Løys likningane ved rekning for hand, grafisk og med CAS.
a)
Løysing
Løysing ved rekning for hand:
("∨" betyr "eller".)
Grafisk løysing:
Vi skriv inn venstresida av likninga som ein funksjon fx i algebrafeltet i GeoGebra. Sidan høgresida av likninga er null, kan vi bruke verktøyet "Nullpunkt" til å finne ut når funksjonen er null. Dei to nullpunkta har x-koordinatar 0 og 1, som er dei to løysingane på likninga.
Løysing med CAS:
b) 12x=3x2
Løysing
Vi viser berre løysing ved rekning for hand her.
12x-3x2=03x4-x=03x=0∨4-x=0x=0∨-x=-4x=0∨x=4
c) x2+7x=-6
Løysing
Løysing ved rekning for hand:
Her må vi bruke abc-formelen. Vi ordnar likninga først.
Vi skriv inn venstresida av likninga som ein funksjon fx og høgresida som ein funksjon gx i algebrafeltet i GeoGebra. Vi bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt" for å finne skjeringspunktet mellom grafane til dei to funksjonane. Skjeringspunkta har x-koordinatar -6 og -1, som er løysingane på likninga.
Løysing med CAS:
d) 5x2=25x
Løysing
Løysing ved rekning for hand:
5x2-25x=05xx-5=05x=0∨x-5=0x=0∨x=5
1.2.41
Løys likningane ved rekning for hand, grafisk og med CAS.
a) x2-4=0
Løysing
Løysing ved rekning for hand:
x2=4x=4∨x=-4x=2∨x=-2
Grafisk løysing:
Vi skriv inn venstresida av likninga som ein funksjon fx i algebrafeltet i GeoGebra. Sidan høgresida av likninga er null, kan vi bruke verktøyet "Nullpunkt" til å finne ut når funksjonen er null. Dei to nullpunkta har x-koordinatar -2 og 2, som er dei to løysingane på likninga.
Vi skriv inn venstresida av likninga som ein funksjon fx og høgresida som ein funksjon gx i algebrafeltet i GeoGebra. Vi bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt" for å finne skjeringspunktet mellom grafane til dei to funksjonane. Skjeringspunkta har x-koordinatar -3 og -2, som er løysingane på likninga.
a) Grunnflata til eit hus er eit rektangel der breidda er 4 meter kortare enn lengda. Arealet av grunnflata er 96 m². Finn ut kor langt og kor breitt huset er.
Tips til oppgåva
Kall breidda x. Finn deretter ein formel for lengda.
Løysing
Dersom vi kallar breidda for x, blir lengda, som er 4 m lengre, x+4.
Vi set opp ei likning ut ifrå at arealet skal vere 96 m2.
xx+4=96
Løysing med CAS:
Her bruker vi berre den positive løysinga. Lengda blir
b) Løys oppgåva på nytt, men ta utgangspunkt i at lengda er x. Kommenter løysinga.
Løysing
Når x står for lengda, betyr det at breidda er x-4. Dette gir likninga
xx-4=96
Løysing med CAS:
Igjen bruker vi berre den positive løysinga. Lengda er altså 12 m, og breidda blir som før
12-4=8
Det speler altså lita rolle om vi vel at x skal vere breidda eller lengda. Vi får ei anna likning å løyse, men resultatet er det same.
1.2.48
Grunnflata til eit hus er eit rektangel der breidda er 5 meter kortare enn lengda. Arealet av grunnflata er 126 m². Finn ut kor langt og kor breitt huset er.
Løysing
Dersom vi kallar lengda for x, blir uttrykket for breidda x-5. Vi set opp ei likning ut ifrå at arealet skal vere 126 m².
xx-5=126
Løysing med CAS:
Her bruker vi berre den positive løysinga. Breidda blir
Grunnflata til ein garasje er eit rektangel der breidda er 2 meter kortare enn lengda. Diagonalen i grunnflata er 10 meter. Finn ut kor lang og kor brei garasjen er.
Tips til oppgåva
Teikn grunnflata til garasjen, og ta med diagonalen på teikninga.
Løysing
Vi kan sjå på grunnflata som sett saman av to rettvinkla trekantar, og vi har valt at x står for breidda av garasjen. Det betyr at vi kan bruke pytagorassetninga til å setje opp likninga:
x2+x+22=102
Løysing med CAS:
Vi bruker berre den positive løysinga. Lengda blir
6+2=8
Garasjen er 8 m lang og 6 m brei.
Løysing ved rekning for hand:
x2+x+22=102x2+x2+4x+4-100=02x2+4x-96=0
Her er det lurt å dividere alle ledda med 2 for å få enklare tal å setje inn i abc-formelen.
