Kva er ei andregradslikning, og korleis løyser vi slike likningar?
Kva er ei andregradslikning?
Ei likning som kan skrivast på forma , kallar vi ei andregradslikning.
Eit døme på ei andregradslikning er x2+4x-5=0.
x2 kallar vi andregradsleddet og a=1. 4x kallar vi førstegradsleddet og b=4. -5 kallar vi konstantleddet og c=-5.
Nokre gonger må andregradslikninga ordnast for å sjå kva tala a,b og c er.
Andregradslikninga
3-x=-7x22
kan ordnast til likninga
6-2x=-7x27x2-2x+6=0
Her ser vi at a=7,b=-2ogc=6.
Ei andregradslikning inneheld alltid andregradsleddet, men førstegradsleddet og konstantleddet kan mangle, det vil seie at b og/eller c kan vere lik 0. Først skal vi vise korleis vi relativt enkelt kan løyse ei andregradslikning som manglar eit av desse to ledda.
Løysing når konstantleddet manglar
Når konstantleddet c manglar, kan vi samle dei to attståande ledda på venstre side av likskapsteiknet og faktorisere ved å setje x utanfor parentes. Faktoren x finst nemleg i begge ledda. Vi nyttar oss av at når eit produkt er lik null, må minst ein av faktorane vere lik null.
Døme
x2-2x=0xx-2=0x=0∨x-2=0(∨=eller)x=0∨x=2
Når eit produkt er lik null, må minst ein av faktorane vere lik null.
Oppgåve
Forklar kvifor xx-2 i løysinga over er eit produkt.
Forklaring
Det står eit usynleg gongeteikn mellom x og parentesen, og eit produkt er to (eller fleire) faktorar som skal multipliserast.
Løysing når førstegradsleddet manglar
Vi ordnar likninga slik at x2 blir isolert på venstre side av likskapsteiknet. Så trekkjer vi ut kvadratrota.
Døme
-2x2+18=0-2x2=-18x2=9x=9∨x=-9x=3∨x=-3
Dersom høgresida blir null etter at likninga er ordna, får vi berre éi løysing, nemleg x=0. Dersom høgresida blir negativ etter at likninga er ordna, så har likninga ikkje nokon løysingar.
Løysing med abc-formelen
Andregradslikninga x2-x-6=0 kan ikkje løysast med rekneteknikkane vi har brukt ovanfor. Vi kan sjølvsagt løyse denne likninga grafisk eller med CAS. Her viser vi korleis vi kan bruke den såkalla abc-formelen for å rekne ut løysingane.
abc-formelen
Det kan visast at andregradslikninga ax2+bx+c=0 har løysingane
x=-b±b2-4ac2a,a≠0,b2-4ac≥0
Vi brukar teikna ± for å spare skriving. Det betyr at vi har eigentleg to formlar, ein med pluss og ein med minus.
Når vi løyser ei andregradslikning med abc-formelen, ordnar vi først likninga slik at ho kjem på forma ax2+bx+c=0.
Oppgåve
Kvifor har vi skrive at b2-4ac≥0?
Løysing
Du hugsar kanskje at vi definerte kvadratrota berre til positive tal og null? Det vil seie at andregradslikninga ikkje har løysingar mellom dei reelle tala når det som står under rotteiknet, er mindre enn null. Kanskje det digitale verktøyet du bruker då gir løysingar med bokstaven i? Det vil seie at løysinga er såkalla imaginær. For oss betyr det likevel at likninga ikkje har noka løysing.
Oppgåve
Forklar kvifor vi berre får éi løysing når b2-4ac=0.
Løysing
Når b2-4ac=0, er det som står under rotteiknet lik null. Då får vi det same svaret anten vi bruker pluss eller minus i abc-formelen.
Døme
Vi skal no sjå på nokre døme på bruk av abc-formelen.
Vi får −12 under rotteiknet, og -12 er ikkje definert når vi reknar med reelle tal. Vi får derfor inga løysing, det vil seie at det ikkje finst noko reelt tal som er slik at andregradsuttrykket på venstre side i likninga blir null.
Ved CAS i GeoGebra får vi løysingane nedanfor ved å bruke knappen x=.
Legg merke til markeringa for "inga løysing" i linje 3.