Sinus, cosinus og tangens til vinklar større enn 90°
Vi startar med ein vinkel som er mindre enn 90°, slik som på figuren over. Vi opprettar så motståande katet, slik at vi får ein rettvinkla trekant med hypotenus lik 1. Vi kallar katetane for og .
Vi får
Vi legg eit koordinatsystem med origo i toppunktet til vinkelen, slik at vinkelen sitt høgre bein blir liggjande langs -aksen. Vi legg vidare ein sirkel med radius 1 og sentrum i origo. Vi kallar sirkelen for einingssirkelen.
Vi kallar skjeringspunktet mellom einingssirkelen og venstre vinkelbein til for .
Vi kallar vidare koordinatane til punktet for .
Vi får då at cosinus til vinkelen blir lik førstekoordinaten til , , og at sinus til blir lik andrekoordinaten til , .
Det betyr at .
Vi ser også at
Ettersom avstanden frå origo til er lik 1, har vi også på grunn av Pytagoras si setning at kvadratet av pluss kvadratet av er lik 1.
Vi kan no definere sinus, cosinus og tangens til ein generell vinkel .
Plasser vinkel i eit koordinatsystem saman med einingssirkelen. Sjå figuren til høgre.
La vere skjeringspunktet mellom vinkelen sitt venstre vinkelbein og einingssirkelen.
Vi får
førstekoordinaten til
andrekoordinaten til
Vi får også at
Vi har no ein definisjon som også gjeld for vinklar som er større enn 90°.
Dra i glidebrytaren for å endre på vinkelen 𝑣 i det interaktive GeoGebra-arket nedanfor. Observer kva som skjer.
Filer
Bruk den interaktive einingssirkelen når du svarer på spørsmåla.
Oppgåve 1
Kan sin𝑣 og cos𝑣 ha negative verdiar?
Oppgåve 2
Bruk det interaktive GeoGebra-arket til å finne cos 120°.
Oppgåve 3
Kan du finne to vinklar som har sinusverdi lik 0,5?