Arealet mellom grafer
3.1.60
I hver deloppgave er grafene til to funksjoner tegnet. Grafene avgrenser et område som er skravert.
Beregn arealet av området som grafene på hvert bilde avgrenser, uten å bruke digitale hjelpemidler.
a)
Løsning
Skjæringspunktene mellom grafene er
Arealet av det markerte området er
b)
Løsning
Skjæringspunktene mellom grafene er
Arealet av det markerte området er
c)
Løsning
Skjæringspunktene mellom grafene er
Arealet av det markerte området er
3.1.61
I denne oppgaven skal du undersøke om det har noen betydning for arealberegning av områder som ligger mellom to grafer, om området er over
Utgangspunktet i denne oppgaven er funksjonene
a) Tegn grafene til
Løsning
Grafene tegnet i GeoGebra:
Ut fra skjæringspunktene mellom grafene ser vi at området mellom grafene strekker seg fra
b) Hvordan kan vi endre funksjonsuttrykkene til
Løsning
Når vi endrer konstantleddet i en polynomfunksjon, vil grafen forflyttes vertikalt uten å endre form. Hvis vi øker verdien av konstantleddet, vil grafen flyttes opp. Hvis vi minker verdien av konstantleddet, vil grafen flyttes ned.
Et eksempel på dette er vist i det interaktive GeoGebra-arket nedenfor, der du kan endre konstantleddet,
Files
c) Gjør endringer i funksjonsuttrykkene som er beskrevet i b), slik at området som avgrenses av grafene til
Løsning
Begge funksjonene må ha samme endring i konstantleddet for at ikke området skal endre størrelse. I dette tilfellet har begge funksjonene i utgangspunktet et konstantledd som er lik
Grafen til
Området har den samme formen, og arealberegningen gir det samme resultatet etter at hele området er flyttet under
d) Gjør nye endringer i funksjonsuttrykkene slik at området som avgrenses av grafene til
Løsning
Begge funksjonene må fortsatt ha det samme konstantleddet. For at området skal være både over og under
Området har den samme formen, og arealberegningen gir det samme resultatet også når området er delvis over og delvis under
e) Gjør beregningene en gang til i CAS, men ved å endre rekkefølgen på funksjonene i integralet. Hva finner du?
Løsning
Vi får de samme tallverdiene som ved de første beregningene, men denne gangen med negativt fortegn, siden vi angir den nederste funksjonen først. Med andre ord er absoluttverdien av integralet den samme, og det er alltid absoluttverdien av integralet som gir arealet.
Eksempel på ny beregning av oppgave d):
3.1.62
I oppgavene nedenfor er det i hver oppgave gitt to funksjoner,
a)
Løsning
Vi definerer funksjonene i GeoGebra. For å markere det aktuelle området skriver vi IntegralMellom(f,g,-2,1)
i algebrafeltet. Vi beregner eksakt verdi for skjæringspunktene og arealet av området i CAS.
Arealet av området mellom grafene er
b)
Løsning
Vi definerer funksjonene i GeoGebra. Vi finner ut at området mellom grafene strekker seg over hele definisjonsområdet, og at grafen til
Arealet av det markerte området er
c)
Løsning
Vi definerer funksjonene i GeoGebra og får et visuelt bilde av grafene og området de avgrenser. Grafene veksler på å være øverst og derfor avgrenser to områder.
Vi beregner skjæringspunktene ved å løse likning i CAS, og deretter beregnes det eksakte arealet i CAS.
Arealet av det markerte området er 4.
Alternativ løsning:
Arealet beregnes ved bruk av absoluttverditegn, slik at vi ikke trenger å ta hensyn til hvilken graf som er øverst:
3.1.63
I denne oppgaven skal du arbeide uten digitale hjelpemidler. I hver av oppgavene skal du som tidligere beregne areal som er avgrenset av grafer, men det er også lagt til flere betingelser.
a) Gitt funksjonene
Tips
Den nedre grensa er
Løsning
Vi finner først
Vi beregner arealet ved å beregne det bestemte integralet fra
Arealet av det markerte området er
b) Et område avgrenset av grafene til funksjonene
Tips
Det markerte området kan deles inn i tre delområder.
Løsning
Vi finner først skjæringspunktene mellom grafene.
Vi beregner så arealene av de tre områdene hver for seg:
Areal av markert område:
Alternativ løsning:
Figuren over viser at siden vi beregner arealet av et område som strekker seg over en periode, kunne vi også ha beregnet arealet slik:
c) Området som er markert på figuren nedenfor, avgrenses av grafene til tre funksjoner:
Beregn den eksakte verdien av arealet av dette området.
Tips
Beregn arealet som avgrenses av
Løsning
Vi finner de eksakte
Figuren over viser at skjæringspunktene som avgrenser det aktuelle området mellom
Vi finner så de eksakte
Beregningene viser at
Figuren viser at de skjæringspunktene som avgrenser det aktuelle området mellom
Vi beregner arealet av området avgrenset av
Arealet av det markerte området er
3.1.64
I denne oppgaven skal du beregne arealet av området som avgrenses av grafene til funksjonene som er oppgitt. Gjør beregningene uten digitale hjelpemidler, og kontroller deretter resultatet ved å gjøre tilsvarende beregninger i CAS.
a)
Løsning
Vi finner skjæringspunktene mellom grafene til
Det er tre skjæringspunkter mellom grafene, noe som betyr at det er to områder som avgrenses av
Det bestemte integralet må derfor regnes i to deler og absoluttverdiene summeres for å få samlet areal.
Samlet areal:
Tilsvarende beregning i CAS:
b)
Løsning
Vi finner først skjæringspunktene mellom grafene til
Det er tre skjæringspunkter mellom grafene, noe som betyr at det også her er to områder som avgrenses av
Samlet areal:
Tilsvarende beregning i CAS: