Oppgåvene nedanfor kan løysast med digitale hjelpemiddel så lenge det ikkje står noko anna.
2.7.3
Finn tangensverdiane til følgjande vinklar. Finn òg dei eksakte verdiane, dersom det er mogleg.
a)
Vis fasit
Løyser i GeoGebra:
b)
Vis fasit
Løyser i GeoGebra:
Dette er ein eksakt verdi.
c)
Vis fasit
Løyser i GeoGebra:
d)
Vis fasit
Løyser i GeoGebra:
Her har vi òg teke med eksakt utrekning for å vise at tangens til 30 grader er ein eksakt verdi.
e)
Vis fasit
Løyser i GeoGebra:
Her har vi òg teke med eksakt utrekning for å vise at tangens til 60 grader er ein eksakt verdi.
2.7.4
Finn ut kva vinklar som har tangensverdiane nedanfor.
Bruk GeoGebra.
a)
Vis fasit
Løyser i GeoGebra:
Alternativt kan vi løyse likninga direkte.
b)
Vis fasit
Løyser i GeoGebra:
c)
Vis fasit
Løyser i GeoGebra:
d)
Vis fasit
Løyser i GeoGebra:
2.7.5
a) Finn den ukjende kateten i trekanten ABC når og .
Vis fasit
Den ukjende kateten AC er motståande katet til vinkel B. AB er hosliggjande katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser følgjande likning i GeoGebra:
Den ukjende kateten er 7,4.
b) Finn den ukjende kateten i trekanten ABC når og .
Vis fasit
Den ukjende kateten AB er hosliggjande katet til vinkel B. AC er motståande katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser følgjande likning i GeoGebra:
Den ukjende kateten er 13.
2.7.6
Finn den ukjende kateten i trekanten ABC når og .
Vis fasit
Den ukjende kateten AB er motståande katet til vinkel C. AC er hosliggjande katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser følgjande likning i GeoGebra:
Den ukjende kateten er 13.
2.7.7
Finn vinkel v i den rettvinkla trekanten. Dei to vinkelbeina til den rette vinkelen har lengder 5 og 2. Vinkelbeinet som har lengde 2, er òg vinkelbein til den ukjende vinkelen v.
Vis fasit
Sida som har lengde 5, er motståande katet til vinkel v. Sida som har lengde 2, er hosliggjande katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser følgjande likning i GeoGebra:
2.7.8
Finn dei ukjende sidene i trekantane.
a)
Vis fasit
Den gitte sida BC er motståande katet til den gitte vinkelen A. Då kan vi bruke tangens til å finne hosliggjande katet, AB. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser likninga vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AC.
Vi får at .
b)
Vis fasit
Den gitte sida AB er hosliggjande katet til den gitte vinkelen A. Då kan vi bruke tangens til å finne motståande katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser likninga vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AC.
(Vi tar med tre desimalar for BC for å få større nøyaktigheit i utrekninga i linje 2.)
Vi får at BC=1,3ogAC=3,4.
c)
Vis fasit
Den gitte sida AB er motståande katet til den gitte vinkelen C. Då kan vi bruke tangens til å finne hosliggjande katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser likninga vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AC.
(Vi tar med tre desimalar for BC for å få større nøyaktigheit i utrekninga i linje 2.)
Vi får at BC=0,22ogAC=3,11.
2.7.9
I den rettvinkla trekanten under er tanB=35 og AC=3,0.
a) Bestem lengda til BCogAB.
Vis fasit
Den gitte sida AC er motståande katet til vinkel B, som har gitt tangens. Då kan vi bruke tangens til å finne hosliggjande katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser likninga vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AB.
(Utrekninga i linje 1 hadde vi klart utan CAS òg...)
b) Bestem vinklane i trekanten.
Vis fasit
Vi bruker definisjonen på tangens til vinkel B og reknar i GeoGebra.
atand353≈30.96°90-30.964≈59.04°
∠B=31°∠A=59°
2.7.10
I den rettvinkla trekanten under er tanB=35 og BC=7,0.
a) Bestem lengda til ACogAB.
Vis fasit
Den gitte sida BC er hosliggjande katet til vinkel B, som har gitt tangens. Da kan vi bruke tangens til å finne hosliggjande katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser likninga vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AB.
Vi bruker definisjonen på tangens til vinkel B og reknar i GeoGebra.
atand353≈30.96°90-30.964≈59.04°
∠B=31°∠A=59°
(Trekanten er dermed formlik med trekanten i den førre oppgåva. Dette kunne vi sagt med éin gong ut ifrå at begge trekantane er rettvinkla og vinkel B er lik i trekantane fordi dei har same tangensverdi.)
2.7.11
a) Teikn ein rettvinkla trekant ABC der tanB=35.
Vis fasit
b) Teikn ein rettvinkla trekant ABC der tanC=12.
Vis fasit
c) Teikn ein rettvinkla trekant ABC der tanB=3.
Vis fasit
2.7.12
Du skal finne høgda til eit tre i skulegarden. Dette kan gjerast ved at du går 30 meter bort frå treet. Du finn vinkelen mellom siktelinja til toppen av treet og bakken. Vinkelen måler du til 33 grader. Sjå figuren ovanfor. Kor høgt er treet?
Vis fasit
Treet blir motståande katet til vinkel B i den rettvinkla trekanten vi får av geometrien. Avstanden AB på 30 meter blir hosliggjande katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser likninga vi får i GeoGebra.
tanB=ACAB
tan33°=AC301NLøys:{AC=19.48}
Høgda på treet er 19 meter.
