Oppgave

Likningssett

Her får du både oppgaver med ferdige likningssett og oppgaver der du selv må komme fram til et likningssett som må løses.

1.2.20

Løs likningssettene ved regning for hånd. Kontroller svarene ved å løse likningssettene ved bruk av CAS.

a) $[\begin{matrix} x & + & y & = & - 2 \\ 2 x & - & 3 y & = & 6 \end{matrix}]$

Løsning

Løsning ved regning for hånd (innsettingsmetoden):

$\begin{array}{rcl} x + y & = & - 2 \\ x & = & - 2 - y \\ 2 \cdot (- 2 - y) - 3 y & = & 6 \\ - 4 - 2 y - 3 y & = & 6 \\ - 5 y & = & 10 \\ y & = & \frac{10}{- 5} = - 2 \\ x & = & - 2 - (- 2) = - 2 + 2 = 0 \end{array}$

Løsning ved regning for hånd (addisjonsmetoden):

Vi multipliserer den øverste likningen med 3 og legger sammen venstresidene og høyresidene.

$\begin{array}{rcl} 3 x + 3 y & = & - 6 \\ 2 x - 3 y & = & 6 \\ 5 x & = & 0 \\ x & = & 0 \\ 3 \cdot 0 + 3 y & = & - 6 \\ \frac{3 y}{3} & = & \frac{- 6}{3} \\ y & = & - 2 \end{array}$

Løsning med CAS:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet x pluss y er lik minus 2. Svaret er det samme. På linje 2 er det skrevet 2 x minus 3 y er lik 6. Svaret er det samme. På linje 3 er det skrevet sløyfeparentes dollartegn 1 komma, dollartegn 2 sløyfeparentes slutt. Svaret med "Løs" er x er lik 0 og y er lik minus 2. Skjermutklipp.

Her har vi skrevet inn likningene i linje 1 og linje 2. Så har vi trykket på verktøyknappen $x_{}^{} =$ ("Løs en eller flere likninger").

Merk at i stedet for å trykke på verktøyknappen, kunne vi i linje 3 ha skrevet kommandoen

Løs({$1,$2})

b) $[\begin{matrix} 6 x & + & 2 y & = & 8 \\ 2 x & - & y & = & 6 \end{matrix}]$

Løsning

Vi viser bare løsning ved regning for hånd med innsettingsmetoden her.

$\begin{array}{rcl} - y & = & 6 - 2 x \\ y & = & 2 x - 6 \\ 6 x + 2 (2 x - 6) & = & 8 \\ 6 x + 4 x - 12 & = & 8 \\ 10 x & = & 20 \\ x & = & \frac{20}{10} = 2 \\ y & = & 2 \cdot 2 - 6 = - 2 \end{array}$

Dersom du skal løse oppgaven ved å bruke addisjonsmetoden, vil det være enklest å starte med å multiplisere den nederste likningen med 2.

c) $[\begin{matrix} - 5 x & - & 2 y & = & 4 \\ 2 x & - & 3 y & = & 6 \end{matrix}]$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & 6 + 3 y \\ x & = & 3 + \frac{3}{2} y \\ - 5 (3 + \frac{3}{2 y}) - 2 y & = & 4 \\ - 15 - \frac{15}{2} y - 2 y & = & 4 \\ - \frac{15}{2} y - \frac{4}{2} y & = & 4 + 15 \\ - \frac{19}{2} y & = & 19 \\ - 19 y & = & 38 \\ y & = & \frac{38}{- 19} = - 2 \\ x & = & 3 + \frac{3}{2} \cdot (- 2) = 0 \end{array}$

d) $[\begin{matrix} - 4 x & = & 3 y & - & 2 \\ 2 y & = & 4 x & - & 8 \end{matrix}]$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2 y & = & 4 x - 8 \\ y & = & 2 x - 4 \\ - 4 x & = & 3 (2 x - 4) - 2 \\ - 4 x & = & 6 x - 12 - 2 \\ - 10 x & = & - 14 \\ x & = & \frac{- 14}{- 10} = \frac{7}{5} \\ y & = & 2 \cdot \frac{7}{5} - 4 = \frac{14}{5} - 4 = \frac{14}{5} - \frac{20}{5} = - \frac{6}{5} \end{array}$

e) $[\begin{matrix} - y & = & x & - & 6 \\ 4 y & + & 4 x & = & - 2 \end{matrix}]$

