Oppgåve

Addisjon av sannsyn

Løys oppgåvene utan hjelpemiddel.

4.1.30

Tel opp kor mange gutar og jenter det er i klassen din akkurat no. Tenk deg at læraren din skal trekkje ut ein elev tilfeldig.

a) Kva er sannsynet for å trekkje ut ei jente?

Vis fasit

$P (Jente) = \frac{talet på jenter}{talet på elevar}$

b) Kva er sannsynet for å trekkje ut ein gut?

Vis fasit

$P (Gutar) = \frac{talet på gutar}{talet på elevar}$

c) Legg saman sannsyna. Kva oppdagar du?

Vis fasit

Summen av sannsyn skal bli 1 dersom du har rekna rett.

4.1.31

Det blir trekt ut tilfeldig ein elev frå ein klasse på 30 elevar. Denne eleven skal representere klassen i ein komité. Kor mange moglege utfall finst det?

Vis fasit

Det er 30 moglege utfall.

4.1.32

Du snurrar eit lykkehjul som stansar tilfeldig på ein av fargane. Sjå figuren nedanfor.

Sirkel som er delt inn i fire like store felt i kvar sin farge: raudt, grønt, gult og blått. Frå origo i sirkelen går det ei svart pil ut i det raude feltet. Illustrasjon.

a) Kor mange moglege utfall finst det?

Vis fasit

Det er fire moglege utfall, nemleg raudt, blått, gult og grønt.

b) Kva er sannsynet for at lykkehjulet stansar på raudt?

Vis fasit

Kvar av fargane dekkjer like stor del av lykkehjulet.

Sannsynet for å stanse på raudt blir dermed $\frac{1}{4} = 0, 25$ .

c) Lag ei sannsynsfordeling.

Vis fasit

Utfallsrom	Raudt	Blått	Gult	Grønt
Sannsyn	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$

d) Kva er sannsynet for at lykkehjulet stansar på raudt eller på grønt?

Vis fasit

Sannsynet for å stanse på raudt eller grønt blir $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0, 5$

4.1.33

Du snurrar eit lykkehjul som stansar tilfeldig på ein av fargane. Sjå figuren nedanfor.

Sirkel med felt i ulike fargar. To av fargane, raudt og brunt, dekkjer ein fjerdedel kvar av sirkelen. Dei andre fargane, svart, gult, grønt og blått, dekkjer ein åttandedel kvar av sirkelen. Ei svart pil går ut frå origo i det raude feltet. Illustrasjon.

a) Kor mange moglege utfall finst det?

Vis fasit

Det er seks moglege utfall, nemleg raudt, blått, brunt, svart, gult og grønt.

b) Kva er sannsynet for at lykkehjulet stansar på raudt?

Vis fasit

Det ser ut som raudfargen dekkjer ein kvart sirkel.

Sannsynet for å stanse på raudt blir dermed $\frac{1}{4} = 0, 25$ .

c) Lag ei sannsynsfordeling.

Vis fasit

Utfallsrom	Raudt	Blått	Brunt	Svart	Gult	Grønt
Sannsyn	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

d) La hendinga $A$ vere at lykkehjulet stansar på raudt eller på blått. Kva er sannsynet for hendinga $A$ ?

Vis fasit

$P (A) = P (raudt) + P (blått) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

e) Kva er sannsynet for at lykkehjulet ikkje stansar på raudt eller på blått?

Vis fasit

$P (A) = 1 - P (A) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$

4.1.34

Du har 3 blå kuler, 2 raude kuler, 4 svarte kuler og 1 kvit kule i ein boks.

a) Du trekkjer 1 kule tilfeldig frå boksen. Kva for moglege utfall har du?

Vis fasit

Det er fire moglege utfall. Kula kan vere blå, raud, svart eller kvit.

b) Skriv opp ei sannsynsfordeling når du trekkjer 1 kule tilfeldig.

Vis fasit

Utfallsrom	Blå	Raud	Svart	Kvit
Sannsyn	$\frac{3}{10}$	$\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$	$\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$	$\frac{1}{10}$

4.1.35

Du speler på eit lykkehjul som er delt opp i 24 like store delar. Du kjøper 4 ulike tal på lykkehjulet.

a) Kor stort sannsyn har du for å vinne?

Vis fasit

Sannsynet for å vinne er $\frac{4}{24} = \frac{1}{6}$ .

b) Kor stort sannsyn har du for ikkje å vinne?

Vis fasit

Sannsynet for ikkje å vinne vil vere $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ .

Du måtte betale 10 kroner for kvart av tala du kjøpte, altså 40 kroner. Premien for å kome på eit av dei 24 tala er 200 kroner.

c) Vil det, i det lange løp, lønne seg å spele på dette lykkehjulet?

Vis fasit

I det lange løp vil du vinne $200 kroner \cdot \frac{1}{6} = 33, 33 kroner$ .

