Oppgåve

Likningar

Øv på å løyse likningar på fleire måtar.

1.2.1

Løys likningane ved manuell rekning og med CAS. Sjekk òg om du har rekna riktig ved å sjå om venstre side er lik høgre side når du set løysinga di inn i den opphavlege likninga.

a) $3 x - 1 = 5$

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

$\begin{array}{rcl} 3 x - 1 & = & 5 \\ 3 x - 1 + 1 & = & 5 + 1 \\ 3 x & = & 6 \\ \frac{3 x}{3} & = & \frac{6}{3} \\ x & = & 2 \end{array}$

Løysing med CAS:

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive 3 x minus 1 er lik 5. Svaret med "Løys" er x er lik 2. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Kontroll av løysinga for hand:

$\begin{array}{rcl} 3 x - 1 & = & 5 \\ 3 \cdot 2 - 1 & = & 5 \\ 5 & = & 5 \end{array}$

b) $5 x + 2 = 3 x - 2$

Løysing

Vi viser berre løysing ved rekning for hand.

$\begin{array}{rcl} 5 x + 2 & = & 3 x - 2 \\ 5 x + 2 - 2 - 3 x & = & 3 x - 2 - 2 - 3 x \\ 2 x & = & - 4 \\ \frac{2 x}{2} & = & - \frac{4}{2} \\ x & = & - 2 \end{array}$

Kontroll av løysinga:

$\begin{array}{rcl} 5 x + 2 & = & 3 x - 2 \\ 5 \cdot (- 2) + 2 & = & 3 \cdot (- 2) - 2 \\ - 10 + 2 & = & - 6 - 2 \\ - 8 & = & - 8 \end{array}$

c) $5 x + 5 = - x + 11$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 5 x + 5 & = & - x + 11 \\ 5 x + 5 + x - 5 & = & - x + 11 + x - 5 \\ 6 x & = & 6 \\ \frac{6 x}{6} & = & \frac{6}{6} \\ x & = & 1 \end{array}$

Kontroll av løysinga:

$\begin{array}{rcl} 5 x + 5 & = & - x + 11 \\ 5 \cdot 1 + 5 & = & - 1 + 11 \\ 10 & = & 10 \end{array}$

d) $- 3 x - 4 = x - 4$

Løysing

$\begin{array}{rcl} - 3 x - 4 & = & x - 4 \\ - 3 x - 4 - x + 4 & = & x - 4 - x + 4 \\ - 4 x & = & 0 \\ \frac{- 4 x}{- 4} & = & \frac{0}{- 4} \\ x & = & 0 \end{array}$

Kontroll av løysinga:

$\begin{array}{rcl} - 3 x - 4 & = & x - 4 \\ - 3 \cdot 0 - 4 & = & 0 - 4 \\ - 4 & = & - 4 \end{array}$

e) $x - 2 = 4 + x$

Løysing

$\begin{array}{rcl} x - 2 & = & 4 + x \\ x - 2 - x + 2 & = & 4 + x - x + 2 \\ 0 x & = & 6 \\ Inga løysing \end{array}$

f) $2 (x - 2) = 4 x + 8$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 2 (x - 2) & = & 4 x + 8 \\ 2 x - 4 & = & 4 x + 8 \\ 2 x - 4 - 4 x + 4 & = & 4 x + 8 - 4 x + 4 \\ - 2 x & = & 12 \\ \frac{- 2 x}{- 2} & = & \frac{12}{- 2} \\ x & = & - 6 \end{array}$

Kontroll av løysinga:

$\begin{array}{rcl} 2 (x - 2) & = & 4 x + 8 \\ 2 (- 6 - 2) & = & 4 \cdot (- 6) + 8 \\ 2 \cdot (- 8) & = & - 24 + 8 \\ - 16 & = & - 16 \end{array}$

g) Skriv med ord algoritmen for å løyse likninga i oppgåve f).