Løsning

$\begin{array}{rcl} - y & = & x - 6 \\ y & = & 6 - x \\ 4 (6 - x) + 4 x & = & - 2 \\ 24 - 4 x + 4 x & = & - 2 \\ 0 x & = & - 26 \end{array}$

Ingen løsning

1.2.21

Løs først likningssettene ved regning for hånd. Kontroller svarene ved å løse likningssettene grafisk og ved bruk av CAS.

a) $[\begin{matrix} x & - & y & = & 1 \\ 2 x & - & 3 y & = & - 2 \end{matrix}]$

Løsning

Løsning ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl} x - y & = & 1 \\ x & = & 1 + y \\ 2 (1 + y) - 3 y & = & - 2 \\ 2 + 2 y - 3 y & = & - 2 \\ - y & = & - 4 \\ y & = & 4 \\ x & = & 1 + 4 = 5 \end{array}$

Grafisk løsning:

Vi skriver inn de to likningene (kalt "l1" og "l2" på figuren) og bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktet mellom grafene til likningene. Skjæringspunktet har $x$ -koordinat lik 5 og $y$ -koordinat lik 4, og dette er løsningen på likningssettet.

Grafen til likningene x minus y er lik 1 og 2 x minus 3 y er lik minus 2 er tegnet for x-verdier mellom 0 og 6. Skjæringspunktet mellom grafene er markert og har koordinatene 5 og 4. Illustrasjon.

Løsning med CAS:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet x minus y er lik 1. Svaret er det samme. På linje 2 er det skrevet 2 x minus 3 y er lik minus 2. Svaret er det samme. På linje 3 er det skrevet sløyfeparentes dollartegn 1 komma, dollartegn 2 sløyfeparentes slutt. Svaret med "Løs" er x er lik 5 og y er lik 4. Skjermutklipp.

b) $[\begin{matrix} \frac{3}{2} & x & + & 2 y & = & \frac{5}{2} \\ 2 x & - & \frac{1}{2} y & = & - 3 \end{matrix}]$

Løsning

Vi viser bare løsning ved regning for hånd her.

$\begin{array}{rcl} 2 x - \frac{1}{2} y & = & - 3 \\ - \frac{1}{2} y & = & - 3 - 2 x \\ y & = & 6 + 4 x \\ \frac{3}{2} x + 2 (6 + 4 x) & = & \frac{5}{2} \\ 3 x + 24 + 16 x & = & 5 \\ 19 x & = & - 19 \\ x & = & - 1 \\ y & = & 6 - 4 = 2 \end{array}$

c) $[\begin{matrix} - 60 x & + & 80 y & = & 40 \\ 2 x & - & 3 y & = & - 2 \end{matrix}]$

Løsning

$\begin{array}{rcl} - 60 x + 80 y & = & 40 : 20 \\ - 3 x + 4 y & = & 2 \\ x & = & \frac{4 y - 2}{3} \\ 2 (\frac{4 y - 2}{3}) & = & - 2 \\ 8 y - 4 - 9 y & = & - 6 \\ - y & = & - 2 \\ y & = & 2 \\ x & = & \frac{4 \cdot 2 - 2}{3} = 2 \end{array}$

d) $[\begin{matrix} - \frac{3}{5} x & = & 3 y & - & 6 \\ 2 y & = & 4 x & - & 40 \end{matrix}]$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2 y & = & 4 x - 40 : 2 \\ y & = & 2 x - 20 \\ - \frac{3}{5} x & = & 3 (2 x - 20) - 6 \\ - \frac{3}{5} x & = & 6 x - 60 - 6 \cdot 5 \\ - 3 x & = & 30 x - 300 - 30 \\ - 33 x & = & - 330 \\ x & = & 10 \\ y & = & 2 \cdot 10 - 20 \\ y & = & 0 \end{array}$

e) $[\begin{matrix} - 2 y & = & x & - & 11 \\ 4 y & - & \frac{1}{5} x & = & 11 \end{matrix}]$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 4 y - \frac{1}{5} x & = & 11 \cdot 5 \\ 20 y - x & = & 55 \\ x & = & 20 y - 55 \\ - 2 y & = & 20 y - 55 - 11 \\ - 22 y & = & - 66 \\ y & = & 3 \\ x & = & 20 \cdot 3 - 55 = 5 \end{array}$

1.2.22

2 kg torskefilet og 1,5 kg ulkefilet koster til sammen 385 kroner. 3 kg torskefilet og 0,5 kg ulkefilet koster 315 kroner. Hva er kiloprisen for torske- og ulkefileten?

