Oppgåve

Sinussetninga

Oppgåvene nedanfor kan løysast med alle hjelpemiddel dersom det ikkje står noko anna. Hugs at når du bruker sinussetninga til å rekne ut ein vinkel, får du to løysingar som begge må vurderast.

2.7.40

a) Figuren viser ein trekant $A B C$ med sider $a, b$ og $c$ .

Trekant med hjørne stor a, stor b og stor c og sider liten a, liten b og liten c slik at sida liten a er motståande side til hjørnet stor a, og tilsvarande. Illustrasjon. — Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

Rekn ut lengda av sida $a$ når $b = 3, 0 cm$ , $∠ A = 39 °$ og $∠ B = 59 °$ .

vis fasit

Vi bruker sinussetninga.

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

Løyser likninga i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl} \frac{a}{\sin (39 °)} = \frac{3.0}{\sin (59 °)} \\ 1 \\ NLøys : {a = 2.2} \end{array}$

$a = 2, 2 cm$

b) Figuren viser trekanten ABC med sider a, b og c.

Rekn ut lengda av sida $b$ når

$a = 8, 5 cm$ ,

$∠ A = 110, 5 °$ ,

$∠ B = 19, 8 °$ .

vis fasit

Vi bruker sinussetninga.

$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$

Løyser i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl} \frac{b}{\sin (19.8 °)} = \frac{8.5}{\sin (110.5 °)} \\ 1 \\ NLøys : {b = 3.07} \end{array}$

$b = 3, 1 cm$

2.7.41

Trekant P S V der vinkel S er 48,0 grader, vinkel P er 21,5 grader og linje S V er 235 meter. Illustrasjon. — Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

Vi skal leggje ein straumkabel $S P$ langs gangvegen på Sjøsanden. Figuren viser arbeidsområdet sett frå vasskanten $V$ . Rekn ut lengda $S P$ når du får oppgitt at det er 235 m mellom $S$ og $V$ .

vis fasit

Vi finn først vinkel $V$ : $∠ V = 180 ° - (21, 5 ° + 48 °) = 110, 5 °$

Så bruker vi sinussetninga.

$\frac{S P}{\sin V} = \frac{S V}{\sin P}$

Løyser med GeoGebra.

$\begin{array}{rcl} \frac{SP}{\sin (110.5 °)} = \frac{235}{\sin (21.5 °)} \\ 1 \\ NLøys : {SP = 600.59} \end{array}$

$S P = 601 m$

2.7.42

Anniken tar seg ein liten båttur ein varm sommardag. Ho går ut frå Dyrstad og legg kursen mot Færøy. Så bøyer ho av mot Ryvingen, deretter drar ho rett heim. Sjå figuren.

Trekant med to oppgitte sider. Siden Færøy-Ryvingen er 635 meter og siden Dyrstad-Ryvingen er 1150 meter. Vinkel Færøy er 85,0 grader. Illustrasjon — Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

Finn kor lang båttur Anniken hadde denne dagen.

vis fasit

Først finn vi vinkel $D$ (Dyrstad). Då set vi opp ei likning med utgangspunkt i sinussetninga.

$\frac{F R}{\sin D} = \frac{D R}{\sin F}$

Løyser i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl} \frac{635}{\sin (D °)} = \frac{1150}{\sin (85.0 °)} \\ 1 \\ NLøys : {D = 33.37} \end{array}$

Det tyder altså at

$∠ D = 33, 4 °$

Så må vi sjekke supplementvinkelen.

$180 ° - 33, 4 ° = 146, 6 °$

Vinkel D kan ikkje vera 146,6 grader, for da blir vinkelsummen i trekanten over 180 grader. Vinkel D er derfor 33,4 grader.

Den siste vinkelen i trekanten blir då

$180 ° - 33, 4 ° - 85 ° = 61, 6 °$

Avstanden $D F$ frå Dyrstad til Færøy finn vi óg ved å bruke sinussetninga.

$\frac{D F}{\sin R} = \frac{D R}{\sin F}$

Løyser i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl} \frac{DF}{\sin (61.6 °)} = \frac{1150}{\sin (85.0 °)} \\ 1 \\ NLøys : {DF = 1015.46} \end{array}$

$1 015 m + 635 m + 1 150 m = 2 800 m$

Det tyder at Anniken sin båttur var ca $2 800 m .$

2.7.43

Du skal finne $∠ C$ i ein trekant der $A B = 8, 0 cm, B C = 6, 0 cm$ og $∠ A = 30, 0 °$ .

Trekantfigur som viser at det er to moglege trekantar som oppfyller krava til figuren. Illustrasjon. — Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

a) Bruk figuren ovanfor og forklar at det er to trekantar som oppfyller kriteria i oppgåveteksten.

vis fasit

Tenk deg at du set passaren i punkt $B$ og slår ein sirkel med radius 6,0 cm. Du vil då skjere venstre vinkelbein til vinkel $A$ på to stader, nemleg i $C_{1}$ og $C_{2}$ .

