Hopp til innhald
Oppgåve

Likningssett

Her får du både oppgåver med ferdige likningssett og oppgåver der du sjølv må kome fram til eit likningssett som må løysast.

1.2.20

Løys likningssetta ved rekning for hand. Kontroller svara ved å løyse likningssetta ved bruk av CAS.

a) x+y=-22x-3y=6

Løysing

Løysing ved rekning for hand (innsetjingsmetoden):

x+y = -2x=-2-y2·(-2-y)-3y=6-4-2y-3y=6-5y=10y=10-5=-2x=-2-(-2)=-2+2=0

Løysing ved rekning for hand (addisjonsmetoden):

Vi multipliserer den øvste likninga med 3 og legg saman venstresidene og høgresidene.

3x+3y = -62x-3y = 65x = 0x = 03·0+3y = -63y3 = -63y = -2

Løysing med CAS:

Her har vi skrive inn likningane i linje 1 og linje 2. Så har vi trykt på verktøyknappen x  = ("Løys ei eller fleire likningar").

Merk at i staden for å trykkje på verktøyknappen, kunne vi i linje 3 ha skrive kommandoen

Løys({$1,$2})

b) 6x+2y=82x-y=6

Løysing

Vi viser berre løysing ved rekning for hand med innsetjingsmetoden her.

-y = 6-2xy=2x-66x+22x-6=86x+4x-12=810x=20x=2010=2y=2·2-6=-2

Dersom du skal løyse oppgåva ved å bruke addisjonsmetoden, vil det vere enklast å starte med å multiplisere den nedste likninga med 2.

c) -5x-2y=42x-3y=6

Løysing

2x = 6+3yx=3+32y-53+32y-2y=4-15-152y-2y=4-152y-42y=4+15-192y=19-19y=38y=38-19=-2x=3+32·-2=0

d) -4x=3y-22y=4x-8

Løysing

2y = 4x-8y=2x-4-4x=32x-4-2-4x=6x-12-2-10x=-14x=-14-10=75y=2·75-4=145-4=145-205=-65

e) -y=x-64y+4x=-2

Løysing

-y = x-6y=6-x46-x+4x=-224-4x+4x=-20x=-26

Inga løysing

1.2.21

Løys først likningssetta ved rekning for hand. Kontroller svara ved å løyse likningssetta grafisk og ved bruk av CAS.

a) x-y=12x-3y=-2

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

x-y = 1x=1+y21+y-3y=-22+2y-3y=-2-y=-4y=4x=1+4=5

Grafisk løysing:

Vi skriv inn dei to likningane (kalla "l1" og "l2" på figuren) og bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt" for å finne skjeringspunktet mellom grafane til likningane. Skjeringspunktet har x-koordinat lik 5 og y-koordinat lik 4, og dette er løysinga på likningssettet.

Løysing med CAS:

b) 32x+2y=522x-12y=-3

Løysing

Vi viser berre løysing ved rekning for hand her.

2x-12y = -3-12y=-3-2xy=6+4x32x+26+4x=523x+24+16x=519x=-19x=-1y=6-4=2

c) -60x+80y=402x-3y=-2

Løysing

-60x+80y = 40    :20-3x+4y=2x=4y-2324y-23=-28y-4-9y=-6-y=-2y=2x=4·2-23=2

d) -35x=3y-62y=4x-40

Løysing

2y = 4x-40    :2y=2x-20-35x=3(2x-20)-6-35x=6x-60-6    ·5-3x=30x-300-30-33x=-330x=10y=2·10-20y=0

e) -2y=x-114y-15x=11

Løysing

4y-15x = 11   ·520y-x=55x=20y-55-2y=20y-55-11-22y=-66y=3x=20·3-55=5

1.2.22

2 kg torskefilet og 1,5 kg ulkefilet kostar til saman 385 kroner. 3 kg torskefilet og 0,5 kg ulkefilet kostar 315 kroner. Kva er kiloprisen for torske- og ulkefileten?

Løysing

Vi set prisen for torskefilet lik x kroner og prisen for ulkefilet lik y kroner, og får

2x+1,5y = 3853x+0,5y=3150,5y=315-3xy=630-6x2x+1,5(630-6x)=3852x+945-9x=385-7x=-560x=80y=630-6·80=150

Oppgåva kan òg løysast med CAS.

Torskefileten kostar 80 kroner per kg, og ulkefileten kostar 150 kroner per kg.

1.2.23

Lærar Hansen kjøpte ein dag til saman 115 eple og pærer. Han betalte 415 kroner. Kvart eple kosta 3 kroner, og kvar pære kosta 4 kroner. Kor mange eple og kor mange pærer kjøpte han?

Løysing

Dersom lærar Hansen kjøpte x eple og y pærer, får vi dei følgjande likningane:

x+y = 1153x+4y=415

Vi løyser likningssettet med CAS i GeoGebra:

Lærar Hansen kjøpte 45 eple og 70 pærer.

Likningssettet kan òg løysast ved rekning for hand:

x = 115-y3(115-y)+4y=415345-3y+4y=415y=70x=115-70=45

1.2.24

Løys likningssetta.

a) 12x-13y=1614x+12y=2

Løysing

Vi løyser med CAS i GeoGebra.

b) -0,1s+2t=3,40,4t=1,6s-2,8

Løysing

Vi løyser likningssettet med kommandoen "Løys" i CAS i GeoGebra.

