Likningssett av første og andre grad
1.2.60
Løys likningssetta ved rekning for hand, grafisk og med CAS.
a)
Løysing
Løysing ved rekning for hand:
Grafisk løysing:
Vi skriv inn dei to likningane i algebrafeltet i GeoGebra og bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt".
Løysinga er koordinatane til skjeringspunkta, noko som stemmer med det vi fann ved rekning for hand.
Løysing med CAS:
b)
Løysing
Vi viser berre løysing ved rekning for hand og grafisk løysing her.
Løysing ved rekning for hand:
Grafisk løysing:
Vi skriv inn dei to likningane i algebrafeltet i GeoGebra og bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt".
c)
Løysing
d) Vi har likningssettet
For kva verdiar av
to løysingar?
éi løysing?
inga løysing?
Løys oppgåva både ved å rekne for hand og grafisk med GeoGebra ved å lage ein glidar for
Tips til oppgåva
For å svare på spørsmålet bør du prøve å løyse likningssettet ved rekning for hand – sjølv om det er ein ukjend
Løysing ved rekning for hand
Her vil det gi litt enklare rekning ved først å løyse den andre likninga med omsyn på
Så set vi dette inn for
Då har vi ei andregradslikning der
Vi får ikkje rekna ut kvadratrota her. Vi får altså éi løysing for
Vi ser på uttrykket for løysinga. Det som gir inga løysing, er når det blir negativt under rotteiknet. Først kan vi rekne ut kva som gir 0 under rotteiknet. Det er når
Dersom
Likningssettet har to løysingar når
.k < 2 Likningssettet har éi løysing når
.k = 2 Likningssettet har inga løysing når
.k > 2
Tips til den grafiske løysinga
Vi kan ikkje teikne grafen til den andre likninga når ho inneheld ein ukjend storleik (
Grafisk løysing
Vi skriv
Nedanfor har vi bygd inn eit interaktivt GeoGebra-ark der vi har følgt oppskrifta i det førre avsnittet. Du kan dra i glidaren for
1.2.61
To kvadrat har ein omkrins på til saman
a) Set opp to likningar, og finn sidene i kvadrata. Løys oppgåva ved rekning for hand, og kontroller svaret med CAS.
Løysing
Vi kallar sidelengdene i dei to kvadrata for høvesvis x og y. Vi set opp to likningar.
Vi startar med å løyse den første likninga med omsyn på
Så set vi resultatet inn i i den andre likninga.
abc-formelen gir
Kontroll av svaret med CAS:
Det eine kvadratet har sidelengde
b) Prøv å løyse oppgåva ved rekning for hand utan å starte med å setje opp to likningar med to ukjende.
Løysing
Ideen er å setje opp ei likning for areala av dei to kvadrata, kalle sida i det eine kvadratet for
Vi startar med informasjonen om omkrinsen. Vi kallar sidelengda i det andre kvadratet for
Ut frå denne likninga kan vi finne ein formel for den andre sidelengda uttrykt ved
Så bruker vi informasjonen om arealet.
abc-formelen gir
Vi får det same resultatet som i oppgåve a).
c) Samanlikn løysinga i a) med løysinga i b).
Løysing
I b) byrjar vi med éi likning og reknar vidare med ho før vi kjem til den andre likninga. Er det stor skilnad på løysingane? Eigentleg ikkje, vi gjer i praksis akkurat det same.
1.2.62
To tal er til saman 169. Kvadrerer du tala og legg dei saman, er summen 14 893. Set opp to likningar, og finn kva to tal dette er.
Løysing
Vi kallar dei to tala høvesvis
Vi løyser likningssettet i GeoGebra, der vi viser korleis vi kan løyse likningssettet ved å skrive kommandoen "Løys" i staden for å skrive inn likningane på kvar si linje:
Det eine talet er 102 og det andre 67.
1.2.63
a) Differansen mellom to tal er 3. Differansen mellom kvadrata til tala er 57. Kva to tal er dette?
Løysing
Vi kallar dei to tala høvesvis
Det eine talet er 8 og det andre 11.
b) Kvotienten mellom to tal er 3. Produktet av dei to tala er 27. Kva to tal er dette?
Løysing
Vi kallar dei to tala høvesvis
Dei to tala er anten