Hopp til innhold
Fagartikkel

Krumningsforhold og vendepunkter. Dobbeltderiverttesten

Vi kan ha god nytte av den andrederiverte, eller den dobbeltderiverte, til en funksjon.

Funksjonen f er gitt ved

fx=13x3-12x2-2x+1

Denne funksjonen er også drøftet i eksempel 2 på sida Analyse av polynomfunksjoner.

Vi deriverer funksjonen to ganger. Da får vi den andrederiverte eller den dobbeltderiverte f''x. Legg merke til skrivemåten, nå med to apostrofer.

fx=13x3-12x2-2x+1f'x=x2-x-2f''x=2x-1

Vi tegner fortegnslinja til f''x og grafen til selve funksjonen i det samme koordinatsystemet.

Det viser seg at

  • en graf vender den hule sida si opp når  f''x>0. Den krummer oppover.
  • en graf vender den hule sida si ned når  f''x<0. Den krummer nedover.
  • en graf kan ha et vendepunkt når  f''x=0

At grafen vender den hule sida si opp, f''x>0, betyr at den deriverte vokser. Det vil si at selve funksjonen enten vokser mer og mer eller avtar mindre og mindre.

At grafen vender den hule sida si ned, f''x<0, betyr at den deriverte avtar. Det vil si at selve funksjonen avtar mer og mer eller vokser mindre og mindre.

Vendepunkt

Et punkt på grafen der grafen skifter mellom å vende den hule sida si ned og å vende den hule sida si opp, eller motsatt, kalles et vendepunkt. Vi kan også si at grafen endrer krumning.

Den deriverte (dersom den eksisterer!) har enten sin største verdi eller sin minste verdi i vendepunktet. Det vil si at funksjonen vokser raskest eller avtar raskest i vendepunktet.

Har vi alltid et vendepunkt dersom den dobbelderiverte er lik 0?

Svar

Nei, det har vi ikke.

Tegn grafen til  fx=x4  i GeoGebra. Du vil se at grafen "er blid" overalt.

Men hvis vi dobbeltderiverer, får vi

fx = x4f'x = 4x3f''x = 12x2

Det vil si at den dobbeltderiverte har et nullpunkt for   x=0  uten at funksjonen har et vendepunkt.

Det vi må se på her, er om den dobbelderiverte skifter fortegn i nullpunktet, siden et vendepunkt er definert som et punkt på grafen der grafen endrer krumning. 12x20  for alle  x, så derfor har vi ikke et vendepunkt i dette tilfellet.

Kan vi ha et vendepunkt uten at den dobbeltderiverte er lik 0?

Svar

Ja, det kan vi ha.

Tegn grafen til  gx=x35  i GeoGebra. Ser du at grafen har den hule sida opp for  x<0  og den hule sida ned for  x>0?

Hvis vi deriverer to ganger, vil vi se at hverken den deriverte eller den dobbeltderiverte er definert i punktet  x=0.

Men selve funksjonen er definert og har et vendepunkt for  x=0.

Vi husker at vi har et vendepunkt dersom funksjonen endrer krumning i dette punktet, altså dersom den dobbeltderiverte har ulikt fortegn på hver side av punktet. Det kan skje i et punkt der den dobbeltderiverte er null, eller i et punkt der den dobbeltderiverte ikke er definert, slik som i dette tilfellet.

Under har vi tegnet grafen til g(x) sammen med grafen til den dobbeltderiverte:

Definisjon av vendepunkt

Vi ønsker oss en formell definisjon på hva som er et vendepunkt. Vi har til nå vist at vi må ha et punkt på grafen der den dobbelderiverte skifter fortegn. Legg merke til at det ikke er et krav at den deriverte eller den dobbelderiverte må eksistere i dette punktet, men det er et krav at selve funksjonen må være definert her. I tillegg til dette er det et krav om at funksjonen må være kontinuerlig i dette punktet. Noen matematikere krever i tillegg at det skal være mulig å tegne en tangent i et punkt for at det skal kunne defineres som et vendepunkt, men vi velger her definisjonen som kun krever kontinuitet.

Da kan vi få følgende definisjon:

Et punkt a,fa på grafen til en funksjon fx er et vendepunkt dersom fx er kontinuerlig for  x=a  og f''(x) har motsatt fortegn for  x<a og x>a  i et område rundt a.

Vendetangent

I oppgaver blir vi ofte bedt om å finne likningen for en vendetangent. En vendetangent er tangenten til funksjonen i et vendepunkt.

Eksempel

Vi vil finne likningen for vendetangenten til funksjonen f gitt ved

fx=13x3-12x2-2x+1

Dette er samme funksjonen som vi brukte i eksempelet øverst på sida. Vi deriverer først funksjonen to ganger.

fx = 13x3-12x2-2x+1f'x=x2-x-2f''x=2x-1

Vi setter så den dobbeltderiverte lik null.

f''x = 02x-1=0      x=12

Vi har også at  f''0=-1  og  f''1=2·1-1=1. Det viser at vi har et vendepunkt for  x=12.

f12=13123-12122-212+1=-112

Det betyr at koordinatene til vendepunktet er 12, -112.

Vi regner så ut stigningstallet til tangenten i vendepunktet:

f'12=122-12-2=-94

Nå vet vi at vendetangenten går gjennom punktet 12, -112 og har stigningstallet -94. Vi kan da bruke ettpunktsformelen og finne likningen for tangenten.

y-y1 = a(x-x1)y--112=-94x-12y+112=-94x+98y=-94x+98-112y=-94x+2524

Vi har til slutt tatt med en oversikt over fortegnslinja til selve funksjonsuttrykket sammen med fortegnslinjene til den første- og andrederiverte. Disse er tegnet inn i koordinatsystemet sammen med f(x).

På grunnlag av fortegnslinjene er det mulig å tegne en skisse av grafen. Motsatt kan vi ut fra grafen tegne de tre fortegnslinjene. Ved hjelp av grafen kan vi altså tolke grunnleggende egenskaper ved funksjonen.

Toppunkt eller bunnpunkt? Dobbeltderiverttesten

Vi har brukt fortegnslinje til den deriverte for å avgjøre om et ekstremalpunkt er et toppunkt eller et bunnpunkt.

Den dobbeltderiverte gir oss en ny metode for å avgjøre dette.

Funksjonen f(x) er definert i CAS-vinduet.

Siden f'-1=0og f''-1 er negativ, har grafen hul side ned og et toppunkt for x=-1.

Siden f'2=0 og f''(2) er positiv, har grafen hul side opp og et bunnpunkt for x=2.

Grafen har toppunkt -1, 136.

Grafen har bunnpunkt 2, -73.