Addisjon av sannsyn

Hendingar

Ei hending i ein sannsynsmodell består av eitt eller fleire utfall.

Vi ser på det tilfeldige forsøket "kast av éin terning".

Eit døme på ei hending er at talet på auge blir eit partal. Vi kallar dette for hendinga $A$.

$A$: å få eit tal på auge som er eit partal ved kast av éin terning

Addisjonssetninga for éi hending

Hendinga $A$ hender når vi får eitt av utfalla 2, 4 eller 6. Frekvensen for hending $A$ er summen av frekvensane for dei tre utfalla. Då må den relative frekvensen for hendinga $A$ vere summen av dei relative frekvensane for utfalla 2, 4 og 6. Det betyr igjen at sannsynet for hendinga $A$ er summen av sannsyna for utfalla 2, 4 og 6.

Vi har

$P\left(A\right)=P\left(2\right)+P\left(4\right)+P\left(6\right)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Kast av to myntar

Då du gjorde forsøket med å kaste to mynter, registrerte du sikkert at utfalla $KK$ og $MM$ fekk tilnærma same relative frekvens. Dersom du hadde registrert $MK$ og $KM$ kvar for seg, ville du ha oppdaga at desse utfalla òg hadde tilnærma den same relative frekvensen.

Når vi kastar to tikroner, har vi altså fire moglege utfall. Alle utfalla har likt sannsyn.

Ei hending kan her vere å få éi krone og éin mynt, uansett rekkjefølgje. Vi kallar dette for hendinga $B$.

$B$: å få éi krone og éin mynt, uansett rekkjefølgje

Sannsynet for $B$ blir

$P\left(B\right)=P\left(\mathrm{MK}\right)+P\left(\mathrm{KM}\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Vi legg altså saman sannsyna for kvart enkelt utfall som hendinga omfattar.

Sannsynsmodellen for kast av to pengestykke blir som under.

Sannsynet for hendinga "ikkje A"

Vi veit at det samla sannsynet for alle utfalla i eit terningkast er lik 1. Det betyr at ved kast av ein terning er

$P\left(\mathrm{å} \mathrm{få} \mathrm{eit} \mathrm{partal} \mathrm{tal} \mathrm{på} \mathrm{auge}\right)+P\left(\mathrm{å} \mathrm{ikkje} \mathrm{få} \mathrm{eit} \mathrm{partal} \mathrm{tal} \mathrm{på} \mathrm{auge}\right)=1$

Det betyr at

$P\left(\mathrm{å} \mathrm{ikkje} \mathrm{få} \mathrm{eit} \mathrm{partal} \mathrm{tal} \mathrm{på} \mathrm{auge}\right)=1-P\left(\mathrm{å} \mathrm{få} \mathrm{eit} \mathrm{partal} \mathrm{tal} \mathrm{på} \mathrm{auge}\right)$
Vi gav ovanfor hendinga "å få eit tal på auge som er eit partal ved kast av ein terning" namnet $A$.

Det gir

$P\left(\mathrm{ikkje} A\right)=1-P\left(A\right)$

Vi innfører ein eigen skrivemåte for "ikkje $A$", nemleg $\overline{A}$.

Det gir

$P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)$

Denne regelen gjeld for alle hendingar.

Sannsyn i uniforme modellar. Gunstige og moglege utfall

Vi ser på det tilfeldige forsøket "kast av éin terning".

Vi såg ovanfor på hendinga

$A$: å få eit tal auge som er eit partal

Vi har

$P\left(A\right)=P\left(2\right)+P\left(4\right)+P\left(6\right)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Alle utfalla som hendinga omfattar, kallar vi gunstige utfall for hendinga. For kast med éin terning er 2, 4 og 6 dei tre gunstige utfalla for hendinga $A$.

Vi lèt $g$ vere talet på gunstige utfall for hendinga $A$, og vi lèt $m$ vere talet på moglege utfall.

Dersom vi dividerer talet på gunstige utfall med alle dei moglege utfalla, får vi $\frac{g}{m}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Det er det same som vi fekk då vi berekna sannsynet for $A$ ovanfor.

Vi kan setje opp den følgjande regelen for sannsyn for hendingar i uniforme modellar:

Addisjonssetninga for fleire hendingar

Vi held fram med forsøket "kast av 1 terning".

Vi definerer hendinga:

$A$: å få eit tal auge som er eit partal

$B$: å få fem eller fleire augne

Vi kan illustrere dette med eit såkalla venndiagram.

Hendinga $A$ har 3 gunstige av 6 moglege utfall:

$P\left(A\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Hendinga $B$ har 2 gunstige av 6 moglege utfall:

$P\left(B\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Vi definerer to nye hendingar.

$A\cup B$ består av dei utfalla som er med i anten $A$ eller $B$ eller i både $A$ og $B$.

$A\cup B$ les vi som "$A$ union $B$".

$A\cap B$ består av alle utfall som er med i både $A$ og $B$.

$A\cap B$ les vi som "$A$ snitt $B$".

For hendinga $A\cup B$ må terningen vise eit tal på auge som er eit partal eller fem eller fleire auge eller begge delar. Vi får då fire gunstige utfall: ein toar, ein firar, ein femmar og ein seksar, sjå venndiagrammet. Det betyr at

$P\left(A\cup B\right)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

For hendinga $A\cap B$ må terningen vise eit tal på auge som er eit partal og samtidig fem eller fleire auge. Vi får då berre eitt gunstig utfall, at terningen viser ein seksar. Det betyr at

$P(A\cap B)=\frac{1}{6}$

Vi ser at òg for samansette hendingar i ein uniform sannsynsmodell kan vi berekne sannsyn ved å telje opp talet på gunstige og talet på moglege utfall.

Vi såg at sannsynet for éi hending er lik summen av sannsyna for dei utfalla som inngår i hendinga. Kan vi tilsvarande finne sannsynet for fleire hendingar ved å summere sannsyn for enkelthendingar?

Vi undersøkjer om $P\left(A\cup B\right)$ er lik $P\left(A\right)$ pluss $P\left(B\right)$.

Vi såg ovanfor at $P\left(A\cup B\right)=\frac{4}{6} \mathrm{og} \mathrm{at} P\left(A\right)+P\left(B\right)=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$.

Vi får $\frac{1}{6}$ for mykje når vi adderer sannsyna for enkelthendingane.

Vi så òg at $P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{6}$.

Utfallet "å få ein seksar" er med i både hendinga $A$ og i hendinga $B$. Sannsynet for dette utfallet er derfor teke med to gonger når vi adderer sannsyna for enkelthendingane. Vi må derfor trekkje frå sannsynet for dette utfallet éin gong. Då får vi at

$\begin{array}{l}P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)\\ \frac{4}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6}\end{array}$

Dette gjeld generelt, òg for sannsynsmodellar som ikkje er uniforme.

Filmen under gir deg ei oppsummering av noko av det vi har vore innom i denne artikkelen.