Løsning

Vi setter prisen for torskefilet lik $x$ kroner og prisen for ulkefilet lik $y$ kroner, og får

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1, 5 y & = & 385 \\ 3 x + 0, 5 y & = & 315 \\ 0, 5 y & = & 315 - 3 x \\ y & = & 630 - 6 x \\ 2 x + 1, 5 (630 - 6 x) & = & 385 \\ 2 x + 945 - 9 x & = & 385 \\ - 7 x & = & - 560 \\ x & = & 80 \\ y & = & 630 - 6 \cdot 80 = 150 \end{array}$

Oppgaven kan også løses med CAS.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet 2 x pluss 1,5 y er lik 385. Svaret er det samme. På linje 2 er det skrevet 3 x pluss 0,5 y er lik 315. Svaret er det samme. På linje 3 er det skrevet sløyfeparentes dollartegn 1 komma, dollartegn 2 sløyfeparentes slutt. Svaret med "Løs" er x er lik 80 og y er lik 150. Skjermutklipp.

Torskefileten koster 80 kroner per kg, og ulkefileten koster 150 kroner per kg.

1.2.23

Lærer Hansen kjøpte en dag til sammen 115 epler og pærer. Han betalte 415 kroner. Hvert eple kostet 3 kroner, og hver pære kostet 4 kroner. Hvor mange epler og hvor mange pærer kjøpte han?

Løsning

Hvis lærer Hansen kjøpte $x$ epler og $y$ pærer, får vi følgende likninger:

$\begin{array}{rcl} x + y & = & 115 \\ 3 x + 4 y & = & 415 \end{array}$

Vi løser likningssettet med CAS i GeoGebra:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet x pluss y er lik 115. Svaret er det samme. På linje 2 er det skrevet 3 x pluss 4 y er lik 415. Svaret er det samme. På linje 3 er det skrevet sløyfeparentes dollartegn 1 komma, dollartegn 2 sløyfeparentes slutt. Svaret med "Løs" er x er lik 45 og y er lik 70. Skjermutklipp.

Lærer Hansen kjøpte 45 epler og 70 pærer.

Likningssettet kan også løses ved regning for hånd:

$\begin{array}{rcl} x & = & 115 - y \\ 3 (115 - y) + 4 y & = & 415 \\ 345 - 3 y + 4 y & = & 415 \\ y & = & 70 \\ x & = & 115 - 70 = 45 \end{array}$

1.2.24

Løs likningssettene.

a) $[\begin{matrix} \frac{1}{2} x & - & \frac{1}{3} y & = & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{4} x & + & \frac{1}{2} y & = & 2 \end{matrix}]$

Løsning

Vi løser med CAS i GeoGebra.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Løs parentes sløyfeparentes 1 halv x minus 1 tredjedels y er lik 1 sjettedel komma, 1 fjerdedels x pluss 1 halv y er lik 2 sløyfeparentes slutt komma, sløyfeparentes x komma, y sløyfeparentes slutt parentes slutt. Svaret er x er lik 9 fjerdedeler og y er lik 23 åttendedeler. Skjermutklipp.

b) $[\begin{matrix} - 0, 1 s & + & 2 t & = & 3, 4 \\ 0, 4 t & = & 1, 6 s & - & 2, 8 \end{matrix}]$

Løsning

Vi løser likningssettet med kommandoen "Løs" i CAS i GeoGebra.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Løs parentes sløyfeparentes minus 0,1 s pluss 2 t er lik 3,4 komma, 0,4 t er lik 1,6 s minus 2,8 sløyfeparentes slutt komma, sløyfeparentes s komma, t sløyfeparentes slutt parentes slutt. Svaret er s er lik 174 syttinideler og t er lik 143 syttinideler. Skjermutklipp.

Her kan vi vurdere å trykke på knappen $\approx_{}^{}$ for å få løsningen skrevet på desimalform.

1.2.25 Utfordring!

Per har kjøpt ny påhengsmotor. Oljeblandingen til motoren skal være 1 dL olje til 10 L bensin. Per har stående 10 L oljeblanding til sin gamle påhengsmotor. Der er blandingsforholdet 2 dL olje til 10 L bensin. Han har også en kanne med 10 L ren bensin. Hvordan kan han blande for å få 5 L riktig blanding på den nye motoren sin?

