Hopp til innhald
Oppgåve

Andregradslikningar

Løys oppgåver med andregradslikningar.

1.2.40

Løys likningane ved rekning for hand, grafisk og med CAS.

a) 2x2-2x=0

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

2xx-1 = 0           2x=0      x-1=0           x=0      x=1

("" betyr "eller".)

Grafisk løysing:

Vi skriv inn venstresida av likninga som ein funksjon fx i algebrafeltet i GeoGebra. Sidan høgresida av likninga er null, kan vi bruke verktøyet "Nullpunkt" til å finne ut når funksjonen er null. Dei to nullpunkta har x-koordinatar 0 og 1, som er dei to løysingane på likninga.

Løysing med CAS:

b) 12x=3x2

Løysing

Vi viser berre løysing ved rekning for hand her.

12x-3x2 = 0 3x4-x=0            3x=0      4-x=0              x=0      -x=-4            x=0      x=4

c) x2+7x=-6

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

Her må vi bruke abc-formelen. Vi ordnar likninga først.

x2+7x+6=0

Vi får at

a=1, b=7, c=6

Dette gir

x=-7±72-4·1·62·1x=-7±49-242x=-7±252x=-7+52=-1            x=-7-52=-6

Grafisk løysing:

Vi skriv inn venstresida av likninga som ein funksjon fx og høgresida som ein funksjon gx i algebrafeltet i GeoGebra. Vi bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt" for å finne skjeringspunktet mellom grafane til dei to funksjonane. Skjeringspunkta har x-koordinatar -6 og -1, som er løysingane på likninga.

Løysing med CAS:

d) 5x2=25x

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

5x2-25x = 0 5xx-5=0            5x=0      x-5=0            x=0      x=5

1.2.41

Løys likningane ved rekning for hand, grafisk og med CAS.

a) x2-4=0

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

x2 = 4x=4      x=-4x=2       x=-2

Grafisk løysing:

Vi skriv inn venstresida av likninga som ein funksjon fx i algebrafeltet i GeoGebra. Sidan høgresida av likninga er null, kan vi bruke verktøyet "Nullpunkt" til å finne ut når funksjonen er null. Dei to nullpunkta har x-koordinatar -2 og 2, som er dei to løysingane på likninga.

Løysing med CAS:

b) x2+5x=-6

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

x2+5x+6 = 0x=-5±52-4·1·62·1x=-5±25-242x=-5+12x=-5+12=-2            x=-5-12=-3

Grafisk løysing:

Vi skriv inn venstresida av likninga som ein funksjon fx og høgresida som ein funksjon gx i algebrafeltet i GeoGebra. Vi bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt" for å finne skjeringspunktet mellom grafane til dei to funksjonane. Skjeringspunkta har x-koordinatar -3 og -2, som er løysingane på likninga.

Løysing med CAS:

c) 3x2=3

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

x2 = 1x=1      x=-1x1=1       x2=-1

d) x2=2x+24

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

x2-2x-24 = 0x=--2±-22-4·1·-242·1x=2±4+962x=2±1002x=2+102=6                       x=2-102=-4

e) 2x2+8=0

Løysing

2x2 = -8  x2=-4      Inga løysing

Det er alltid lurt å sjekke om du kan forkorte før du set inn i abc-formelen.

1.2.42

Løys likningane ved å rekne for hand. Kontroller svaret med CAS.

a) 270x2+230x=540-40x

Løysing

Her er det lurt å dividere alle ledda med 270 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

270x2+270x-540 = 0    :270x2+x-2=0x=-1±12-4·1·-22·1x=-1-32=-2       x=-1+32=1

b) 360x2-360x=-90

Løysing

Her er det lurt å dividere alle ledda med 90 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

360x2-360x+90 = 0    :904x2-4x+1=0x=4±-42-4·4·12·4x=4+08              x=4-08x=12

1.2.43

Løys likningane ved å rekne for hand. Kontroller svaret med CAS.

