Volum og bogelengde

Dersom vi deler eit egg med ein eggdelar, får vi parallelle skiver med same tjukne, men med ulik storleik på den sirkelforma flata. Kvar enkelt skive får tilnærma form som ein sylinder med veldig lita høgde. Summen av voluma til alle skivene er lik volumet til egget.

Dette prinsippet vil gjelde for alle romfigurar.

Av figuren har vi at $A\left(x\right)·∆x$ er ein tilnærmingsverdi for volumet av ei skive. Ein tilnærmingsverdi for det samla volumet av den eggeforma lekamen på figuren kan vi derfor finne ved å summere volumet av alle skivene. Når $∆x$ blir veldig liten, nærmar denne summen seg volumet av egget – og samtidig eit integral.

Volumet av ei kule

Vi kan bruke dette til å vise at volumet av ei kule er gitt ved

$$ V_{kule}=\frac{4}{3}\pi r^3$$

I figuren har vi teikna ei kule med radius $r$.

Vi har markert ei snittflate i kula i avstand $$ x$$ frå sentrumet til kula. Snittflata har form som ein sirkel, og radius i denne sirkelen kallar vi $r_x$.

Arealet av snittsirkelen er vil då vere gitt ved

$$ A\left(x\right)=\pi {r_x}^2$$

Vi bruker pytagorassetninga og finn $r_x$ uttrykt ved $r$ og $x$.

$$ \begin{array}{rcl}{r_x}^2& = & r^2-x^2\\ r_x& =& \sqrt{r^2-x^2}\end{array}$$

Dette gjer at dersom vi vel ulike $$ x$$-verdiar i området $$ -r\le x\le r$$, vil vi kunne berekne $$ r_x$$.

Arealet av snittflata er dermed gitt ved

$$ \begin{array}{rcl}A\left(x\right)& = & \pi ·{r_x}^2\\ & & \\ & =& \pi ·{\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)}^2\\ & & \\ & =& \pi \left(r^2-x^2\right)\end{array}$$

Dersom vi deler kula i sylinderforma skiver, vil volumet av kvar skive bli

$$ \begin{array}{rcl}{V}_{skive} & =& A\left(x\right)·∆x\\ & =& \pi \left(r^2-x^2\right)·∆x\end{array}$$

Dette uttrykket kan brukast til å berekne volumet av ei kule numerisk, og då er programmering eit godt verktøy. Vi kan lage eit program som bereknar volumet av kvar slik skive med høgde $$ ∆x$$ og summerer desse for å få ein tilnærmingsverdi til det totale volumet. Jo mindre $$ ∆x$$ er, jo nærare blir tilnærmingsverdien det faktiske volumet. Dette skal vi prøve ut i oppgåvene.

Vi held beviset ved fram med å forme om uttrykket slik at vi kan bruke integrasjon.

$$ \begin{array}{rcl}{V}_{kule}& = & {\int }_{-r}^r\pi \left(r^2-x^2\right) dx\\ & & \\ & =& {\int }_{-r}^r\pi r^2 dx-{\int }_{-r}^r\pi x^2 dx\\ & & \\ & =& \pi r^2{\int }_{-r}^{r}1 dx-\pi {\int }_{-r}^r{x}^2 dx\\ & & \\ & =& \pi r^2·{\left[x\right]}_{-r}^r-\pi {\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_{-r}^r\\ & & \\ & =& \pi r^2·\left(r-\left(-r\right)\right)-\pi ·\left(\frac{1}{3}{r}^3-\left(-\frac{1}{3}{r}^3\right)\right)\\ & & \\ & =& \pi r^3+\pi r^3-\left(\frac{\pi r^3}{3}+\frac{\pi r^3}{3}\right)\\ & & \\ & =& \frac{3\pi r^3+3\pi r^3-\pi r^3-\pi r^3}{3}\\ & & \\ & =& \frac{4\pi r^3}{3}\end{array}$$

Kor lang er ein graf frå eitt punkt på grafen til eit anna? Dette er ei enkel berekning dersom grafen er ei rett linje, men vanskelegare dersom grafen er bogen. Vi skal ta for oss korleis vi ved hjelp av integrasjon kan utleie ein formel for lengda til ein del av ein graf. Vi kallar ei slik lengde for bogelengde.

Vi ønsker å utleie ein formel for berekning av bogelengda til grafen til ein kontinuerleg funksjon frå eit punkt $$ A$$ til eit punkt $$ B$$ på grafen, det vil seie frå $$ x=x_1$$ til $$ x=x_2$$.

Vi set punkt langs grafen og trekker rette linjer mellom punkta. Desse linjestykka vil vere ei tilnærming til grafen i området mellom $$ A$$ og $$ B$$. Dersom vi summerer lengdene av alle linjestykka, vil vi få ein tilnærma verdi for bogelengda frå $$ A$$ til $$ B$$.

Lengda av kvart linjestykke kallar vi $$ ∆s$$, og som figuren over viser, vil vi kunne sjå på eit slikt linjestykke som hypotenusen i ein rettvinkla trekant, der $$ ∆x$$ og $$ ∆y$$ er katetar i trekanten. Legg merke til at $$ ∆x$$ er endring i $$ x$$-verdi mellom punkta på grafen.