Her kan vi vurdere å trykkje på knappen      for å få løysinga skriven på desimalform.

1.2.25 Utfordring!

Per har kjøpt ny påhengsmotor. Oljeblandinga til motoren skal vere 1 dl olje til 10 L bensin. Per har ståande 10 L oljeblanding til den gamle påhengsmotoren sin. Der er blandingsforholdet 2 dl olje til 10 L bensin. Han har òg ei kanne med 10 L rein bensin. Korleis kan han blande for å få 5 L riktig blanding på den nye motoren sin?

Løysing

Vi set mengda oljeblanding lik x L og mengda rein bensin lik y L. Vidare bruker vi at summen av mengdene skal bli 5 L til den første likninga. Til den andre likninga bruker vi at mengda olje frå oljeblandinga skal utgjere ein brøkdel 0,110,1 av 5 L.

x+y = 5x·0,210,2+0=5·0,110,1

Vi løyser oppgåva med CAS i GeoGebra.

Per må blande 2,52 L av oljeblandinga og 2,48 L rein bensin.

Oppgåva kan òg løysast utan å setje opp likningssett. Finn ut korleis.

1.2.26 Utfordring!

Mopeden til Kari har gått tom for bensin. Mopeden skal ha ei oljeblanding med 3 dl olje til 10 L bensin. Far til Kari har ståande 10 L oljeblanding med 2 dl olje til 10 L bensin. Han har òg ei kanne med olje. Korleis kan Kari blande for å få 8 L riktig blanding på mopeden?

Løysing

Vi set mengda oljeblanding lik x liter og mengda rein olje lik y liter.

Vi set opp to likningar der mengda oljeblanding blir sett som x liter og mengda olje som y liter.

x+y = 8x·0,210,2+y=8·0,310,3

Med CAS i GeoGebra får vi

Kari må ha 7,92 L oljeblanding og 0,08 L olje.

1.2.27

Løys likningssettet.

x+y+z = 62x+y-2z = -23x+2y+z = 10

Tips til oppgåva

Dette er eit likningssett med tre ukjende. Det løyser vi enklast med CAS på tilsvarande måte som likningssett med to ukjende.

Løysing

Løysing med CAS i GeoGebra:

Nedanfor har vi løyst likningssettet ved rekning for hand. Det er god matematisk trening om du prøver det. Vi bruker på ein måte innsetjingsmetoden to gonger.

Vi løyser likninga  x+y+z=6  med omsyn på x.

x=6-y-z

Så blir dette uttrykket sett inn for x i dei to andre likningane.

2(6-y-z)+y-2z=-23(6-y-z)+2y+z= 1012-2y-2z+y-2z = -218-3y-3z+2y+z= 10-y-4z=-14-y-2z=-8

Vi har no eit likningssett med to ukjende som vi løyser.

y-4z = -14y = 14-4z

Vidare er
          -14-4z-2z = -8-14+4z-2z = -82z = 6z = 3

som gir

y = 14-4·3=2x = 6-2-3=1



1.2.28

Løys likningssettet.

x+y-z  = 02x+y-z  = 24x+y-2z  =  1

Løysing

Løysing med CAS i GeoGebra:

1.2.29

Per, Pål og Espen skal lage fruktcocktail. Alle tre har kjøpt bananar, druer og eple.

Per betalte 92 kroner for 1,5 kg eple, 1 kg druer og 2 kg bananar. Pål kjøpte 1 kg eple, 0,5 kg druer og 1,5 kg bananar. For dette betalte han 59 kroner. Espen betalte 101 kroner for 2 kg eple, 1,5 kg druer og 1 kg bananar.

Set opp tre likningar, og finn kiloprisen på epla, druene og bananane.

Løysing

Vi set opp tre likningar der x er kilopris for epla, y er kilopris for druene, og z er kilopris for bananane.

1,5x+y+2z = 92x+0,5y+1,5z = 592x+1,5y+z = 101

Løysing med CAS i GeoGebra:

Epla kostar 20 kroner per kg, druene kostar 30 kroner per kg, og bananane kostar 16 kroner per kg.

1.2.30

På ein gard er det kyr, grisar og høns. Det er 40 fleire grisar enn kyr. I alt er det 150 hovud og 460 bein.

Set opp tre likningar der du lèt k stå for talet på kyr, g for talet på grisar og h for talet på høner, og finn kor mange dyr av kvart slag det er på garden.

Løysing

Vi set opp tre likningar:

k+g+h = 150          talet på hovud4k+4g+2h = 460          talet på being-k = 40            skilnaden mellom talet på grisar og kyr

Løysing med CAS i GeoGebra:

På garden var det 20 kyr, 60 grisar og 70 høner.

1.2.31

Tre søsken er til saman 36 år. Aldersskilnaden mellom den eldste og den yngste av søskena er 12 år. Alderen til den yngste av søskena er tredjedelen av alderen til den eldste.

Set opp tre likningar der du lèt y stå for alderen til den yngste av søskena, m for alderen til den mellomste og e for alderen til den eldste av søskena.

Bruk likningane til å finne alderen til søskena.

Løysing

Vi set opp tre likningar.

y+m+e = 36e-y = 12y = e3

Løysing med CAS i GeoGebra:

Dei tre søskena er 6, 12 og 18 år gamle.