Hopp til innhold
Fagartikkel

Analyse av eksponentialfunksjoner

Du kan selv undersøke hvordan grafen til en eksponentialfunksjon endrer seg i takt med endringer i vekstfaktoren.

Du har lært fra 1T at en funksjon f på formen  fx=k·ax kalles en eksponentialfunksjon. Tallet a kalles vekstfaktoren.

Eksponentialfunksjoner er bare definert for positive verdier av a, og vi forutsetter at også k er positiv.

Utforsking

Før du leser videre, kan du selv ved hjelp av den deriverte og den dobbeltderiverte av eksponentialfunksjonen se om du kan finne ut noe om monotoniegenskaper, nullpunkter, vendepunkter, krumningsforhold og andre ting som gjelder for eksponentialfunksjoner.

Eksponentialfunksjonen

fx=k·ax f'x=k·ax·lna f''x=k·ax·lna2

Siden ax alltid er positiv, og vi har forutsatt at k er positiv, viser den deriverte at

  • hvis lna er positiv, er f strengt voksende, det vil si at den vokser i hele sitt definisjonsområde
  • hvis lna er negativ, er f strengt avtagende, det vil si at den avtar i hele sitt definisjonsområde
  • hvis lna er null, er  f(x)=k


Siden  lna<0  når  a<1,  lna=0  når  a=1, og  lna>0  når  a>1, betyr dette at

  • f er strengt voksende når  a>1
  • f er strengt avtagende når  a<1
  • f(x)=k  når  a=1

Det betyr videre at

  • eksponentialfunksjonen ikke har nullpunkter
  • eksponentialfunksjonen ikke har topp- eller bunnpunkter

Den dobbeltderiverte er positiv for alle  a1. Det betyr at

  • eksponentialfunksjonen vender den hule sida opp når a1
  • eksponentialfunksjonen ikke har vendepunkter når a1

Når  a=1, er  f(x)=k, og grafen er ei rett linje parallell med x-aksen.

Vi kan også merke oss at  f(0)=k·a0=k, som betyr at eksponentialfunksjonen alltid skjærer y-aksen i punktet 0, k.

Prøv selv!

Du kan sjekke ut konklusjonene i GeoGebra ved å lage glidere for a og k og skrive inn funksjonsuttrykket  f(x)=k·ax. Nedenfor har vi laget ferdig et slikt geogebraark der du kan dra i gliderne for k og a.