a) 3x2-3x-6=0

Løysing

Her er det lurt å dividere alle ledda med 3 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

x2-x-2 = 0x=--1±-12-4·1·-22·1x=1±1+82x=1±92x=1+32=2        x=1-32=-1

b) -2x2+2x+4=0

Løysing

Her er det lurt å dividere alle ledda med -2 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

x2-x-2 = 0x=--1±-12-4·1·-22·1x=1±1+82x=1±92x=1+32=2         x=1-32=-1

c) -5x=x2+6

Løysing

-x2-5x-6 = 0x=--5±-52-4·-1·-62·-1x=5±25-24-2x=5±1-2x=5+1-2=-3          x=5-1-2=-2

1.2.44

Løys likningane ved å rekne for hand. Kontroller svaret med CAS.

a) -x2-6x-8=0

Løysing

-x2-6x-8 = 0x=--6±-62-4·-1·-82·-1x=6±36-32-2x=6±4-2x=6+2-2=-4          x=6-2-2=-2

b) 3x2+12=-12x

Løysing

Her er det lurt å dividere alle ledda med 3 før vi set inn i abc-formelen. I tillegg må vi ordne likninga.

Vi får då

3x2+12x+12=0   |:3x2+4x+4 = 0x=-4±42-4·1·42·1x=-4±16-162x=-4±02x=-42=-2

c) 3x2+2=2x

Løysing

Vi må ordne likninga først.

3x2-2x+2=0x = --2±-22-4·3·22·3x=2±4-246x=2±-206

Her får vi inga løysing på grunn av det negative talet under rotteiknet.

1.2.45

Løys likningane ved å rekne for hand. Kontroller svaret med CAS.

a) 0,3x2+0,2=0,2x

Løysing

Her er det lurt å multiplisere alle ledda med 10 før vi set inn i abc-formelen. Hugs òg å ordne likninga.

Vi får då

0,3x2-0,2x+0,2 = 0   ·10           3x2-3x+2=0x=2±-22-4·3·22·3x=2±4-246x=2±-206

Her får vi inga løysing på grunn av det negative talet under rotteiknet.

b) 0,003x2+0,002=0,002x

Løysing

Her er det lurt å multiplisere alle ledda med 1 000 før vi set inn i abc-formelen. Hugs å ordne likninga òg.

Vi får då

0,003x2-0,002x+0,002 = 0   ·10003x2-2x+2=0x=2±-22-4·3·22·3x=2±4-246x=2±-206

Her får vi inga løysing på grunn av det negative talet under rotteiknet.

1.2.46

Løys likningane ved å rekne for hand. Kontroller svaret med CAS.

a) x2-4x+2=0

Løysing

x =--4±-42-4·1·22·1x=4±82x=4+222          x=4-222x=22+22          x=22-22x=2+2          x=2-2

Svaret kan stå med eit rotuttrykk. Ved løysing med CAS kan vi finne tilnærma løysing ved å trykkje på knappen      . (Vi ikkje gjere det.)

b) 10x2=10x+4

Løysing

Her er det lurt å dividere alle ledda med 2 før vi set inn i abc-formelen. Hugs òg å ordne likninga.

Vi får då

5x2-5x-2 = 0x=--5±-52-4·5·-22·5x=5±6510x=5+6510          x=5-6510

c) xx-2+2=4-4x

Løysing

x2-2x+2-4+4x = 0               x2+2x-2=0x=-2±22-4·1·-22·1x=-2±122x=-2±232x=2-1+32          x=2-1-32x=3-1          x=-1-3

d) 4-x2-x=3x-1+2x2

Løysing

                        4-2x+x2 = 3x-3+2x2x2-2x2-2x-3x+4+3=0                     -x2-5x+7=0x=--5±-52-4·-1·72·-1x=5±25+28-2x=5±53-2x=-5+532          x=-5-532 

e) 4x2-2x3-x+11x=3x+1-2x2

Løysing

                        4x2-6x+2x2+11x = 3x+3-2x24x2-2x2+2x2-6x+11x-3x-3=0                                       8x2+2x-3=0

x = -2±22-4·8·-32·8x=-2±1002·8x=-2±102·8x=-1216=-34          x=816=12

1.2.47

a) Grunnflata til eit hus er eit rektangel der breidda er 4 meter kortare enn lengda. Arealet av grunnflata er 96 m². Finn ut kor langt og kor breitt huset er.