Løsning

Vi setter mengden oljeblanding lik $x$ L og mengden ren bensin lik $y$ L. Videre bruker vi at summen av mengdene skal bli 5 L til den første likningen. Til den andre likningen bruker vi at mengden olje fra oljeblandingen skal utgjøre en brøkdel $\frac{0, 1}{10, 1}$ av 5 L.

$\begin{array}{rcl} x + y & = & 5 \\ \frac{x \cdot 0, 2}{10, 2} + 0 & = & \frac{5 \cdot 0, 1}{10, 1} \end{array}$

Vi løser oppgaven med CAS i GeoGebra.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Løs parentes sløyfeparentes x pluss y er lik 5 komma, x multiplisert med 0,2 delt på 10,2 er lik 5 multiplisert med 0,1 delt på 10,1 sløyfeparentes slutt komma, sløyfeparentes x komma, y sløyfeparentes slutt parentes slutt. Svaret er x er lik 255 hundreogendeler og y er lik 250 hundreogendeler. På linje 2 er det skrevet dollartegn 1. Svaret med tilnærming er x er lik 2,52 og y er lik 2,48. Skjermutklipp.

Per må blande 2,52 L av oljeblandingen og 2,48 L ren bensin.

Oppgaven kan også løses uten å sette opp likningssett. Finn ut hvordan.

1.2.26 Utfordring!

Karis moped har gått tom for bensin. Mopeden skal ha en oljeblanding med 3 dL olje til 10 L bensin. Far til Kari har stående 10 L oljeblanding med 2 dL olje til 10 L bensin. Han har også en kanne med olje. Hvordan kan Kari blande for å få 8 L riktig blanding på mopeden?

Løsning

Vi setter mengden oljeblanding lik $x$ liter og mengden ren olje lik $y$ liter.

Vi setter opp to likninger der mengden oljeblanding settes som $x$ liter og mengden olje som $y$ liter.

$\begin{array}{rcl} x + y & = & 8 \\ \frac{x \cdot 0, 2}{10, 2} + y & = & \frac{8 \cdot 0, 3}{10, 3} \end{array}$

Med CAS i GeoGebra får vi

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Løs parentes sløyfeparentes x pluss y er lik 8 komma, x multiplisert med 0,2 delt på 10,2 pluss y er lik 8 multiplisert med 0,3 delt på 10,3 sløyfeparentes slutt komma, sløyfeparentes x komma, y sløyfeparentes slutt parentes slutt. Svaret er x er lik 816 hundreogtredeler og y er lik 8 hundreogtredeler. På linje 2 er det skrevet dollartegn 1. Svaret med tilnærming er x er lik 7,92 og y er lik 0,08. Skjermutklipp.

Kari må ha 7,92 L oljeblanding og 0,08 L olje.

1.2.27

Løs likningssettet.

$\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 6 \\ 2 x + y - 2 z & = & - 2 \\ 3 x + 2 y + z & = & 10 \end{array}$

Tips til oppgaven

Dette er et likningssett med tre ukjente. Det løser vi enklest med CAS på tilsvarende måte som likningssett med to ukjente.

Løsning

Løsning med CAS i GeoGebra:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Løs parentes sløyfeparentes x pluss y pluss z er lik 6 komma, 2 x pluss y minus 2 z er lik minus 2 komma, 3 x pluss 2 y pluss z er lik 10 sløyfeparentes slutt parentes slutt. Svaret er x er lik 1 og y er lik 2 og z er lik 3. Skjermutklipp.

Nedenfor har vi løst likningssettet ved regning for hånd. Det er god matematisk trening om du prøver det. Vi bruker på en måte innsettingsmetoden to ganger.

Vi løser likningen $x + y + z = 6$ med hensyn på $x$ .

$x = 6 - y - z$

Så settes dette uttrykket inn for $x$ i de to andre likningene.

$\begin{array}{rcl} 2 (6 - y - z) + y - 2 z & = & - 2 \\ 3 (6 - y - z) + 2 y + z & = & 10 \\ 12 - 2 y - 2 z + y - 2 z & = & - 2 \\ 18 - 3 y - 3 z + 2 y + z & = & 10 \\ - y - 4 z & = & - 14 \\ - y - 2 z & = & - 8 \end{array}$

Vi har nå et likningssett med to ukjente som vi løser.

