Fagstoff

Likningssett av første og andre grad

Korleis løyser vi likningssett der den eine likninga er av første grad og den andre likninga av andre grad?

Døme på likningssett

Vi har gitt likningssettet

$[\begin{matrix} 2 x^{2} - 2 x - y^{2} = 8 \\ 2 x - y = - 2 \end{matrix}]$

Når vi løyser likningssett med to likningar av første grad, kan vi bruke innsetjingsmetoden. Vil denne metoden fungere på eit likningssett der vi har éin eller begge dei ukjende i andre potens slik som i den første likninga her? Ved behov kan du repetere innsetjingsmetoden i artikkelen "Likningssett", sjå nedanfor.

Relatert innhald

Likningssett

Vi ser på korleis vi kan løyse likningssett med to ukjende storleikar.

Løysing ved rekning for hand

Prøv å løyse likningssettet over ved rekning for hand og ved å bruke innsetjingsmetoden.

Tips til oppgåva

Det luraste er ofte å finne eit uttrykk for den eine ukjende ved hjelp av førstegradslikninga og så setje dette uttrykket inn i andregradslikninga.

Løysing, første steg

Vi bruker førstegradslikninga til å finne eit uttrykk for $y$ :

$\begin{array}{rcl} 2 x - y & = & - 2 \\ - y & = & - 2 - 2 x \\ y & = & 2 x + 2 \end{array}$

Løysing, andre steg

Vi set så uttrykket for $y$ inn i den andre likninga i (andregradslikninga) i staden for $y$ .

$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} - 2 x - y^{2} & = & 8 \\ 2 x^{2} - 2 x - {(2 x + 2)}^{2} & = & 8 \\ 2 x^{2} - 2 x - (4 x^{2} + 8 x + 4) & = & 8 \\ 2 x^{2} - 2 x - 4 x^{2} - 8 x - 4 & = & 8 \\ - 2 x^{2} - 10 x - 12 & = & 0 : - 2 \\ x^{2} + 5 x + 6 & = & 0 \end{array}$

Legg merke til at vi her dividerer med $- 2$ i den siste linja for å få greiare tal å arbeide med når vi skal bruke abc-formelen.

Løysing, siste steg

Vi bruker abc-formelen til å løyse denne likninga.

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\ x & = & \frac{- 5 \pm 1}{2} \\ x & = & - 2 \lor x = - 3 \end{array}$

Vi set så desse løysingane inn i uttrykket for $y$ .

$\begin{array}{rcl} y & = & 2 x + 2 \\ y & = & 2 \cdot (- 2) + 2 \lor y = 2 \cdot (- 3) + 2 \\ y & = & - 2 \lor y = - 4 \end{array}$

Likningssettet har to sett med løysingar:

$x = - 2 \land y = - 2 \lor x = - 3 \land y = - 4$

Dette les vi som "x er lik minus 2, og y er lik minus 2, eller x er lik minus tre, og y er lik minus 4". Den eine $x$ -verdien høyrer saman med den eine $y$ -verdien, og det er tilsvarande for den andre $x$ -verdien.

Grafisk løysing

Løys likningssettet grafisk.

Løysing

Vi skriv inn dei to likningane i algebrafeltet i GeoGebra, og bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt".

Grafen til likninga 2 x i andre minus 2 x minus y i andre er lik 8 og likninga 2 x minus y er lik minus 2 er teikna i eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 5 til 7 og y-aksen går frå minus 6 til 1. Dei to skjeringspunkta mellom grafane er markerte. Det eine har koordinatane minus 3 og minus 4 mens det andre har koordinatane minus 2 og minus 2. Illustrasjon. — Løysing av likningsett med to ukjende der den eine likninga er av andre grad

Grafen til den første likninga (l1 på figuren over) består av to delar, mens den andre, som er stipla på figuren over, er ei rett linje. Løysinga er koordinatane til skjeringspunkta, noko som stemmer med det vi fann i oppgåve 2.

Løysing med CAS

Løys likningssettet med CAS.

Løysing

CAS-utrekning med Geogebra. På linje 1 er det skrive 2 x i andre minus 2 x minus y i andre er lik 8. Svaret er det same. På linje 2 er det skrive 2 x minus y er lik minus 2. Svaret er det same. På linje 3 er det skrive sløyfeparentes dollarteikn 1 komma, dollarteikn 2 sløyfeparentes slutt. Svaret med "Løys" er sløyfeparentes x er lik minus 2 og y er lik minus 2 sløyfeparentes slutt komma, sløyfeparentes x er lik minus 3 og y er lik minus 4 sløyfeparentes slutt. Skjermutklipp.

Vi skriv inn likningane på kvar si linje, markerer linjene og trykkjer på knappen $x_{}^{} =$ . Vi får den same løysinga som før.

Alternativt kan vi bruke "Løys" som kommando:

Løys({2x²-2x-y²=8, 2x-y=-2})

CC BY-SASkrive av Olav Kristensen, Stein Aanensen og Bjarne Skurdal.

Sist fagleg oppdatert 03.06.2021