Hopp til innhald
Fagartikkel

To vinklar – same sinusverdi

Ein konsekvens av den generelle definisjonen av sinus og cosinus er at to vinklar kan få same sinusverdi. Det gjeld to vinklar som til saman er 180 grader.

Prøv sjølv

Det interaktive GeoGebra-arket nedanfor viser einingssirkelen med to punkt P₁ og P₂. Strålen frå origo til P₁ dannar vinkelen 𝑣 med den positive delen av x-aksen, mens strålen frå origo til P₂ dannar vinkelen 𝑢 med same akse. Då kan vi skrive opp koordinatane til dei to punkta ved hjelp av cosinus og sinus til dei to vinklane som vist i figuren.

Dra i glidebrytaren på figuren for å endre på vinkel 𝑣. Vi minner om at begge vinklane 𝑢 og 𝑣 blir målt i forhold til den positive delen av x-aksen.

Er du einig i at vinklane u og v i det interaktive GeoGebra-arket over er til saman 180 grader og har same sinusverdi?

Sidan u+v=180°, er  v=180°u. Då blir dei to vinklane kalla supplementvinklar.

Vi får at

sinu=sinv=sin(180°u)

Kan du også frå figuren sjå at

cosu=cos(180°u)?

Oppgåve 1

Bruk figuren og finn supplementvinkelen til 30°, til 45° og til 157,5°. Kontroller svaret ved rekning.

Løysing

180° – 30° = 150°. Supplementvinkelen til 30° er 150°.

180° – 45° = 135°. Supplementvinkelen til 45° er 135°.

180° – 157,5° = 22,5°. Supplementvinkelen til 157,5° er 22,5°.

Oppgåve 2

Prøv å finne desse verdiane ved hjelp av figuren:

sin0°    sin90°    sin180°cos0°   cos90°    cos180°

Løysing

sin0°=0    sin90°=1    sin180°=0cos0°=1   cos90°=0    cos180°=-1

Trigonometriske likningar

Viss vi til dømes får opplyst at sinus til ein vinkel er 0,5, så veit vi ikkje om vinkelen er 30 grader eller 150 grader. Det betyr at likninga sinx=0,5  har to løysingar.

Dette kan du føre slik

sinx = 0,5   x=asin(0,5)   x=30°  x=180°-30°=150°      Tegnet  betyr "eller".

Vi kan også løyse likninga med CAS i GeoGebra.

sinx°=121NLøys:  {x=30, x=150}

Nokre digitale verktøy gir berre den eine løysinga. Då må du sjølv passe på å få med den andre.

I praktiske oppgåver der du skal finne ein ukjend vinkel med ei sinuslikning som den over, må du vurdere kva løysing som passar eller om begge løysingane kan brukast.

I dette kurset reknar vi berre med vinklar opp til 180 grader. For desse vinklane får vi ikkje problem med to løysingar av likningar med cosinus og tangens.

Ei lita oppsummering

sinu = sin(180°-u)cosu=-cos(180°-u)

Dersom vi legg saman ein vinkel som er mindre enn 180 grader med den tilhøyrande supplementvinkelen, får vi alltid 180 grader til svar.

Eksempel

sin150° = sin30°=0,5cos150°=-cos30°-0,866

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0