Hopp til innhald
Fagartikkel

Andregradslikningar

Kva er ei andregradslikning, og korleis løyser vi slike likningar?

Kva er ei andregradslikning?

Ei likning som kan skrivast på forma  ax2+bx+c=0  der  a0, kallar vi ei andregradslikning.

Eit døme på ei andregradslikning er x2+4x-5=0.

x2 kallar vi andregradsleddet og a=1.
4x kallar vi førstegradsleddet og b=4.
-5 kallar vi konstantleddet og c=-5.

Nokre gonger må andregradslikninga ordnast for å sjå kva tala a, b og c er.

Andregradslikninga

3-x=-7x22

kan ordnast til likninga

       6-2x = -7x27x2 -2x+6=0

Her ser vi at a=7, b=-2 og c=6.

Ei andregradslikning inneheld alltid andregradsleddet, men førstegradsleddet og konstantleddet kan mangle, det vil seie at b og/eller c kan vere lik 0. Først skal vi vise korleis vi relativt enkelt kan løyse ei andregradslikning som manglar eit av desse to ledda.

Løysing når konstantleddet manglar

Når konstantleddet c manglar, kan vi samle dei to attståande ledda på venstre side av likskapsteiknet og faktorisere ved å setje x utanfor parentes. Faktoren x finst nemleg i begge ledda. Vi nyttar oss av at når eit produkt er lik null, må minst ein av faktorane vere lik null.

Døme

x2-2x = 0xx-2=0x=0  x-2=0      (= eller)x=0  x=2

Når eit produkt er lik null, må minst ein av faktorane vere lik null.

Oppgåve

Forklar kvifor  xx-2  i løysinga over er eit produkt.

Forklaring

Det står eit usynleg gongeteikn mellom x og parentesen, og eit produkt er to (eller fleire) faktorar som skal multipliserast.

Løysing når førstegradsleddet manglar

Vi ordnar likninga slik at x2 blir isolert på venstre side av likskapsteiknet. Så trekkjer vi ut kvadratrota.

Døme

-2x2+18 = 0     -2x2=-18         x2=9          x=9  x=-9         x=3     x=-3

Dersom høgresida blir null etter at likninga er ordna, får vi berre éi løysing, nemleg x=0. Dersom høgresida blir negativ etter at likninga er ordna, så har likninga ikkje nokon løysingar.

Video: Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Løysing med abc-formelen

Andregradslikninga  x2-x-6=0  kan ikkje løysast med rekneteknikkane vi har brukt ovanfor. Vi kan sjølvsagt løyse denne likninga grafisk eller med CAS. Her viser vi korleis vi kan bruke den såkalla abc-formelen for å rekne ut løysingane.

abc-formelen

Det kan visast at andregradslikninga  ax2+bx+c=0  har løysingane

x=-b±b2-4ac2a    ,         a0 ,   b2-4ac0

Vi brukar teikna ± for å spare skriving. Det betyr at vi har eigentleg to formlar, ein med pluss og ein med minus.

Når vi løyser ei andregradslikning med abc-formelen, ordnar vi først likninga slik at ho kjem på forma  ax2+bx+c=0.

Oppgåve

Kvifor har vi skrive at  b2-4ac0?

Løysing

Du hugsar kanskje at vi definerte kvadratrota berre til positive tal og null? Det vil seie at andregradslikninga ikkje har løysingar mellom dei reelle tala når det som står under rotteiknet, er mindre enn null. Kanskje det digitale verktøyet du bruker då gir løysingar med bokstaven i? Det vil seie at løysinga er såkalla imaginær. For oss betyr det likevel at likninga ikkje har noka løysing.

Oppgåve

Forklar kvifor vi berre får éi løysing når  b2-4ac=0.

Løysing

Når  b2-4ac=0, er det som står under rotteiknet lik null. Då får vi det same svaret anten vi bruker pluss eller minus i abc-formelen.

Døme

Vi skal no sjå på nokre døme på bruk av abc-formelen.

Døme 1

         x2 = 5-4xx2+4x-5=0     Vi ordnar likninga og finn at a=1, b=4, c=-5.          x=-4±42-4·1·-52·1   Vi set inn i formelen.          x=-4±16+202          x=-4±362          x=-4+62   eller   x=-4-62          x=1           eller   x=-5

Likninga har to løysingar. Det er altså to verdiar for x som passar i den opphavlege likninga.

Døme 2

x2+4x+4 = 0          x=-4±42-4·1·42·1          x=-4±16-162=-4±02=-2          x=-2

Uttrykket under rotteiknet er null, og vi får berre éi løysing.

Døme 3

x2-2x+4 = 0           x=--2±-22-4·1·42           x=4±4-162=4±-122           Inga løysing

Vi får 12 under rotteiknet, og -12 er ikkje definert når vi reknar med reelle tal. Vi får derfor inga løysing, det vil seie at det ikkje finst noko reelt tal som er slik at andregradsuttrykket på venstre side i likninga blir null.

Ved CAS i GeoGebra får vi løysingane nedanfor ved å bruke knappen x=.

Legg merke til markeringa for "inga løysing" i linje 3.

Video: Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0