Løysingsforslag

Løys opp parentesen på venstre side.
Trekk frå $4 x$ , og legg til $4$ på kvar side av likskapsteiknet.
Trekk saman ledda på venstre side og på høgre side.
Del på $- 2$ på begge sider av likskapsteiknet.
Rekn ut høgre side.

1.2.2

Løys likningane ved manuell rekning og med CAS.

a) $2, 5 x - 3 = x + 1, 5$

Løysing

Vi viser berre manuell løysing her.

$\begin{array}{rcl} 2, 5 x - 3 & = & x + 1, 5 \\ 2, 5 x - 3 - x + 3 & = & x + 1, 5 - x + 3 \\ 1, 5 x & = & 4, 5 \\ \frac{1, 5 x}{1, 5} & = & \frac{4, 5}{1, 5} \\ x & = & 3, 0 \end{array}$

b) $0, 32 x - 1, 42 = - 1, 18 x + 1, 58$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 0, 32 x - 1, 42 & = & - 1, 18 x + 1, 58 \\ 0, 32 x - 1, 42 + 1, 18 x + 1, 42 & = & - 1, 18 x + 1, 58 + 1, 18 x + 1, 42 \\ 1, 50 x & = & 3, 00 \\ \frac{1, 50 x}{1, 50} & = & \frac{3, 00}{1, 50} \\ x & = & 2, 00 \end{array}$

c) $0, 5 (x - 3) = 0, 1 x + 0, 1$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 0, 5 (x - 3) & = & 0, 1 x + 0, 1 \\ 0, 5 x - 1, 5 & = & 0, 1 x + 0, 1 \\ 0, 5 x - 1, 5 - 0, 1 x + 1, 5 & = & 0, 1 x + 0, 1 - 0, 1 x + 1, 5 \\ 0, 4 x & = & 1, 6 \\ \frac{0, 4 x}{0, 4} & = & \frac{1, 6}{0, 4} \\ x & = & 4, 0 \end{array}$

d) $- 2 (3 - t) = - t + 2$

Løysing

$\begin{array}{rcl} - 2 (3 - t) & = & - t + 2 \\ - 6 + 2 t & = & - t + 2 \\ - 6 + 2 t + t + 6 & = & - t + 2 + t + 6 \\ 3 t & = & 8 \\ \frac{3 t}{3} & = & \frac{8}{3} \\ t & = & \frac{8}{3} \end{array}$

e) $- (s - 2) - 2 (s + 1) = 1 - s$

Løysing

$\begin{array}{rcl} - (s - 2) - 2 (s + 1) & = & 1 - s \\ - s + 2 - 2 s - 2 & = & 1 - s \\ - 3 s & = & 1 - s \\ - 3 s + s & = & 1 - s + s \\ - 2 s & = & 1 \\ \frac{- 2 s}{- 2} & = & \frac{1}{- 2} \\ s & = & - \frac{1}{2} \end{array}$

f) Skriv med ord algoritmen for å løyse likninga i oppgåve e) ved rekning for hand.

Løysingsforslag

Løys opp parentesane på venstre side av likninga.
Trekk saman på venstre side av likninga.
Legg til $s$ på begge sider.
Trekk saman ledda på venstre side og på høgre side.
Del på –2 på begge sider.
Flytt minusteiknet framom brøken.

1.2.3

Løys likningane ved rekning for hand og grafisk.

a) $\frac{1}{2} x - 2 = \frac{1}{3} x - \frac{1}{6}$

Løysing

Rekning for hand:

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} x - 2 & = & \frac{1}{3} x - \frac{1}{6} \\ 6 \cdot \frac{1}{2} x - 6 \cdot 2 & = & 6 \cdot \frac{1}{3} x - 6 \cdot \frac{1}{6} \\ 3 x - 12 & = & 2 x - 1 \\ 3 x - 12 - 2 x + 12 & = & 2 x - 1 - 2 x + 12 \\ x & = & 11 \end{array}$

Grafisk løysing:

Vi skriv inn venstresida av likninga som ein funksjon $f (x)$ og høgresida som ein funksjon $g (x)$ i algebrafeltet i GeoGebra. Vi bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt" for å finne skjeringspunktet mellom grafane til dei to funksjonane. Skjeringspunktet har $x$ -koordinaten 11, som er løysinga på likninga.

