Cosinussetninga

Gitt ein trekant $ABC$. Vinkel A har motståande side a, og det er tilsvarande for dei andre vinklane. Følgjande setning gjeld:

Cosinussetninga (Den utvida pytagoreiske setninga)

$a^2=b^2+c^2-2bc \cos A$

I ein trekant er kvadratet av ei side alltid lik summen av kvadrata av dei to andre sidene minus to gonger produktet av desse sidene og cosinus til den mellomliggjande vinkelen deira. Vi kan derfor også skrive setninga på følgjande to andre måtar:

$b^2=a^2+c^2-2ac \cos B$

$c^2=a^2+b^2-2ab \cos C$

Vi kan bruke cosinussetninga til å finne både sider og vinklar. Når vi skal finne vinklar, kan det vere lurt å snu på formelen slik som vist nedanfor.

$\begin{array}{rcl} a^2& = & b^2+c^2-2·b·c·\cos A\\ & & \\ 2·b·c·\cos A& =& b^2+c^2-a^2\\ & & \\ \cos A& =& \frac{b^2+c^2-a^2}{2·b·c}\end{array}$

Dei andre vinklane blir då

$\begin{array}{rcl}\cos B& = & \frac{a^2+c^2-b^2}{2·a·c}\\ & & \\ \cos C& =& \frac{a^2+b^2-c^2}{2·a·b}\end{array}$

Skal vi bruke GeoGebra til å løyse oppgåvene, treng vi ikkje snu på formelen.

Figuren viser ein trekant $ABC$ .

Rekn ut sida BC når sida AC er 3,5 cm, sida AB er 5,5 cm og $\angle A = 35°$.

Løysing

Vi bruker varianten av cosinussetninga med vinkel A, sidan det er den vinkelen som er oppgitt, og løyser med GeoGebra.

$a^2= b^2+c^2-2bc \cos A$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{a}}^2=3.5^2+5.5^2-2·3.5·5.5·\cos \left(35°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{a}=-3.3, \mathrm{a}=3.3\}\end{array}}$

$a=3,3 \mathrm{cm}$

Figuren viser ein trekant $ABC$.

Rekn ut $\angle B$ når du veit at $a=3,3 \mathrm{cm}$, $b=3,5 \mathrm{cm}$ og $c=5,5 \mathrm{cm}$.

Løysing

Vi bruker varianten av cosinussetninga med vinkel B sidan det er denne vinkelen det er spurt etter og løyser med GeoGebra.

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & 3.5^2=3.3^2+5.5^2-2·3.3·5.5·\cos \left(\mathrm{B}°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{B}=-37.26, \mathrm{B}=37.26\}\end{array}}$

$\angle B=37,3°$

Kommentar

Når vi bruker cosinussetninga til å finne vinklar, får vi alltid berre éi løysing. Dersom vi bruker sinussetninga til å finne vinklar, får vi to løysingar, og vi må sjølv vurdere kva for verdiar som passar i den aktuelle trekanten.

Vi let først vinkel A vere mindre enn 90 grader.

Vi har ein trekant ABC der vi har markert høgda h (normalen) frå C ned på sida c (eller AB). Høgda h deler trekanten i to rettvinkla trekantar. Vi bruker Pytagoras si læresetning på begge trekantane, først den til høgre.

$\begin{array}{rcl}{a}^2 & =& h^2+{\left(c-x\right)}^2\\ & & \begin{array}{c}\end{array}\\ a^2 & =& h^2+c^2-2\begin{array}{rcl}& & ·\end{array}c\begin{array}{rcl}& & ·\end{array}x+x^2\\ & & \begin{array}{c}\end{array}\\ a^2 & =& h^2+x^2+c^2-2·c·x\end{array}$

Pytagoras si læresetning på trekanten til venstre gir

$h^2+x^2=b^2$

I tillegg har vi at $\cos A=\frac{x}{b}$, dvs. $x=b·\cos A$. Då får vi

$\begin{array}{rcl}{a}^2& = & b^2+c^2-2·c·b·\cos A\\ & & \\ a^2& =& b^2+c^2-2·b·c·\cos A\end{array}$

Så let vi vinkel A vere større enn 90 grader.

Vi bruker Pytagoras si læresetning på den store, rettvinkla trekanten (heile figuren) med sider h, c + x og a.

$\begin{array}{rcl}{a}^2 & =& h^2+{\left(c+x\right)}^2\\ & & \begin{array}{c}\end{array}\\ a^2 & =& h^2+c^2+2cx+x^2\\ & & \begin{array}{c}\end{array}\\ a^2 & =& h^2+x^2+c^2+2·c·x\end{array}$

Så bruker vi Pytagoras si læresetning på den vesle, rettvinkla trekanten (deler av figuren) med sider h, x og b. Då får vi

$h^2+x^2=b^2$

I tillegg har vi at

$\cos \left(180°-A\right)=\frac{x}{b}$

Her skulle vi helst ha hatt cosinus til A åleine. Frå sida To vinklar – same sinusverdi har vi at

$\begin{array}{rcl}\cos \left(180°-A\right)& = & -\cos A\\ & & \\ -\cos A& =& \frac{x}{b}\\ & & \\ x& =& -b·\cos A\end{array}$

Då får vi

$\begin{array}{rcl}{a}^2 & =& b^2+c^2+2c·\left(-b \cos A\right)\\ & & \\ a^2 & =& b^2+c^2-2bc \cos A\end{array}$

Til slutt let vi vinkel A vere lik 90 grader.

Då er$\cos A=0$, og vi får Pytagoras si setning $a^2=b^2+ c^2$ både ut i frå cosinussetninga og figuren.

Vi skjønar då kvifor cosinussetninga også blir kalla den utvida pytagoreiske setninga.

Vi har med dette prova at cosinussetninga gjeld for alle trekantar.