Ei tomt er eit rektangel der breidda er 10 meter kortare enn lengda. Diagonalen er 45 meter. Finn arealet av tomta.
Løysing
Vi kan sjå på grunnflata som sett saman av to rettvinkla trekantar, og vi har valt at x står for breidda av tomta. Det betyr at vi kan bruke pytagorassetninga til å setje opp likninga
x2+x+102=452
Løysing med CAS:
Vi får at den eksakte løysinga på likninga blir to uttrykk med kvadratrot. Då trykkjer vi på knappen ≈ for å få rekna ut svaret som desimaltal.
Vi kan berre bruke den positive løysinga. Det betyr at breidda av tomta er 26,42 m og lengda er 36,42 m. I linje tre reknar vi ut arealet av tomta, og vi har teke med måleiningane i utrekninga.
Arealet av tomta er 962 m2.
1.2.51
a) Gitt andregradslikninga ax2-4x+4=0.
Finn ut kva verdiar av a som gir to løysingar, éi løysing og inga løysing av likninga.
Tips til oppgåva
Bruk abc-formelen.
Løysing
Vi har ei andregradslikning der a er ukjend, b=-4 og c=4. Vi set dette inn i abc-formelen.
x=--4±-42-4·a·42·ax=4±16-16a2a
Vi ser på uttrykket under rotteiknet, 16-16a.
Dersom a>1, vil uttrykket under rotteiknet bli negativt, og vi har inga løysing.
Dersom a=1, vil uttrykket under rotteiknet bli lik 0, og vi får éi løysing, x=42·1=2.
Dersom a<1, vil uttrykket under rotteiknet bli positivt, og vi har to løysingar.
b) Bruk GeoGebra, og lag ein glidar med namn a ved å skrive a=1 i algebrafeltet. Skriv så inn funksjonen fx=a·x2-4x+4. Endre på glidaren, og observer korleis grafen til f endrar seg. Stemmer det du observerer med løysinga i oppgåve a)?
c) Gitt andregradslikninga x2-bx+4=0.
Bruk abc-formelen, og finn ut kva verdiar av b som gir to løysingar, éi løysing og inga løysing.
Løysing
x=--b±-b2-4·1·42·1x=b±b2-162
Vi ser på uttrykket under rotteiknet, b2-16.
Dersom b2<16 vil uttrykket under rotteiknet bli negativt, og vi har inga løysing.
Dette vil skje når b ligg mellom -4 og 4.
Dersom b2=16, det vil seie når b=4 eller b=-4, vil uttrykket under rotteiknet bli lik 0, og vi får éi løysing.
b=-4:x=-(-4)2·1=2
b=4:x=-42·1=-2.
Dersom b2>16, det vil seie når b>4 eller b<-4, vil uttrykket under rotteiknet bli positivt, og vi har to løysingar.
d) Bruk GeoGebra. Lag ein glidar b, og skriv inn funksjonen gx=x2-bx+4=0. Endre på glidaren, og observer korleis grafen til g endrar seg. Stemmer det du observerer med løysinga i oppgåve c)?
e) Gjer tilsvarande analyse med andregradslikninga x2+2x+c=0.
Løysing
Likninga har éi løysing når c=1.
Likninga har to løysingar når c<1.
Likninga har inga løysing når c>1.
1.2.52
Camilla kastar ein ball rett opp i lufta. Etter t sekund er høgda h meter over bakken gitt ved funksjonen
ht=14,5t-4,9t2+1,8
a) Når er ballen 10 m over bakken?
Løysing
Når høgda er 10 m, betyr det at ht=10. Vi skriv inn funksjonen i CAS i GeoGebra og løyser likninga.
Ballen er 10 m over bakken etter 0,76 s (på veg opp) og etter 2,2 s (på veg ned).
b) Når treffer ballen bakken?
Løysing
Når ballen treffer bakken, er høgda over bakken 0 m.
Det betyr at vi må løyse likninga ht=0.
Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.
Vi kan berre bruke den positive løysinga.
Ballen treffer bakken etter 3,08 s.
c) Når er ballen 15 m over bakken? Kva betyr svaret du får?
Løysing
Når høgda er 15 m, betyr det at ht=15.
Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.
Inga løysing. Det må bety at ballen aldri når ei høgde på 15 m over bakken.
1.2.53
Ein brusboks har form som ein sylinder. Overflata til ein sylinder med topp og botn er gitt ved
O=2πr2+2πrh
der r er radiusen til sylinderen og h er høgda.
Kva er radius til ein brusboks dersom overflata er 250cm2 og høgda 5cm?
Løysing
Når høgda skal vere 5 cm, kan vi lage oss den følgjande overflatefunksjonen:
Or=2πr2+10πr
Når overflata skal vere 250 cm2, betyr det at vi må løyse likninga