Grafen til funksjonane f av x er lik 1 halv x minus 2 og g av x er lik 1 tredjedels x minus 1 sjettedel er teikna for x-verdiar mellom 2 og 15. Skjeringspunktet mellom funksjonane er markert og har koordinatane 11 og 3,5. Illustrasjon. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

b) $\frac{x}{2} - 2 = \frac{x}{3} - \frac{1}{4}$

Løysing

Vi viser berre løysing ved rekning for hand. Grafisk løysing blir å gjere tilsvarande som i oppgåve a).

$\begin{array}{rcl} \frac{x}{2} - 2 & = & \frac{x}{3} - \frac{1}{4} \\ 12 \cdot \frac{x}{2} - 12 \cdot 2 & = & 12 \cdot \frac{x}{3} - 12 \cdot \frac{1}{4} \\ 6 x - 24 & = & 4 x - 3 \\ 6 x - 24 - 4 x + 24 & = & 4 x - 3 - 4 x + 24 \\ 2 x & = & 21 \\ \frac{2 x}{2} & = & \frac{21}{2} \\ x & = & \frac{21}{2} \end{array}$

c) $\frac{1}{2} (2 x - 3) = - (x + \frac{3}{2})$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} (2 x - 3) & = & - (x + \frac{3}{2}) \\ x - \frac{3}{2} & = & - x - \frac{3}{2} \\ 2 \cdot x - 2 \cdot \frac{3}{2} & = & 2 \cdot (- x) - 2 \cdot \frac{3}{2} \\ 2 x - 3 & = & - 2 x - 3 \\ 2 x - 3 + 2 x + 3 & = & - 2 x - 3 + 2 x + 3 \\ 4 x & = & 0 \\ \frac{4 x}{4} & = & \frac{0}{4} \\ x & = & 0 \end{array}$

d) $\frac{x - 2}{2} = \frac{2 - x}{3}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{x - 2}{2} & = & \frac{2 - x}{3} \\ 6 \cdot \frac{(x - 2)}{2} & = & 6 \cdot \frac{(2 - x)}{3} \\ 3 \cdot (x - 2) & = & 2 \cdot (2 - x) \\ 3 x - 6 & = & 4 - 2 x \\ 3 x - 6 + 2 x + 6 & = & 4 - 2 x + 2 x + 6 \\ 5 x & = & 10 \\ \frac{5 x}{5} & = & \frac{10}{5} \\ x & = & 2 \end{array}$

e) $\frac{x - 1}{2} - 3 = \frac{3 - 2 x}{3} + \frac{x}{12}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{x - 1}{2} - 3 & = & \frac{3 - 2 x}{3} + \frac{x}{12} \\ 12 \cdot \frac{(x - 1)}{2} - 12 \cdot 3 & = & 12 \cdot \frac{(3 - 2 x)}{3} + 12 \cdot \frac{x}{12} \\ 6 \cdot (x - 1) - 36 & = & 4 \cdot (3 - 2 x) + x \\ 6 x - 6 - 36 & = & 12 - 8 x + x \\ 6 x - 42 & = & - 7 x + 12 \\ 13 x & = & 54 \\ x & = & \frac{54}{13} \end{array}$

f) Skriv med ord algoritmen for å løyse likninga i oppgåve e) ved rekning for hand.

Løysingsforslag

Finn fellesnemnaren, som er 12.
Multipliser alle ledda med 12.
Forkort bort nemnarane.
Multipliser ut parentesane.
Trekk saman på kvar side.
Legg til $7 x$ og 42 på kvar side av likskapsteiknet.
Trekk saman ledda på kvar side av likskapsteiknet.
Del med 13 på begge sider av likskapsteiknet.

Merk at i løysingsforslaget på oppgåve e) viser vi ikkje alle trinna i algoritmen. Finn ut kva trinn det er som ikkje blir viste.

