Andregradslikningar

Kva er ei andregradslikning?

Ei likning som kan skrivast på forma  $a{x}^2+bx+c=0 \mathrm{der} a\ne 0$, kallar vi ei andregradslikning.

Eit døme på ei andregradslikning er $x^2+4x-5=0$.

$x^2$ kallar vi andregradsleddet og $a=1$.
$4x$ kallar vi førstegradsleddet og $b=4$.
$-5$ kallar vi konstantleddet og $c=-5$.

Nokre gonger må andregradslikninga ordnast for å sjå kva tala $a, b$ og $c$ er.

Andregradslikninga

$3-x=\frac{-7x^2}{2}$

kan ordnast til likninga

$\begin{array}{rcl} 6-2x& = & -7x^2\\ 7x^2 -2x+6& =& 0\end{array}$

Her ser vi at $a=7, b=-2 \mathrm{og} c=6$.

Ei andregradslikning inneheld alltid andregradsleddet, men førstegradsleddet og konstantleddet kan mangle, det vil seie at $b$ og/eller $c$ kan vere lik $0$. Først skal vi vise korleis vi relativt enkelt kan løyse ei andregradslikning som manglar eit av desse to ledda.

Løysing når konstantleddet manglar

Når konstantleddet $c$ manglar, kan vi samle dei to attståande ledda på venstre side av likskapsteiknet og faktorisere ved å setje $x$ utanfor parentes. Faktoren $x$ finst nemleg i begge ledda. Vi nyttar oss av at når eit produkt er lik null, må minst ein av faktorane vere lik null.

Døme

$\begin{array}{rclll}{x}^2-2x& = & 0& & \\ & & & & \\ x\left(x-2\right)& =& 0& & \\ & & & & \\ x& =& 0 \vee x-2=0& & (\vee = \mathrm{eller})\\ & & & & \\ x& =& 0 \vee x=2& & \\ & & & & \end{array}$

Når eit produkt er lik null, må minst ein av faktorane vere lik null.

Oppgåve

Forklar kvifor  $x\left(x-2\right)$  i løysinga over er eit produkt.

Løysing når førstegradsleddet manglar

Vi ordnar likninga slik at $x^2$ blir isolert på venstre side av likskapsteiknet. Så trekkjer vi ut kvadratrota.

Døme

$\begin{array}{rcl}-2x^2+18& = & 0\\ & & \\ -2x^2& =& -18\\ & & \\ x^2& =& 9\\ & & \\ x& =& \sqrt{9} \vee x=-\sqrt{9}\\ & & \\ x& =& 3 \vee x=-3\end{array}$

Dersom høgresida blir null etter at likninga er ordna, får vi berre éi løysing, nemleg $x=0$. Dersom høgresida blir negativ etter at likninga er ordna, så har likninga ikkje nokon løysingar.

Løysing med abc-formelen

Andregradslikninga  $x^2-x-6=0$  kan ikkje løysast med rekneteknikkane vi har brukt ovanfor. Vi kan sjølvsagt løyse denne likninga grafisk eller med CAS. Her viser vi korleis vi kan bruke den såkalla abc-formelen for å rekne ut løysingane.

Når vi løyser ei andregradslikning med abc-formelen, ordnar vi først likninga slik at ho kjem på forma $a{x}^2+bx+c=0$.

Oppgåve

Kvifor har vi skrive at  $b^2-4ac\ge 0$?

Oppgåve

Forklar kvifor vi berre får éi løysing når  $b^2-4ac=0$.

Døme

Vi skal no sjå på nokre døme på bruk av abc-formelen.

Døme 1

$\begin{array}{rcl} x^2& = & 5-4x\\ & & \\ x^2+4x-5& =& 0 \mathrm{Vi} \mathrm{ordnar} \mathrm{likninga} \mathrm{og} \begin{array}{rcl}& & \mathrm{finn}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \mathrm{at}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & a\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & 1\end{array}\begin{array}{rcl}& & ,\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & b\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & 4\end{array}\begin{array}{rcl}& & ,\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & c\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & -\end{array}\begin{array}{rcl}& & 5\end{array}\begin{array}{rcl}& & .\end{array}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·\left(-5\right)}}{2·1} \mathrm{Vi} \mathrm{set} \mathrm{inn} \mathrm{i} \mathrm{formelen}.\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{16+20}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{36}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-4+6}{2} \mathrm{eller} x=\frac{-4-6}{2}\\ & & \\ x& =& 1 \mathrm{eller} x=-5\end{array}$

Likninga har to løysingar. Det er altså to verdiar for $x$ som passar i den opphavlege likninga.

Døme 2

$\begin{array}{rcl}{x}^2+4x+4& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·4}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}=\frac{-4\pm 0}{2}=-2\\ & & \\ x& =& -2\end{array}$

Uttrykket under rotteiknet er null, og vi får berre éi løysing.

Døme 3

$\begin{array}{rcl}{x}^2-2x+4& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·4}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm \sqrt{4-16}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{-12}}{2}\\ & & \\ & & \mathrm{Inga} \mathrm{løysing}\end{array}$

Vi får $-12$ under rotteiknet, og $\sqrt{-12}$ er ikkje definert når vi reknar med reelle tal. Vi får derfor inga løysing, det vil seie at det ikkje finst noko reelt tal som er slik at andregradsuttrykket på venstre side i likninga blir null.

Ved CAS i GeoGebra får vi løysingane nedanfor ved å bruke knappen $\boxed{\underset{}{\overset{}{\mathrm{x}}}=}$.

Legg merke til markeringa for "inga løysing" i linje 3.