2.7.13
Du skal no saman med tre andre elevar finne eit stort tre eller ein høg bygning. De skal nytte framgangsmåten skissert i forrige oppgåve og finne høgda til det valde objektet. De må klart gjere greie for metoden de brukte for å finne vinkelen. Bruk to forskjellige metodar for vinkelmålinga, og vurder grad av nøyaktigheit. Kva utslag gir det på høgda til treet om vinkelen blir målt ein grad feil?
2.7.14
Hege vil berekne den kortaste avstanden over Mandalselva. Ho merkar seg ut ein stein på andre sida av elva der elva ser ut til å vere smalast. Ho merkjer så av to punkt, A og B, slik at AB=10m og ∠A=90°. Ho måler og finn at ∠B=84°. Ho måler vidare avstanden frå punktet A og ut til elvebreidda til 8 m. Korleis kan no Hege berekne avstanden over elva?
Vis fasit
Avstanden AC frå punktet A over til steinen på den andre sida av elva blir motståande katet til vinkel B mens avstanden AB blir hosliggjande katet. Vi bruker definisjonen på tangens og reknar i GeoGebra.
tanB=ACAB
tan84°=AC101NLøys:{AC=95.14}
Vi må hugse på å trekkje frå avstanden frå A til elvebreidda. Breidda over elva blir då
95m-8m=87m
2.7.15
Mens Maren og Naomi var på Sjøsanden, såg dei ein seglbåt langt ute på sjøen. Dei kjende igjen seglbåten og visste at mastehøgda var 12 meter over havflata. Dei ville no finne ut kor langt ute seglbåten var. Dei målte vinkelen mellom siktelinjene til mastetoppen på seglbåten og til vasslinja til båten til 1,5°. Dei berekna så avstanden til båten. Kva avstand fann dei?
Vis fasit
Mastehøgda på båten blir motståande katet til siktevinkelen. Avstanden ut til båten blir hosliggjande katet. Vi kallar avstanden ut til båten for x. Vi bruker definisjonen på tangens til siktevinkelen, og kan då setje opp likninga nedanfor som vi løyser i GeoGebra.
tan1.5°=12x1NLøys:{x=458.26}
Avstanden ut til båten er omlag 460 m.
2.7.16
I eksempel 2 i teorien blei det beskrive korleis du kan berekne avstanden frå Sjøsanden til Hatholmen. Du skal no saman med tre andre elevar følgje denne framgangsmåten for å finne denne eller ein tilsvarande avstand. Som ein del av oppgåva må du lage ein vinkel på 90°. Beskriv korleis du gjer dette. Sjekk òg kva utslag det gir på avstanden om vinkelen blir målt ein grad feil.
2.7.17
Regn ut ukjende sider og vinklar i trapeset.
Vis fasit
Vi reknar først ut sida DE, som blir hosliggjande katet i den rettvinkla trekanten CDE.
DE=4,5-1,9=2,6
Vi bruker definisjonen på tangens til vinkel D og reknar i GeoGebra.
tanD=CEDE
atand1.92.61≈36.16°C:=90+180-90-36.22≈C:=143.8°
∠D=36,2°
∠C=143,8°
Så bruker vi Pytagoras' setning og bestemmer CD.
CD2=CE2+DE2
CD2=1.92+2.623NLøys:{CD=-3.22,CD=3.22}
CD=3.2
2.7.18
a) Rekn ut kor store kvar av vinklane i parallellogrammet under er.
Vis fasit
∠C=∠A=51.7°∠D=∠B=90°+(180°-90°-51.7°)=128.3°
Den siste utrekninga gjer vi kanskje enklast med CAS i GeoGebra.
b) Rekn ut arealet til trapeset EBCD.
Vis fasit
Vi må rekne ut lengda EB. Det gjer vi ved å rekne ut lengda AE ved å bruke at trekanten AED er rettvinkla. Vi bruker definisjonen på tangens, og etterpå bruker vi formelen for arealet av eit trapes. Vi reknar alt i GeoGebra.
a) Teikn ein rettvinkla trekant ABC der tanB=35 og AC=6.
b) Teikn ein rettvinkla trekant ABC der tanC=12 og AC=6.
c) Teikn ein rettvinkla trekant ABC der tanA=3 og AC=1,2.
Vis fasit
a) I denne trekanten vil AC vere motståaende katet til vinkel B. Dersom vinkel A er den rette vinkelen, vil AB vere hosliggjande katet. Vi reknar ut kor lang AB må vere for at kravet skal vere oppfylt.
tanB=ACAB35=6AB3·AB=6·53AB=30AB=10
b) Her vil AB vere motståande katet til vinkel C. Dersom vinkel A er den rette vinkelen, vil AC vere hosliggjande katet. Vi reknar ut kva lengda AB må vere for at kravet skal vere oppfylt.
tanC=ABAC12=AB612·6=AB3=AB
c) Her vil BC vere motståande katet til vinkel A. Dersom vinkel C er den rette vinkelen, vil AC vere hosliggjande katet. Vi reknar ut kva lengda BC må vere for at kravet skal vere oppfylt.
tanA=BCAC3=BC1,23·1,2=BC3,6=BC
2.7.20
I trekanten ABC under er tanB=35 og AB=5,8. Bestem lengda til AC og BC.
Vis fasit
Oppgåva løysar vi enklast med å bruke den trigonometriske funksjonen sinus eller cosinus. Her viser vi korleis oppgåva kan løysast med tangens.
Vi finn AC uttrykt ved BC.
tanB=35ACBC=35AC=35BC
Vi bruker så Pytagoras' setning og set opp ei likning for å finne BC. Vi løyser likninga i GeoGebra.