Sinus, cosinus og tangens til vinklar større enn 90°
Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens til ein vinkel
Vi startar med ein vinkel som er mindre enn 90°, slik som på figuren over. Vi opprettar så motståande katet, slik at vi får ein rettvinkla trekant med hypotenus lik 1. Vi kallar katetane for og .
Vi får
Vi legg eit koordinatsystem med origo i toppunktet til vinkelen, slik at vinkelen sitt høgre bein blir liggjande langs -aksen. Vi legg vidare ein sirkel med radius 1 og sentrum i origo. Vi kallar sirkelen for einingssirkelen.
Vi kallar skjeringspunktet mellom einingssirkelen og venstre vinkelbein til for .
Vi kallar vidare koordinatane til punktet for .
Vi får då at cosinus til vinkelen blir lik førstekoordinaten til , , og at sinus til blir lik andrekoordinaten til , .
Det betyr at .
Vi ser også at
Ettersom avstanden frå origo til er lik 1, har vi også på grunn av Pytagoras si setning at kvadratet av pluss kvadratet av er lik 1.
Vi kan no definere sinus, cosinus og tangens til ein generell vinkel .
Plasser vinkel i eit koordinatsystem saman med einingssirkelen. Sjå figuren til høgre.
La vere skjeringspunktet mellom vinkelen sitt venstre vinkelbein og einingssirkelen.
Vi får
førstekoordinaten til
andrekoordinaten til
Vi får også at
Vi har no ein definisjon som også gjeld for vinklar som er større enn 90°.
Prøv sjølv!
Dra i glidebrytaren for å endre på vinkelen 𝑣 i det interaktive GeoGebra-arket nedanfor. Observer kva som skjer.
Filer
Aktivitetar til den interaktive einingssirkelen
Bruk den interaktive einingssirkelen når du svarer på spørsmåla.
Oppgåve 1
Kan sin𝑣 og cos𝑣 ha negative verdiar?
Løysing
Dersom vi drar glidebrytaren over heile området, får vi at sin 𝑣 alltid er større enn eller lik null. Dette gjeld så lenge vinkelen 𝑣 er innanfor intervallet frå 0 grader til 180 grader.
Vi får vidare at cos 𝑣 er større enn null når vinkelen 𝑣 er mellom 0 og 90 grader og mindre enn null når vinkelen er mellom 90 grader og 180 grader.
Matematisk:
Oppgåve 2
Bruk det interaktive GeoGebra-arket til å finne cos 120°.
Løysing
Oppgåve 3
Kan du finne to vinklar som har sinusverdi lik 0,5?
Løysing
Ved å dra i glidebrytaren får vi at
Vi observerer at når vinkelen aukar frå 0 grader til 90 grader, aukar verdien for sin 𝑣 frå 0 til 1. Når vinkelen aukar vidare frå 90 grader til 180 grader, minkar verdien for sin 𝑣 frå 1 til 0. Det må bety at det finst to vinklar som har same sinusverdi i dette området, éin vinkel mellom 0 grader og 90 grader og éin vinkel mellom 90 og 180 grader.
Dette kan du finne ut meir om i artikkelen To vinklar – same sinusverdi.