Når du betaler 40 kroner for dei fire tala, vil det i det lange løp (sjølvsagt) ikkje lønne seg å spele på dette lykkehjulet.

4.1.36

Vi trekkjer eitt kort frå ein tilfeldig blanda kortstokk. Vi definerer følgjande hendingar:

$H$ : Kortet er ein hjarter.

$K$ : Kortet er ein konge.

$S$ : Kortet er spar 7.

a) Finn sannsynet for hendinga $H$ .

Vis fasit

Det er 13 hjarterkort i kortstokken, altså er det 13 gunstige utfall for hendinga $H$ og 52 moglege utfall.

$P (H) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$

b) Finn sannsynet for hendinga $K$ .

Vis fasit

Det er 4 kongar i kortstokken, altså er det 4 gunstige utfall for hendinga $K$ og 52 moglege utfall.

$P (K) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$

c) Finn sannsynet for hendinga $S$ .

Vis fasit

Det er berre éin spar 7 i kortstokken, altså er det 1 gunstig utfall for hendinga $S$ og 52 moglige utfall.

$P (S) = \frac{1}{52}$

4.1.37

Vi kastar ei tikrone to gonger. Vi definerer følgjande hendingar:

$A$ : nøyaktig ein mynt

$B$ : minst ein mynt

a) Skriv opp utfalla vi får når vi tar omsyn til kastrekkjefølgja.

Vis fasit

Utfalla blir $\{K K, K M, M K, M M\}$ .

$M$ = mynt og $K$ = krone

b) Kva er sannsynet for dei enkelte utfalla?

Vis fasit

Alle utfalla har like store sannsyn, som er lik $\frac{1}{4}$ .

Vi har ein uniform sannsynsmodell.

c) Kva for utfall er med i hendinga $A$ ?

Vis fasit

Utfalla i hendinga $A$ er $K M$ og $M K$ .

d) Kva for utfall er med i hendinga $B$ ?

Vis fasit

Utfalla i hendinga $B$ er $K M, M K$ og $M M$ .

e) Kva er sannsynet for hendinga $A$ ?

Vis fasit

$P (A) = P (K M) + P (M K) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

f) Kva er sannsynet for hendinga $B$ ?

Vis fasit

$P (B) = P (K M) + P (M K) + P (M M) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

4.1.38

Vi kastar ei tikrone tre gonger. Vi definerer følgjande hendingar:

$A$ : nøyaktig to myntar

$B$ : minst to myntar

a) Skriv opp utfalla vi får når vi tar omsyn til kastrekkjefølgja.

Vis fasit

Utfalla blir

${K K K, K K M, K M K, M K K, M M M, M M K, M K M, K M M}$

$M$ = mynt og $K$ = krone

b) Kva for utfall er med i hendinga $A$ ?

Vis fasit

Utfalla i hendinga $A$ er $M M K, M K M, K M M$ .

c) Kva for utfall er med i hendinga $B$ ?

Vis fasit

Utfalla i hendinga $B$ er $M M M, M M K, M K M, K M M$ .

d) Kva er sannsynet for hendinga $A$ ?

Vis fasit

Vi har ein uniform sannsynsmodell.

$P (A) = \frac{g}{m} = \frac{3}{8}$

e) Kva er sannsynet for hendinga $B$ ?

Vis fasit

$P (B) = \frac{g}{m} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

4.1.39

To kvite terningar med svarte auge. Foto.

Du kastar ein terning éin gong.

a) Lag ein sannsynsmodell. Kva slags modell er dette?

Vis fasit

Vi får ein uniform sannsynsmodell.

Talet på auge lik 1: Sannsynet er $\frac{1}{6}$ .

Talet på auge lik 2: Sannsynet er $\frac{1}{6}$ .

Talet på auge lik 3: Sannsynet er $\frac{1}{6}$ .

Talet på auge lik 4: Sannsynet er $\frac{1}{6}$ .

Talet på auge lik 5: Sannsynet er $\frac{1}{6}$ .

Talet på augee lik 6: Sannsynet er $\frac{1}{6}$ .

Vi definerer hendingane:

$A$ : å få eit tal på auge som er oddetal

$B$ : å få fire eller færre auge

b) Kva er $P (A)$ ?

Vis fasit

Hendinga $A$ har tre gunstige av seks moglege utfall: $P (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

c) Kva er $P (B)$ ?

Vis fasit

Hendinga $B$ har fire gunstige av seks moglege utfall: $P (B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .

d) Kva er $P (A eller B)$ ?

Vis fasit

Hendinga $A eller B$ har fem gunstige, 1, 2, 3, 4 og 5, av seks moglege utfall: $P (A eller B) = \frac{5}{6}$ .

e) Kva er $P (A og B)$ ?

Vis fasit

Hendinga $A og B$ har to gunstige, 1 og 3, av seks moglege utfall: $P (A og B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

Grunnleggande sannsynsrekning