Hopp til innhold
Oppgave

Monotoniegenskaper og fortegnslinja til den deriverte

I disse oppgavene skal du analysere funksjoner uten at du kjenner funksjonsuttrykket. Du får kun oppgitt en graf eller et fortegnsskjema.

3.1.1

a) Figuren nedenfor viser grafen til en ukjent funksjon f. Finn monotoniegenskapene til funksjonen og bestem eventuelle topp- og bunnpunkter.

Løsning

Grafen ser ut som en parabel med toppunkt i 2, 1. Det betyr at f(x) vokser når  x<2  og synker når  x>2.

b) Tegn fortegnslinjene for f og f'.

Løsning

I tillegg til toppunktet 2, 1 kan vi lese fra grafen at funksjonen har nullpunktene  x=1  og  x=3. Funksjonen er derfor større enn null når  1<x<3. Ellers er den mindre enn null utenom nullpunktene.

Ut ifra det vi fant i oppgave a), er den deriverte positiv når  x<2, null når  x=2  og negativ når  x>2.

Fortegnslinjene for f og f' blir derfor som nedenfor.

3.1.2

a) Figuren nedenfor viser grafen til en ukjent funksjon f. Finn monotoniegenskapene til funksjonen og bestem eventuelle topp- og bunnpunkter.


Løsning

Grafen ser ut som en parabel med bunnpunkt i -0.5, -2.25. Det betyr at f(x) synker når  x<-0,5  og stiger når  x>-0,5.

b) Tegn fortegnslinjene for f og f'.

Løsning

I tillegg til bunnpunktet -0.5, -2.25 kan vi lese fra grafen at funksjonen har nullpunktene  x=-2  og  x=1. Funksjonen er derfor mindre enn null når  -2<x<1. Ellers er den større enn null utenom nullpunktene.

Ut ifra det vi fant i oppgave a), er den deriverte negativ når  x<-0,5, null når  x=-0,5  og positiv når  x>-0,5.

Fortegnslinjene for f og f' blir derfor som nedenfor.

3.1.3

a) Figuren nedenfor viser grafen til en ukjent funksjon f. Finn monotoniegenskapene til funksjonen og bestem eventuelle topp- og bunnpunkter.

Løsning

Grafen ser ut som en parabel med bunnpunkt i 0.5, 0.75. Det betyr at f(x) synker når  x<0,5  og stiger når  x>0,5.

b) Tegn fortegnslinjene for f og f'.

Løsning

Grafen ligger over x-aksen hele tida. Funksjonen er derfor alltid større enn null.

Ut ifra det vi fant i oppgave a), er den deriverte negativ når  x<0,5, null når  x=0,5  og positiv når  x>0,5.

Fortegnslinjene for f og f' blir derfor som nedenfor.

3.1.4

a) Figuren nedenfor viser grafen til en ukjent funksjon f. Finn monotoniegenskapene til funksjonen og bestem eventuelle topp- og bunnpunkter.

Løsning

Grafen har et lokalt maksimalpunkt for  x=-0,2  og et lokalt minimalpunkt for  x=3,5. Vi har derfor et toppunkt i -0.2,f-0.2 og et bunnpunkt i 3.5,f3.5. Det betyr også at f(x) vokser når  x<-0,2  og når  x>3,5  og synker når  -0,2<x<3,5.

b) Tegn fortegnslinjene for f og f'.

Løsning

I tillegg til det lokale maksimalpunktet  x=-0,2  og det lokale minimalpunktet  x=3,5  kan vi lese fra grafen at funksjonen har nullpunktet  x=-2,1. Funksjonen er derfor mindre enn null når  x<-2,1. Ellers er den større enn null utenom nullpunktet.

Ut ifra det vi fant i oppgave a), er den deriverte positiv når  x<-0,2  og når  x>3,5, null når  x=-0,2  og når  x=3,5  og negativ når  -0,2<x<3,5.

Fortegnslinjene for f og f' blir derfor som nedenfor.

3.1.5

Lag en skisse på papiret av hvordan grafen til en funksjon f kan se ut når fortegnslinjene til f og til f' er som i fortegnsskjemaet nedenfor.

Løsning

Funksjonen har nullpunktene  x=0  og  x=4. Av fortegnslinja til den deriverte får vi at funksjonen har et toppunkt når  x=2. Det betyr at f(x) vokser når  x<2  og synker når  x>2. Grafen til funksjonen kan se ut som på figuren nedenfor. Vi kan ikke finne ut hva y-koordinaten til toppunktet er. Derfor er det ikke noe poeng i å ha skala på y-aksen.

3.1.6

Lag en skisse på papiret av hvordan grafen til en funksjon f kan se ut når fortegnslinjene til f og til f' er som i fortegnsskjemaet nedenfor.

Løsning

Funksjonen har nullpunktene  x=-4  og  x=1. Av fortegnslinja til den deriverte får vi at funksjonen har et bunnpunkt når  x=-1,5. Det betyr at f(x) kan ha form som en parabel og kan se ut som på figuren nedenfor. Vi kan ikke finne ut hva y-koordinaten til bunnpunktet er. Derfor er det ikke noe poeng i å ha skala på y-aksen.

3.1.7

Lag en skisse på papiret av hvordan grafen til en funksjon f kan se ut når fortegnslinjene til f og til f' er som i fortegnsskjemaet nedenfor.

Løsning

Funksjonen har nullpunktene  x=-2,  x=-1  og  x=3. Av fortegnslinja til den deriverte får vi at funksjonen har et bunnpunkt når  x=-1,5  og et topppunkt når  x=1,5. Det betyr at f(x) synker når  x<-1,5  og når  x>1,5 og vokser når  -1,5<x<1,5. Grafen til funksjonen kan derfor se ut omtrent som på bildet nedenfor.

3.1.8

a) Hvorfor får du problemer med å tegne en skisse av grafen til en funksjon som har disse fortegnslinjene for f og f'?

Løsning

Ifølge fortegnslinja til f skal funksjonen være større enn null, krysse x-aksen for  x=-4  og være mindre enn null et stykke. Det må bety at grafen synker i et intervall rundt  x=-4. Men ifølge fortegnslinja til f' skal funksjonen være stigende i dette område siden fortegnslinja er heltrukken akkurat her. Det må derfor være en feil i dette fortegnsskjemaet.

b) Hvordan kan du endre på fortegnslinja til f' slik at det blir mulig å lage en skisse av grafen?

Løsning

Hvis vi lar fortegnslinja til f' være stiplet når  x<-1,5  og heltrukken når  x>-1,5, blir det samsvar med fortegnslinja til f.