Analyse av polynomfunksjoner
Vi kan finne monotoniegenskapene til en funksjon bare ut ifra funksjonsuttrykket til funksjonen.
Fra sida "Monotoniegenskaper og fortegnslinja til den deriverte" har vi at vi kan finne monotoniegenskapene til funksjonen ved å se på fortegnet til den deriverte. Vi oppsummerer resultatet fra denne sida:
- Når grafen stiger, er den deriverte positiv og funksjonen vokser.
- Når grafen synker, er den deriverte negativ og funksjonen minker.
- Når grafen har topp- eller bunnpunkter, er den deriverte lik 0.
Det betyr at vi kan finne monotoniegenskapene til funksjonen – uten å tegne grafen – ved å derivere funksjonsuttrykket og tegne fortegnslinje for den deriverte. Vi bruker dette til å analysere polynomfunksjoner i eksemplene nedenfor.
Finn ved regning når grafen til funksjonen gitt ved stiger, og når den synker. Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen.
Løsning
Å finne ved regning kan bety både å regne for hånd og å bruke CAS. Vi viser begge deler. Først løser vi oppgaven for hånd.
Vi deriverer
Vi setter så
Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige
Vi kan da sette opp fortegnslinja til
Vi ser av fortegnslinja at
Grafen til
I dette eksempelet visste vi egentlig fra før at grafen har et toppunkt, siden det er grafen til en andregradsfunksjon med negativt tall foran andregradsleddet.
Vi sier også at funksjonen har maksimalverdi
Vi kan tegne grafen i GeoGebra, finne toppunktet med verktøyet "Ekstremalpunkt" og se at det vi får fram grafisk, stemmer med resultatene våre.
Løsning med CAS
Vi kan også bruke CAS til å drøfte monotoniegenskaper og finne topp- og bunnpunkter. Siden GeoGebra ikke kan tegne fortegnsskjema for oss, løser vi ulikheten
Funksjonen
Drøft monotoniegenskapene til
Løsning
Først løser vi oppgaven for hånd.
Vi deriverer
Vi setter så
Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige verdier i hvert av de aktuelle intervallene
Vi kan da sette opp fortegnslinja til
Vi ser av fortegnslinja at
- grafen stiger for
x ∈ ⟨ ← , - 1 ⟩ ∪ ⟨ 2 , → ⟩ - grafen synker for
x ∈ ⟨ - 1 , 2 ⟩
Grafen til
Toppunktet er
Bunnpunktet er
Vi sier også at funksjonen har maksimalverdi eller maksimum
Vi sier at funksjonen har minimalverdi eller minimum
Vi kan tegne grafen i GeoGebra, bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" og se at det vi får fram grafisk, stemmer med resultatene våre.
Løsning med CAS
Linje 3 i CAS-løsningen gir at grafen er stigende når
Nedenfor kan du se en gjennomgang av eksempel 2 i tillegg til et par andre eksempler.