Vi har då følgande samanheng:

$$ \begin{array}{rcl}{\left(∆s\right)}^2 & =& {\left(∆x\right)}^2+{\left(∆y\right)}^2\\ ∆s & =& \sqrt{{\left(∆x\right)}^2+{\left(∆y\right)}^2}\end{array}$$

Uttrykket for lengda av eit linjestykke mellom to punkt på grafen, kan brukast for å berekne bogelengde numerisk ved hjelp av programmering. Vi kan lage eit program der vi angir ein funksjon, startverdi, sluttverdi og kor stor $$ \begin{array}{rcl}& & ∆\end{array}\begin{array}{rcl}& & x\end{array}$$ skal vere. Programmet "deler" grafen i linjestykke og bereknar lengda av kvart av linjestykka. Ved å summere desse lengdene vil programmet kunne gi ei tilnærma bogelengde. Jo mindre vi set $$ \begin{array}{rcl}& & ∆\end{array}\begin{array}{rcl}& & x\end{array}$$, jo nærare blir tilnærminga den faktiske bogelengda. Dette skal vi prøve ut i oppgåvene.

Vi gjer ei omforming av likninga for å nærme oss integralrekning:

$$ \begin{array}{rcl}∆s& =& \sqrt{\left(1+\frac{{\left(∆y\right)}^2}{{\left(∆x\right)}^2}\right){\left(∆x\right)}^2}\\ & & \\ & =& \sqrt{1+{\left(\frac{∆y}{∆x}\right)}^2}·∆x\end{array}$$

Uttrykket $$ \frac{∆y}{∆x}$$er den momentane vekstfarten i eit punkt når $$ ∆x\to 0$$, og dermed har vi at

$$ \begin{array}{rcl}∆s& =& \sqrt{1+\left(f^{\text{'}}{\left(x\right)}^2\right)}∆x\end{array}$$

Som tidlegare nemnt er summen av alle linjestykka ein tilnærma verdi for bogelengda. Ved å la $$ ∆x$$ gå mot null vil denne tilnærminga gå mot den eksakte verdien av bogelengda.

Ut frå dette får vi følgande uttrykk for berekning av bogelengde:

$$ s=\underset{∆x\to 0}{\lim }\sum _a^b∆s={\int }_a^b\sqrt{1+{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)}^2}dx$$

Omkrinsen til ein sirkel

Vi veit at omkrinsen av ein sirkel er definert ved $$ O=2\pi r$$. Vi kan bevise denne samanhengen ved hjelp av uttrykket for berekning av bogelengde.

Ein sirkel er gitt ved $$ x^2+y^2=r^2$$, der $$ r$$ er radius i sirkelen.

Dette gir $$ y=\pm \sqrt{r^2-x^2}$$.

Dersom vi bruker funksjonen $$ y=\sqrt{r^2-x^2}$$ , der $$ x\in \left[0,r\right]$$, har vi ein kontinuerleg funksjon som er deriverbar i definisjonsområdet, og som representerer $$ \frac{1}{4}$$ av ein sirkel med radius lik $$ r$$, sidan vi berre tek med positive $$ x$$-verdiar.

$$ y = \sqrt{r^2-x^2}$$

Vi deriverer og får

$$ \begin{array}{rcl}\frac{dy}{dx} & =& \frac{1}{2\sqrt{r^2-x^2}}·-2x\\ & =& -\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}\end{array}$$

Vi kan no setje inn i formelen for bogelengde:

$$ \begin{array}{rcl}s & =& {\int }_a^b\sqrt{1+{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)}^2}dx \\ & =& {\int }_0^r\sqrt{1+{\left(-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}\right)}^2}dx\\ & =& {\int }_0^r\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}dx\\ & =& {\int }_0^r\sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}}dx\\ & =& {\int }_0^r\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}dx\\ & =& r{\int }_0^r\frac{1}{\sqrt{r^2-x^2}}dx\end{array}$$

Integranden minner om den deriverte til $$ \arcsin x$$, og vi bruker dette vidare i løysinga.

$$ \begin{array}{rcl}s & =& r{\int }_0^r\frac{1}{\sqrt{r^2\left(1-{\displaystyle \frac{x^2}{r^2}}\right)}}dx\\ & =& \frac{r}{r}{\int }_0^r\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{\left(1-{\left(\frac{x}{r}\right)}^2\right)}}}dx\\ & =& {\int }_0^r\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{\left(1-{\left(\frac{x}{r}\right)}^2\right)}}}dx\end{array}$$

Vi bruker no integrasjon ved variabelskifte for å bestemme integralet:

$$ \begin{array}{l}u\end{array} \begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{l} \left(\frac{x}{r}\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\frac{du}{dx} & =& \frac{1}{r}\\ dx & =& du·r\end{array}$$

Vi set inn $$ u$$ og $$ \frac{du}{dx}$$:

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}\begin{array}{ccl}s& =& {\int }_0^r\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{\left(1-u^2\right)}}}du·r\\ & =& r{\int }_0^r\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{\left(1-u^2\right)}}}du\\ & =& r{\left[\arcsin u\right]}_0^r\\ & =& r·{\left[\arcsin \frac{x}{r}\right]}_0^r\\ & =& r·\left(\arcsin \frac{r}{r}-\arcsin \frac{0}{r}\right)\\ & =& r·\left(\arcsin 1-\arcsin 0\right)\\ & =& r·\frac{\mathrm{\pi }}{2}\end{array}\end{array}\begin{array}{l} \end{array} \\ \end{gathered}$$

Omkrinsen til $$ \frac{1}{4}$$ av sirkelen er ut frå dette lik $$ \frac{\mathrm{\pi }}{2}·r$$, noko som gir at omkrinsen av heile sirkelen er $$ 4·\frac{\mathrm{\pi }}{2}·r=2\pi r$$.