Trinn i algoritmen i f) som er utelatne i løysinga til oppgåve e)

Vi har utelate det siste og det tredje siste trinnet i algoritmen i løysingsforslaget til oppgåve e).

g) Finst det ein generell algoritme for å løyse likningane på denne sida, altså lineære likningar? Skriv han ned.

1.2.4

Løys likningane ved rekning for hand, med CAS og grafisk.

a) $3 (\frac{x}{2} - \frac{4}{3}) = (\frac{3}{4} - \frac{x}{6}) 2$

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

$\begin{array}{rcl} \frac{3 x}{2} - \frac{12}{3} & = & \frac{6}{4} - \frac{2 x}{6} \\ 9 x - 24 & = & 9 - 2 x \\ 11 x & = & 33 \\ x & = & 3 \end{array}$

Grafisk løysing:

Grafen til funksjonen f av x er lik 3 multiplisert med parentes x halve minus 4 tredjedelar parentes slutt er teikna for x-verdiar mellom 0 og 5. Grafen til g av x er lik parentes 3 fjerdedelar minus x sjettedelar parentes slutt multiplisert med 2 er teikna for x-verdiar mellom minus 2 og 9. Skjeringspunktet mellom funksjonane er markert og har koordinatane 3 og 0,5. Illustrasjon. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Løysing med CAS:

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive 3 parentes x halve minus 4 tredjedelar parentes slutt er lik parentes 3 fjerdedelar minus x sjettedelar parentes slutt multiplisert med 2. Svaret med "Løys" er x er lik 3. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

b) $3 (\frac{s}{4} - \frac{1}{10}) = (s - \frac{1}{5}) 2$

Løysing

Vi viser berre løysing ved rekning for hand.

$\begin{array}{rcl} \frac{3 s}{4} - \frac{3}{10} & = & 2 s - \frac{2}{5} \\ 15 s - 6 & = & 40 s - 8 \\ - 25 s & = & - 2 \\ s & = & \frac{2}{25} \end{array}$

c) $\frac{3}{2} (t - 1) - 2 (\frac{1}{4} - t) = 0$

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

$\begin{array}{rcl} \frac{3}{2} t - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + 2 t & = & 0 \\ 2 \cdot \frac{3}{2} t - 2 \cdot \frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 2 t & = & 2 \cdot 0 \\ 3 t - 3 - 1 + 4 t & = & 0 \\ 7 t & = & 4 \\ t & = & \frac{4}{7} \end{array}$

Grafisk løysing:

Vi skriv inn venstresida av likninga som ein funksjon $f (x)$ . I staden for å skrive inn funksjonen $g (x) = 0$ og finne skjeringspunktet mellom funksjonane, kan vi finne når funksjonen $f (x)$ er null, skjeringspunktet mellom grafen til $f (x)$ og $x$ -aksen, med verktøyet "Nullpunkt". Skjeringspunktet (nullpunktet) har $x$ -koordinaten 0,57, som er løysinga på likninga. $(\frac{4}{7} \approx 0, 57)$ .

Grafen til funksjonen f av t er lik 3 halve multiplisert med parentes x minus 1 parentes slutt minus 2 multiplisert med parentes 1 fjerdedel minus x parentes slutt er teikna for x-verdiar mellom minus 2 og 3. I tillegg er skjeringspunktet med x-aksen markert. Punktet har koordinatane 0,57 og 0. Illustrasjon. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

d) $\frac{1}{3} y - 3 y + 3 = \frac{1}{6} - \frac{1}{9} y + \frac{1}{9}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{3} y - 3 y + 3 & = & \frac{1}{6} - \frac{1}{9} y + \frac{1}{9} \\ 18 \cdot \frac{1}{3} y - 18 \cdot 3 y + 18 \cdot 3 & = & 18 \cdot \frac{1}{6} - 18 \cdot \frac{1}{9} y + 18 \cdot \frac{1}{9} \\ 6 y - 54 y + 54 & = & 3 - 2 y + 2 \\ - 46 y & = & - 49 \\ y & = & \frac{- 49}{- 46} \\ y & = & \frac{49}{46} \end{array}$

e) Kva metode/metodar føretrekkjer du å bruke når du skal løyse likningar som dei ovanfor? Forklar kvifor.