Tips til oppgåva

Kall breidda x. Finn deretter ein formel for lengda.

Løysing

Dersom vi kallar breidda for x, blir lengda, som er 4 m lengre,  x+4.

Vi set opp ei likning ut ifrå at arealet skal vere 96 m2.

xx+4=96

Løysing med CAS:

Her bruker vi berre den positive løysinga. Lengda blir

8+4=12

Huset er 12 m langt og 8 m breitt.

Løysing ved rekning for hand:

x·x+4 = 96x2+4x-96=0x=-4±42-4·1·-962·1x=-4±4002x=-4±202x=8          x=-12

b) Løys oppgåva på nytt, men ta utgangspunkt i at lengda er x. Kommenter løysinga.

Løysing

Når x står for lengda, betyr det at breidda er  x-4. Dette gir likninga

xx-4=96

Løysing med CAS:

Igjen bruker vi berre den positive løysinga. Lengda er altså 12 m, og breidda blir som før

12-4=8

Det speler altså lita rolle om vi vel at x skal vere breidda eller lengda. Vi får ei anna likning å løyse, men resultatet er det same.

1.2.48

Grunnflata til eit hus er eit rektangel der breidda er 5 meter kortare enn lengda. Arealet av grunnflata er 126 m². Finn ut kor langt og kor breitt huset er.

Løysing

Dersom vi kallar lengda for x, blir uttrykket for breidda  x-5. Vi set opp ei likning ut ifrå at arealet skal vere 126 m².

xx-5=126

Løysing med CAS:

Her bruker vi berre den positive løysinga. Breidda blir

14-5=9

Huset er 14 m langt og 9 m breitt.

Løysing ved rekning for hand:

       x·x-5 = 126x2-5x-126=0x=5±52-4·1·-1262·1x=5±5292x=5±232x=14          x=-9

1.2.49

Grunnflata til ein garasje er eit rektangel der breidda er 2 meter kortare enn lengda. Diagonalen i grunnflata er 10 meter. Finn ut kor lang og kor brei garasjen er.

Tips til oppgåva

Teikn grunnflata til garasjen, og ta med diagonalen på teikninga.

Løysing

Vi kan sjå på grunnflata som sett saman av to rettvinkla trekantar, og vi har valt at x står for breidda av garasjen. Det betyr at vi kan bruke pytagorassetninga til å setje opp likninga:

x2+x+22=102

Løysing med CAS:

Vi bruker berre den positive løysinga. Lengda blir

6+2=8

Garasjen er 8 m lang og 6 m brei.

Løysing ved rekning for hand:

x2+x+22 = 102x2+x2+4x+4-100=02x2+4x-96=0

Her er det lurt å dividere alle ledda med 2 for å få enklare tal å setje inn i abc-formelen.

Vi får då

x2-2x-48 = 0x=-2±22-4·1·-482·1x=-2±1962x=-2±142x1=6          x2=-8

1.2.50

Ei tomt er eit rektangel der breidda er 10 meter kortare enn lengda. Diagonalen er 45 meter. Finn arealet av tomta.

Løysing

Vi kan sjå på grunnflata som sett saman av to rettvinkla trekantar, og vi har valt at x står for breidda av tomta. Det betyr at vi kan bruke pytagorassetninga til å setje opp likninga

x2+x+102=452

Løysing med CAS:

Vi får at den eksakte løysinga på likninga blir to uttrykk med kvadratrot. Då trykkjer vi på knappen       for å få rekna ut svaret som desimaltal.

Vi kan berre bruke den positive løysinga. Det betyr at breidda av tomta er 26,42 m og lengda er 36,42 m. I linje tre reknar vi ut arealet av tomta, og vi har teke med måleiningane i utrekninga.

Arealet av tomta er 962 m2.

1.2.51

a) Gitt andregradslikninga  ax2-4x+4=0.

