Arealsetninga for trekantar
Eksempel
Vi skal finne arealet av eit trekanta leikeområde ABC der AB er 60 m, AC er 50 m og vinkel A er 57 grader.
Løysing
Vi kjenner arealformelen for ein trekant: .
Høgda h deler trekanten i to rettvinkla trekantar. I den venstre rettvinkla trekanten blir høgda h motståande katet til vinkel A. Hypotenusen blir sida AC. Da kan vi setje opp
Når vi set dette inn i arealformelen for trekanten, får vi
Arealet av leikeområdet er .
Formel for arealet
Sjå på eksempelet over og skriv ned med heile setningar korleis vi rekna ut arealet til trekanten. Klikk på boksen nedanfor for å sjå forslag til tekst.
Forslag
I eksempelet over fann vi arealet av trekanten ved å multiplisere med to sider i trekanten og med sinus til vinkelen mellom dei to sidene.
Denne framgangsmåten kan brukast i alle liknande situasjonar. Vi kan då lage ein generell formel for arealet av ein trekant når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dei.
Med same framgangsmåte som i eksempelet over får vi
Vi får då at
Kva skjer dersom vinkelen mellom dei to sidene er større enn 90 grader?
Kan vi bruke formelen over uansett kor stor vinkelen mellom dei to aktuelle sidene er? Vi ser på ein trekant der vinkelen u mellom dei to sidene p og q er større enn 90 grader, slik som figuren til venstre nedanfor.
Vi har også laga ein hjelpefigur der vi har teikna inn høgda h i trekanten når vi har vald p som grunnlinje.
Bruk hjelpefiguren og finn ein formel for høgda h i trekanten ut i frå vinkelen v og sida q.
Løysing
Vi kan då setje opp
Vi har vidare at
Vinklane 𝑢 og 𝑣 i trekanten over er med dette supplementvinklar som har same sinusverdi. Då har vi altså at
Arealet av trekanten blir då
Formelen for arealet vi kom fram til over, gjeld altså også her, og med dette for alle trekanter.
Arealsetninga for trekantar
La 𝑢 vere vinkelen mellom to sider p og q i ein trekant.
Arealet av trekanten er gitt ved formelen
Eksempel
Rekn ut arealet av trekant ABC når
og
Løysing
Her bruker vi arealsetninga direkte, og vi bruker GeoGebra til å rekne ut arealet.
Dersom vi vil, kan vi setje utrekninga lik variabelen "Arealet" og ta med einingane.
Arealet er .