1.2.5

Stian, Erik og Øyvind delte ein pizza. Stian åt ein tredjedel, Erik åt to femtedelar, og Øyvind åt resten.

a) Set opp ei likning, og finn ut kor stor del av pizzaen Øyvind åt.

Løysing

Vi set Øyvind sin del lik $x$ , og vi kan setje opp og løyse likninga:

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{3} + \frac{2}{5} + x & = & 1 \\ \overset{5}{15} \cdot \frac{1}{3} + \overset{3}{15} \cdot \frac{2}{5} + 15 \cdot x & = & 15 \cdot 1 \\ 5 + 6 + 15 x & = & 15 \\ 15 x & = & 15 - 11 \\ \frac{15 x}{15} & = & \frac{4}{15} \\ x & = & \frac{4}{15} \end{array}$

Vi kan òg løyse likninga med CAS i GeoGebra.

Eksakt løysing med CAS av likninga ein tredjedel pluss 2 femdelar pluss x er lik 1. CAS-utklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Øyvind åt $\frac{4}{15}$ av pizzaen.

b) Er det andre måtar å løyse denne oppgåva på? Finn minst éin annan framgangsmåte.

1.2.6

Kristin, Anette og Ellen har til saman 1 100 kroner. Ellen har dobbelt så mange pengar som Anette, og Kristin har 100 kroner mindre enn Ellen.

Set opp ei likning, og finn ut kor mange pengar kvar av dei tre jentene har.

Løysing

Vi set Anette sitt beløp lik $x$ . Ellen sitt blir då $2 x$ , og Kristin sitt beløp blir $2 x - 100$ . Då kan vi setje opp og løyse likninga:

$\begin{array}{rcl} x + 2 x + (2 x - 100) & = & 1100 \\ 3 x + 2 x - 100 & = & 1100 \\ 5 x & = & 1100 + 100 \\ \frac{5 x}{5} & = & \frac{1200}{5} \\ x & = & 240 \end{array}$

Anette har $240 kroner$ , Ellen har $2 \cdot 240 kroner = 480 kroner$ , og Kristin har $480 kroner - 100 kroner = 380 kroner$ .

Vi kan òg løyse likninga med CAS i GeoGebra, der vi i tillegg reknar ut kor mykje dei to andre har.

Eksakt løysing med CAS av likninga x pluss 2x pluss parentes 2x minus 100 parentes slutt er lik 1100. CAS-utklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

1.2.7

På ein aktivitetsdag ved skulen valde 60 prosent av elevane fotball. Ein tredjedel valde volleyball. Dei siste 12 elevane hadde fått fritak.

a) Set opp ei likning, og finn ut kor mange elevar det er ved skulen.

Løysing

La $x$ vere talet på elevar ved skulen. 60 prosent av elevane blir $\frac{60}{100} x = \frac{3}{5} x$ . Ein tredjedel av elevane blir $\frac{1}{3} x$ . Då kan vi setje opp og løyse likninga:

$\begin{array}{rcl} \frac{3}{5} x + \frac{1}{3} x + 12 & = & x \\ \overset{3}{15} \cdot \frac{3}{5} x + \overset{5}{15} \cdot \frac{1}{3} x + 15 \cdot 12 & = & 15 \cdot x \\ 9 x + 5 x + 180 & = & 15 x \\ 180 & = & 15 x - 14 x \\ 180 & = & x \end{array}$

Vi kan òg løyse likninga med CAS i GeoGebra.

Eksakt løysing med CAS av likninga 3 femtedels x pluss ein tredjedels x pluss 12 er lik x. CAS-utklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Det er 180 elevar ved skulen.

b) Finn ein annan måte å løyse oppgåva på enn å løyse ei likning.