Du får då to løsningstrekantar $A B C_{1}$ og $A B C_{2}$ .

b) Finn $∠ C_{1}$ og $∠ C_{2}$ i dei to moglege trekantane.

vis fasit

Vi bruker sinussetninga.

$\frac{A B}{\sin C} = \frac{B C}{\sin A}$

Løyser i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl} \frac{8.0}{\sin (C °)} = \frac{6.0}{\sin (30.0 °)} \\ 1 \\ NLøys : C = 41.81 \end{array} \begin{array}{rcl} 180 - HøgreSide ($ 1) \\ 2 \\ \approx 138.19 \end{array}$

Her har vi brukt kommandoen "HøgreSide" for å referere til høgre side av likskapsteiknet i svaret i linje 2 i staden for å skrive inn talsvaret 41,81 manuelt.

$∠ C_{1} = 41, 8 °$ og $∠ C_{2} = 138, 2 °$

Vi ser av figuren at vi her kan bruke begge løysingane.

Gitt ein trekant $A B C$ der $A B = 8, 0 cm og ∠ A = 30, 0 °$ .

c) Finn lengda av $B C$ når $B C$ står vinkelrett på venstre vinkelbein til $∠ A$ .

vis fasit

Vinkel $C$ er då $90 °$ , og vi kan bruke definisjonen av sinus som gjeld for rettvinkla trekantar. Vi får

$\sin A = \frac{B C}{A B}$

og vi løyser med GeoGebra.

$\begin{array}{rcl} \sin (30 °) = \frac{BC}{8.0} \\ 1 \\ NLøs : {BC = 4} \end{array}$

$B C = 4, 0 cm$

Rettvinkla trekant der hjørnet C er den rette vinkelen. Illustrasjon. — Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

(Vi kunne óg brukt direkte at den minste kateten er halvparten av hypotenusen i ein 30-, 60-, 90- graders trekant.)

Lengda av $B C$ vil avgjere kor mange moglege trekantar vi kan få.

d) Finn kva lengda av $B C$ må vera dersom det ikkje skal vera mogleg å danne ein trekant.

vis fasit

Dersom lengda $B C$ er kortare enn 4,0 cm, vil vi ikkje ha nokon løysingar sidan $B C$ då ikkje rekk opp til venstre vinkelbein til vinkel $A$ .

e) Finn kva lengda av $B C$ må vera dersom det skal vera mogleg å danne to trekantar.

vis fasit

Dersom vi skal ha to løysingar, må lengda $B C$ vera større enn 4,0 cm og mindre enn lengda av $A B$ , dvs. 8,0 cm. Sjå figuren i oppgåve c).

f) Finn kva lengda av $B C$ må vera dersom det berre skal vera mogleg å danne éin trekant.

vis fasit

Vi får éi løysing når lengda $B C$ er lik eller større enn 8,0 cm og når lengda $B C$ akkurat er 4,0 cm.

2.7.44 (utan hjelpemiddel)

Trekant der to vinklar er 30 grader og 45 grader og éi side er 5. Illustrasjon. — Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

Bestem sida $B C$ i trekanten på figuren når du får oppgitt at $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ og $\sin 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

vis fasit

Vi bruker sinussetninga og får:

$\begin{array}{rcl} \frac{B C}{\sin 30 °} & = & \frac{A B}{\sin 45 °} \\ \frac{B C}{\frac{1}{2}} & = & \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ B C & = & \frac{5 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \end{array}$

2.7.45 (utan hjelpemiddel)

I trekanten $A B C$ er $A C = 2, B C = 3$ og $\sin A = \frac{3}{4}$ .

Trekant der to sider er 2 og 3 og sinus til ein av dei to vinklane som ikkje er mellomliggjande vinkel til dei to sidene er tre firedelar. Illustrasjon. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

a) Bestem $\sin B$ .

vis fasit

Vi bruker sinussetninga og får:

$\begin{array}{rcl} \frac{\sin B}{b} & = & \frac{\sin A}{a} \\ = & \frac{\frac{3}{4}}{3} \\ \sin B & = & \frac{\frac{3}{4} \cdot 2}{3} \\ = & \frac{1}{2} \end{array}$

I en rettvinkla trekant der dei spisse vinklane er $30 °$ og $60 °$ , er hypotenusen dobbelt så lang som den minste kateten.

b) Bruk dette til å finne vinkel $B$ i trekanten i a).

vis fasit

I denne trekanten vil den motståande kateten til vinkelen på $30 °$ vera den minste kateten. Sidan sinus til ein av dei spisse vinklane i ein rettvinkla trekant er motståande katet delt på hypotenus, får vi at $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ .

Då må óg vinkel B i oppgåve a) vera 30 grader sidan han har same sinusverdi.

2.7.40

2.7.41

2.7.42

2.7.43

2.7.44 (utan hjelpemiddel)

2.7.45 (utan hjelpemiddel)

Reglar for bruk av teksten "Sinussetninga"