.53

Reglar for bruk