Hopp til innhold
Fagartikkel

Analyse av funksjoner – begreper

Hva er forskjellen på et toppunkt og et absolutt maksimum? Hvilke begreper er viktige når vi skal analysere funksjoner?

Drøfting eller analyse av en funksjon betyr å finne ut mest mulig om funksjonen. Vi bruker vanligvis den deriverte og den dobbeltderiverte funksjonen i denne analysen.

Eksempel på funksjon

Nedenfor er grafen til funksjon f gitt ved

fx=3x4-16x3+18x2  ,   Df=1, 4

tegnet. Figuren nedenfor oppsummerer de fleste begrepene i forbindelse med punkter på en graf det er aktuelt å finne når vi skal analysere en funksjon.

Koordinatsystem der grafen til f av x er lik 3 x i fjerde minus 16 x i tredje pluss 18 x i andre er tegnet for x-verdier mellom minus 1 og 4. På figuren er ulike begreper definert i forhold til akkurat denne funksjonen. Figuren blir nærmere forklart i den følgende teksten. Illustrasjon.
Definisjoner i forbindelse med funksjonsanalyse. Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Beskrivelse av figuren

Funksjonen har et absolutt maksimum i endepunktet -1,37. Merk at endepunkter ikke regnes som topp- eller bunnpunkter. Funksjonen har nullpunktene x=0, x=1,61 og x=3,72. Grafen til funksjonen har bunnpunkter i 0,0 og i 3,-27. I det første bunnpunktet har funksjonen et lokalt minimum eller en lokal minimalverdi. I det andre har funksjonen et lokalt minimum som samtidig er absolutt minimum. Grafen har et toppunkt i 1,5 der funksjonen har et lokalt maksimum. Funksjonen har sitt absolutte maksimum i endepunktet -1,37. Grafen til funksjonen har vendepunkter i 1.45,2.32 og i 2.22,-13.36.

De mest grunnleggende begrepene

De mest grunnleggende begrepene er

  • nullpunkt

  • toppunkt og bunnpunkt

  • ekstremalpunkt og ekstremalverdi

  • lokalt maksimum / lokal maksimalverdi og absolutt maksimum / absolutt maksimalverdi

  • lokalt minimum / lokal minimalverdi og absolutt minimum / absolutt minimalverdi

Prøv å gjøre øvelsen nedenfor uten å bruke figuren øverst eller beskrivelsen av den.

Løsning

Et nullpunkt er førstekoordinaten til et skjæringspunkt mellom grafen til en funksjon og førsteaksen. Et toppunkt er et punkt som har den høyeste andrekoordinaten i et intervall omkring seg. Andrekoordinaten er enten en lokal eller absolutt maksimalverdi eller et lokalt eller absolutt maksimum. Tilsvarende kalles andrekoordinaten til et bunnpunkt en lokal eller absolutt minimalverdi eller et lokalt eller globalt minimum.

Topp- og bunnpunkter har fellesbetegnelsen ekstremalpunkter.

Maksimal- og minimalverdier har fellesbetegnelsen ekstremalverdier.

Et absolutt maksimum er den største verdien en funksjon kan ha i sitt definisjonsområde. Tilsvarende gjelder for et absolutt minimum.

Spørsmål til refleksjon

Hvorfor blir ikke et endepunkt regnet som et topp- eller bunnpunkt?

Forklaring

Et topp- eller bunnpunkt må ha et åpent intervall rundt seg der funksjonen er definert. Det er ikke oppfylt for et endepunkt. Se også figuren øverst på siden.

Kan et absolutt minimum samtidig være et lokalt minimum? Forklar.

Svar

Et absolutt minimum kan samtidig være et lokalt minimum hvis funksjonen er definert på begge sider av minimumet. Punktet kan da ikke være et endepunkt.

Flere begreper

Nedenfor finner du flere begreper som er omtalt på andre sider i emnet Funksjonsanalyse.

  • Terrassepunkt

  • Stasjonært punkt

  • Vendepunkt

  • Hul side opp og hul side ned

I tillegg bruker vi begrepet kritisk punkt. Et kritisk punkt er et punkt der enten den deriverte funksjonen er null eller ikke eksisterer.

Nedenfor kan du øve på å bruke disse begrepene.

Løsning

Et stasjonært punkt på en graf karakteriseres ved at den deriverte er null i punktet. Hvis den deriverte skifter fortegn der, er det stasjonære punktet et topp- eller bunnpunkt. Hvis den deriverte ikke skifter fortegn der, er det stasjonære punktet et terrassepunkt. Et kritisk punkt er et punkt der den deriverte enten er null eller ikke eksisterer. En graf vender sin hule side opp når den dobbeltderiverte/andrederiverte er større enn 0, og sin hule side ned når den dobbeltderiverte/andrederiverte er mindre enn 0. Et punkt på grafen hvor grafen skifter mellom å vende sin hule side ned og å vende sin hule side opp, eller motsatt, kalles et vendepunkt. Tangenten til grafen i et slikt punkt kalles en vendetangent.

Du får øvd mer på disse begrepene i oppgavene.