Arealsetninga for trekantar

Vi skal finne arealet av eit trekanta leikeområde ABC der AB er 60 m, AC er 50 m og vinkel A er 57 grader.

Løysing

Vi kjenner arealformelen for ein trekant: $T=\frac{g·h}{2}$.

Høgda h deler trekanten i to rettvinkla trekantar. I den venstre rettvinkla trekanten blir høgda h motståande katet til vinkel A. Hypotenusen blir sida AC. Da kan vi setje opp

$\begin{array}{rcl} \sin A& = & \frac{\mathrm{Motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{Hypotenus}}=\frac{h}{AC}\\ & & \\ \sin 57°& =& \frac{h}{50}\\ & & \\ h& =& 50·\sin 57°\end{array}$

Når vi set dette inn i arealformelen for trekanten, får vi

$T=\frac{g·h}{2}=\frac{60·50·\sin 57°}{2}=\frac{1}{2}·60·50·\sin 57°\approx 1 300$

Arealet av leikeområdet er $1 300 {\mathrm{m}}^2$.

Sjå på eksempelet over og skriv ned med heile setningar korleis vi rekna ut arealet til trekanten. Klikk på boksen nedanfor for å sjå forslag til tekst.

Denne framgangsmåten kan brukast i alle liknande situasjonar. Vi kan då lage ein generell formel for arealet av ein trekant når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dei.

Med same framgangsmåte som i eksempelet over får vi

$\begin{array}{rcl}\sin A& = & \frac{h}{b}\\ & & \\ h& =& b·\sin A\end{array}$

Vi får då at

$\begin{array}{rcl} T& = & \frac{c·h}{2}\\ & & \\ & =& \frac{c·b·\sin A}{2}\\ & & \\ & =& \frac{1}{2}·c·b·\sin A\end{array}$

Kan vi bruke formelen over uansett kor stor vinkelen mellom dei to aktuelle sidene er? Vi ser på ein trekant der vinkelen u mellom dei to sidene p og q er større enn 90 grader, slik som figuren til venstre nedanfor.

Vi har også laga ein hjelpefigur der vi har teikna inn høgda h i trekanten når vi har vald p som grunnlinje.

Bruk hjelpefiguren og finn ein formel for høgda h i trekanten ut i frå vinkelen v og sida q.

Vi har vidare at $u+v=180° \Rightarrow v=180°-u$

Vinklane 𝑢 og 𝑣 i trekanten over er med dette supplementvinklar som har same sinusverdi. Då har vi altså at

$\sin v=\sin u$

Arealet av trekanten blir då

$T=\frac{1}{2}p·h=\frac{1}{2}p·q \sin v=\frac{1}{2}p·q \sin u$

Formelen for arealet vi kom fram til over, gjeld altså også her, og med dette for alle trekanter.

Arealsetninga for trekantar

La 𝑢 vere vinkelen mellom to sider p og q i ein trekant.

Arealet av trekanten er gitt ved formelen

$T=\frac{1}{2}p·q \sin u$

Rekn ut arealet av trekant ABC når

$AB = 4,5 \mathrm{cm}, AC = 2,8 \text{cm}$ og $\angle A=101°$

Løysing

Her bruker vi arealsetninga direkte, og vi bruker GeoGebra til å rekne ut arealet.

$\mathrm{Arealet}=\frac{1}{2}·AB·AC·\sin A$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \frac{1}{2}·4.5·2.8·\sin \left(101°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 6.18\end{array}}$

Dersom vi vil, kan vi setje utrekninga lik variabelen "Arealet" og ta med einingane.

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{Arealet}:=\frac{1}{2}·4.5 \mathrm{cm}·2.8 \mathrm{cm}·\sin \left(101°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx \mathrm{Arealet}:=6.18 {\mathrm{cm}}^2\end{array}}$

Arealet er $6,2 {\mathrm{cm}}^2$.