Finn ut kva verdiar av a som gir to løysingar, éi løysing og inga løysing av likninga.

Tips til oppgåva

Bruk abc-formelen.

Løysing

Vi har ei andregradslikning der a er ukjend,  b=-4  og  c=4. Vi set dette inn i abc-formelen.

x = --4±-42-4·a·42·ax=4±16-16a2a

Vi ser på uttrykket under rotteiknet, 16-16a.

Dersom  a>1, vil uttrykket under rotteiknet bli negativt, og vi har inga løysing.

Dersom  a=1, vil uttrykket under rotteiknet bli lik 0, og vi får éi løysing,  x=42·1=2.

Dersom  a<1, vil uttrykket under rotteiknet bli positivt, og vi har to løysingar.

b) Bruk GeoGebra, og lag ein glidar med namn a ved å skrive  a=1  i algebrafeltet. Skriv så inn funksjonen  fx=a·x2-4x+4. Endre på glidaren, og observer korleis grafen til f endrar seg. Stemmer det du observerer med løysinga i oppgåve a)?

c) Gitt andregradslikninga  x2-bx+4=0.

Bruk abc-formelen, og finn ut kva verdiar av b som gir to løysingar, éi løysing og inga løysing.

Løysing

x= --b±-b2-4·1·42·1x=b±b2-162

Vi ser på uttrykket under rotteiknet, b2-16.

Dersom b2<16 vil uttrykket under rotteiknet bli negativt, og vi har inga løysing.

Dette vil skje når b ligg mellom -4 og 4.

Dersom b2=16, det vil seie når b=4 eller b=-4, vil uttrykket under rotteiknet bli lik 0, og vi får éi løysing.

b=-4:  x=-(-4)2·1=2

b=4:  x=-42·1=-2.

Dersom b2>16, det vil seie når b>4 eller b<-4, vil uttrykket under rotteiknet bli positivt, og vi har to løysingar.

d) Bruk GeoGebra. Lag ein glidar b, og skriv inn funksjonen  gx=x2-bx+4=0. Endre på glidaren, og observer korleis grafen til g endrar seg. Stemmer det du observerer med løysinga i oppgåve c)?

e) Gjer tilsvarande analyse med andregradslikninga  x2+2x+c=0.

Løysing

Likninga har éi løysing når  c=1.

Likninga har to løysingar når  c<1.

Likninga har inga løysing når  c>1.

1.2.52

Camilla kastar ein ball rett opp i lufta. Etter t sekund er høgda h meter over bakken gitt ved funksjonen

ht=14,5t-4,9t2+1,8

a) Når er ballen 10 m over bakken?

Løysing

Når høgda er 10 m, betyr det at  ht=10. Vi skriv inn funksjonen i CAS i GeoGebra og løyser likninga.

Ballen er 10 m over bakken etter 0,76 s (på veg opp) og etter 2,2 s (på veg ned).

b) Når treffer ballen bakken?

Løysing

Når ballen treffer bakken, er høgda over bakken 0 m.

Det betyr at vi må løyse likninga  ht=0.

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

Vi kan berre bruke den positive løysinga.

Ballen treffer bakken etter 3,08 s.

c) Når er ballen 15 m over bakken? Kva betyr svaret du får?

Løysing

Når høgda er 15 m, betyr det at  ht=15.

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

Inga løysing. Det må bety at ballen aldri når ei høgde på 15 m over bakken.

1.2.53

Ein brusboks har form som ein sylinder. Overflata til ein sylinder med topp og botn er gitt ved

O=2πr2+2πrh

der r er radiusen til sylinderen og h er høgda.

Kva er radius til ein brusboks dersom overflata er 250 cm2 og høgda 5 cm?

Løysing

Når høgda skal vere 5 cm, kan vi lage oss den følgjande overflatefunksjonen:

Or=2πr2+10πr

Når overflata skal vere 250 cm2, betyr det at vi må løyse likninga

Or=250

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

Vi kan berre bruke den positive løysinga.

Brusboksen har ein radius på 4,3 cm.