1.2.8

Per, Pål og Espen er til saman 66 år. Per er dobbelt så gammal som Espen, og Pål er 6 år eldre enn Espen.

Set opp ei likning, og finn ut kor gamle dei tre gutane er.

Løysing

Vi set alderen til Espen lik $x$ . Alderen til Pål blir då $x + 6$ , og alderen til Per blir $2 x$ . Då kan vi setje opp og løyse likninga:

$\begin{array}{rcl} x + (x + 6) + 2 x & = & 66 \\ 4 x & = & 60 \\ x & = & 15 \end{array}$

Vi kan òg løyse oppgåva med CAS i GeoGebra, der vi både løyser likninga og reknar ut alderen til dei to andre.

Eksakt løysing med CAS av likninga x pluss parentes x pluss 6 parentes slutt pluss 2 x er lik 66. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Espen er 15 år, Pål er 21 år, og Per er 30 år.

1.2.9

Ari, Anette og far er til saman 54 år. Anette er dobbelt så gammal som Ari, og far er tre gonger så gammal som Anette.

Set opp ei likning, og finn ut kor gamle Ari, Anette og far er.

Løysing

La $x$ vere alderen til Ari. Då er alderen til Anette $2 x$ , og alderen til far er $6 x$ . Då kan vi setje opp og løyse likninga:

$\begin{array}{rcl} x + 2 x + 6 x & = & 54 \\ 9 x & = & 54 \\ x & = & 6 \end{array}$

Vi kan òg løyse oppgåva med CAS i GeoGebra.

Eksakt løysing med CAS av likninga x pluss 2 x pluss 6 x er lik 54. CAS-utklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Ari er 6 år, Anette 12 år, og far er 36 år.

1.2.10

Far er tre gonger så gammal som Per, og bestefar er dobbelt så gammal som far. Til saman er dei 120 år.

Set opp ei likning, og finn ut kor gamle Per, far og bestefar er.

Løysing

La $x$ vere alderen til Per. Då er alderen til far $3 x$ , og alderen til bestefar er $6 x$ . Då kan vi setje opp og løyse likninga:

$\begin{array}{rcl} x + 3 x + 6 x & = & 120 \\ 10 x & = & 120 \\ x & = & 12 \end{array}$

Vi kan òg løyse oppgåva med CAS i GeoGebra.

Eksakt løysing med CAS av likninga x pluss 3 x pluss 6 x er lik 120. CAS-utklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Per er 12 år, far er 36 år, og bestefar er 72 år.

1.2.11

Mormor var 22 år då mor vart fødd. I dag er ho dobbelt så gammal som mor. Set opp ei likning, og finn ut kor gamle mor og mormor er.

Løysing

La $x$ vere alderen til mor. Då er alderen til mormor $2 x$ . Då kan vi setje opp og løyse likninga:

$\begin{array}{rcl} x + 22 & = & 2 x \\ - x & = & - 22 \\ x & = & 22 \end{array}$

Vi kan òg løyse oppgåva med CAS i GeoGebra.

Eksakt løysing med CAS av likninga x pluss 22 er lik 2 x. CAS-utklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Mor er 22 år, og mormor er 44 år. Det hadde vi kanskje ikkje trunge likning for å finne ut ...

1.2.12

Far er tre gonger så gammal som Camilla. Far er seks år eldre enn onkel Kåre. Til saman er dei tre 92 år.

Set opp ei likning, og finn ut kor gamle Camilla, far og onkel Kåre er.

Løysing

La $x$ vere alderen til Camilla. Då er alderen til far $3 x$ , og alderen til onkel Kåre er $3 x - 6$ . Då kan vi setje opp og løyse likninga:

$\begin{array}{rcl} x + 3 x + (3 x - 6) & = & 92 \\ 4 x + 3 x - 6 & = & 92 \\ 7 x & = & 92 + 6 \\ \frac{7 x}{7} & = & \frac{98}{7} \\ x & = & 14 \end{array}$

Vi kan òg løyse oppgåva med CAS i GeoGebra.

