Hopp til innhold
Oppgave

Analyse av logaritmefunksjoner

Øv på å analysere logaritmefunksjoner her.

3.1.60

Funksjonen f er gitt ved

fx=lnx2-2x

a) Bestem definisjonsmengden til f og finn eventuelle nullpunkter uten hjelpemidler.

Løsning

Den naturlige logaritmen er bare definert for positive tall. Da må

x2-2x > 0

Vi løser ulikheten ved først å finne nullpunktene til uttrykket.

x2-2x = 0xx-2 = 0x = 0    x-2=0x = 0    x=2

Så tester vi uttrykket i de aktuelle intervallene.

Da kan vi tegne fortegnsskjema for uttrykket.

Funksjonen kan bare være definert der uttrykket er større enn 0. Definisjonsmengden til funksjonen blir

Df = , 02, 

Vi finner nullpunktene til funksjonen.

fx = 0lnx2-2x = 0x2-2x = 1x2-2x-1=0x = --2±-22-4·1·-12·1= 2±82=1±2x = 1-2-0,4    x=1+22,4

b) Analyser monotoniegenskapene til f, og finn eventuelle topp- eller bunnpunkter uten hjelpemidler.

Løsning

Vi deriverer funksjonen og undersøker fortegnet til den deriverte.

fx = lnx2-2x=lnuf'x = 1u·u'=1x2-2x·2x-2= 2x-2x2-2x

Her satte vi  u=x2-2x  og brukte kjerneregelen da vi deriverte.

Så setter vi den deriverte lik null.

f'x = 02x-2xx-2 = 0  ,    x0 x22x-2 = 0x = 1

Kandidaten til nullpunkt for den deriverte ligger utenfor definisjonsmengden til funksjonen. Grafen kan derfor ikke ha noe topp- eller bunnpunkt.

Vi tester den deriverte i de to aktuelle intervallene.

f'-1 = 2·-1-2-12-2·-1=-2-21+2=-43<0f'3 = 2·3-232-2·3=6-29-6=43>0

Fortegnsskjemaet for den deriverte ser derfor slik ut:

Av fortegnslinja kan vi lese at grafen til f synker når  x<0  og stiger når  x>2.

c) Bestem uten hjelpemidler krumningsforholdene og eventuelle vendepunkter til f.

Løsning

Vi deriverer en gang til og undersøker fortegnet til den dobbeltderiverte.

f'x=2x-2x2-2xf''x=2x-2'·x2-2x-2x-2·x2-2x'x2-2x2f''x=2·x2-2x-2x-2·2x-2x2-2x2f''x=2x2-4x-4x2+8x-4x2-2x2f''x=-2x2+4x-4x2-2x2=-2x2-2x+2x2-2x2

Vi setter telleren lik 0.

x2-2x+2=0x=2±4-82=2±-42

Telleren har ingen nullpunkter. Vi setter inn en tilfeldig verdi av x i telleren.

-202-2·0+2=-4<0

Det betyr at telleren alltid er negativ.

Nevneren x2-2x2 er alltid positiv på grunn av begrensningene i definisjonsmengden til f. Det betyr at den dobbeltderiverte alltid er negativ.

Grafen har derfor ikke noe vendepunkt, og den vender alltid den hule sida ned.

d) Lag en skisse av grafen på papir.

Løsning

Nå kjenner vi noe til grafens forløp, og vi kan lage en omtrentlig skisse av grafen uten hjelpemidler. (Grafen i figuren er laget i GeoGebra.)

e) Løs oppgavene a), b) og c) med CAS.

Løsning

I linje 2 og 3 finner vi nullpunktet til funksjonen. I linje 4 finner vi eventuelle stasjonære punkter, men svaret gir en x-verdi som er utenfor definisjonsområdet til f. Vi sjekker fortegnet til den deriverte i linje 5. Her er det bare løsningen  x>2  som gjelder for definisjonsområdet. I linje 6 finner vi eventuelle mulige vendepunkter, men svaret viser at det er ingen. I linje 7 sjekker vi fortegnet til den dobbeltderiverte. Vi får ingen løsning, og det betyr at grafen alltid vender den hule sida ned, som vi fant i oppgave c).