$\begin{array}{rcl} y - 4 z & = & - 14 \\ y & = & 14 - 4 z \end{array}$

Videre er
$\begin{array}{rcl} - (14 - 4 z) - 2 z & = & - 8 \\ - 14 + 4 z - 2 z & = & - 8 \\ 2 z & = & 6 \\ z & = & 3 \end{array}$

som gir

$\begin{array}{rcl} y & = & 14 - 4 \cdot 3 = 2 \\ x & = & 6 - 2 - 3 = 1 \end{array}$

1.2.28

Løs likningssettet.

$\begin{array}{rcl} x + y - z & = & 0 \\ 2 x + y - z & = & 2 \\ 4 x + y - 2 z & = & 1 \end{array}$

Løsning

Løsning med CAS i GeoGebra:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Løs parentes sløyfeparentes x pluss y minus z er lik 0 komma, 2 x pluss y minus z er lik 2 komma, 4 x pluss y minus 2 z er lik 1 sløyfeparentes slutt parentes slutt. Svaret er x er lik 2 og y er lik 3 og z er lik 5. Skjermutklipp.

1.2.29

Per, Pål og Espen skal lage fruktcocktail. Alle tre har kjøpt bananer, druer og epler.

Per betalte 92 kroner for 1,5 kg epler, 1 kg druer og 2 kg bananer. Pål kjøpte 1 kg epler, 0,5 kg druer og 1,5 kg bananer. For dette betalte han 59 kroner. Espen betalte 101 kroner for 2 kg epler, 1,5 kg druer og 1 kg bananer.

Sett opp tre likninger, og finn kiloprisen på eplene, druene og bananene.

Løsning

Vi setter opp tre likninger der $x$ er kilopris for eplene, $y$ er kilopris for druene, og $z$ er kilopris for bananene.

$\begin{array}{rcl} 1, 5 x + y + 2 z & = & 92 \\ x + 0, 5 y + 1, 5 z & = & 59 \\ 2 x + 1, 5 y + z & = & 101 \end{array}$

Løsning med CAS i GeoGebra:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Løs parentes sløyfeparentes 1,5 x pluss y pluss 2 z er lik 92 komma, x pluss 0,5 y pluss 1,5 z er lik 59 komma, 2 x pluss 1,5 y pluss z er lik 101 sløyfeparentes slutt parentes slutt. Svaret er x er lik 20 og y er lik 30 og z er lik 16. Skjermutklipp.

Eplene koster 20 kroner per kg, druene koster 30 kroner per kg, og bananene koster 16 kroner per kg.

1.2.30

På en gård er det kyr, griser og høns. Det er 40 flere griser enn kyr. I alt er det 150 hoder og 460 bein.

Sett opp tre likninger der du lar $k$ stå for antall kyr, $g$ for antall griser og $h$ for antall høner, og finn hvor mange dyr av hvert slag det er på gården.

Løsning

Vi setter opp tre likninger:

$\begin{array}{rcl} k + g + h & = & 150 (antall hoder) \\ 4 k + 4 g + 2 h & = & 460 (antall bein) \\ g - k & = & 40 (forskjellen mellom antall griser og kyr) \end{array}$

Løsning med CAS i GeoGebra:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Løs parentes sløyfeparentes k pluss g pluss h er lik 150 komma, 4 k pluss 4 g pluss 2 h er lik 460, g minus k er lik 40 sløyfeparentes slutt parentes slutt. Svaret er g er lik 60 og h er lik 70 og k er lik 20. Skjermutklipp.

På gården var det 20 kyr, 60 griser og 70 høner.

1.2.31

Tre søsken er til sammen 36 år. Aldersforskjellen mellom den eldste og den yngste av søsknene er 12 år. Alderen til den yngste av søsknene er tredjedelen av alderen til den eldste.

Sett opp tre likninger der du lar $y$ stå for alderen til den yngste av søsknene, $m$ for alderen til den mellomste og $e$ for alderen til den eldste av søsknene.

Bruk likningene til å finne alderen til søsknene.

Løsning

Vi setter opp tre likninger.

$\begin{array}{rcl} y + m + e & = & 36 \\ e - y & = & 12 \\ y & = & \frac{e}{3} \end{array}$

Løsning med CAS i GeoGebra:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Løs parentes sløyfeparentes y pluss m pluss e er lik 36 komma, e minus y er lik 12 komma, y er lik e delt på 3 sløyfeparentes slutt parentes slutt. Svaret er y er lik 6 og e er lik 18 og m er lik 12. Skjermutklipp.

De tre søsknene er 6, 12 og 18 år gamle.

Likninger