Eksakt løysing med CAS av likninga x pluss 3 x pluss parentes 3 x minus 6 parentes slutt er lik 92. CAS-utklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Camilla er 14 år, far er 42 år, og onkel Kåre er 36 år.

1.2.13

Mor er 21 år eldre enn Maja. Bestefar er tre gonger så gammal som mor. Om to år er dei til saman 100 år.

Set opp ei likning, og finn ut kor gamle Maja, mor og bestefar er.

Løysing

La $x$ vere alderen til Maja. Då er alderen til mor $x + 21$ , og alderen til bestefar er $3 (x + 21)$ . I dag er dei til saman $100 år - 3 \cdot 2 år = 94 år$ . Då kan vi setje opp og løyse likninga:

$\begin{array}{rcl} x + (x + 21) + 3 (x + 21) & = & 94 \\ x + x + 21 + 3 x + 63 & = & 94 \\ 5 x & = & 94 - 84 \\ \frac{5 x}{5} & = & \frac{10}{5} \\ x & = & 2 \end{array}$

Løyst med CAS i GeoGebra kan det sjå slik ut:

Eksakt løysing med CAS av likninga x pluss parentes x pluss 21 parentes slutt pluss 3 multiplisert med parentes x pluss 21 parentes slutt er lik 94. CAS-utklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Maja er 2 år, mor er 23 år, og bestefar er 69 år.

1.2.14

Løys likningane ved rekning for hand, grafisk og med CAS.

a) $x^{2} + 8 = 12$

b) $4 x^{2} + 6 = 70$

c) $- x^{2} + 2 = 2 x^{2} - 25$

Løysing

Vi viser berre dei manuelle løysingane her.

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 12 - 8 \\ x^{2} & = & 4 \\ x & = & \pm \sqrt{4} \\ x & = & \pm 2 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 4 x^{2} & = & 70 - 6 \\ 4 x^{2} & = & 64 \\ \frac{4 x^{2}}{4} & = & \frac{64}{4} \\ x^{2} & = & 16 \\ x & = & \pm \sqrt{16} \\ x & = & \pm 4 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} - x^{2} + 2 & = & 2 x^{2} - 25 \\ 3 x^{2} & = & 27 \\ x^{2} & = & 9 \\ x & = & \pm 3 \end{array}$

1.2.15

a) Vi skal løyse likninga $\frac{2}{x} - 4 = 0$ .

1) Kva verdiar av $x$ må eventuelt forkastast som løysingar av likninga?

Løysing

$x = 0$ gir $0$ i nemnaren og kan ikkje godtakast som ei løysing av likninga.

2) Løys likninga ved rekning for hand.

Løysing

$\begin{array}{rcl} x \cdot \frac{2}{x} - x \cdot 4 & = & x \cdot 0 \\ 2 - 4 x & = & 0 \\ - 2 x & = & - 2 \\ x & = & \frac{- 2}{- 4} = \frac{1}{2} \end{array}$

Denne løysinga skal ikkje forkastast.

b) Vi skal løyse likninga $3 - \frac{2}{x} = - \frac{1}{x}$ .

1) Kva verdiar av $x$ må eventuelt forkastast som løysingar av likninga?

Løysing

$x = 0$ gir $0$ i nemnaren og kan ikkje godtakast som ei løysing av likninga.

2) Løys likninga ved rekning for hand.

Løysing

$\begin{array}{rcl} x \cdot 3 - x \cdot \frac{2}{x} & = & x \cdot - \frac{1}{x} \\ 2 x - 2 & = & - 1 \\ 3 x & = & 1 \\ x & = & \frac{1}{3} \end{array}$

Denne løysinga skal ikkje forkastast.

1.2.1

1.2.2

1.2.3

1.2.4

1.2.5

1.2.6

1.2.7

1.2.8

1.2.9

1.2.10

1.2.11

1.2.12

1.2.13

1.2.14

1.2.15

Reglar for bruk av teksten "Likningar"