Task

Definisjon av bestemt integral som grenseverdi

Her kan du arbeide med oppgaver i GeoGebra og programmering knyttet til bestemte integraler.

3.1.1

Vi har funksjonen $f$ gitt ved

$f (x) = x^{2}$

a) Et område er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = 1$ og $x = 6$ . Beregn en tilnærmet verdi for arealet, $A$ , av dette området, ved å dele området i 5 like brede rektangler som vist på figuren nedenfor. Løs oppgaven uten å bruke digitale hjelpemidler.

Grafen fra oppgaven tegnet i GeoGebra. Det er markert fem stående rektangler i området x er lik 1 til x er lik 6. Skjermutklipp. — Image: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

Løsning

$\begin{array}{rcl} A_{5} & = & f (1) \cdot 1 + f (2) \cdot 1 + f (3) \cdot 1 + f (4) \cdot 1 + f (5) \cdot 1 \\ = & 1 + 4 + 9 + 16 + 25 \\ = & 55 \end{array}$

Tilnærmet areal under kurven fra $x = 1$ til $x = 6$ er 55.

b) Lag et GeoGebra-ark der du bruker SumUnder(Funksjon,Start,Slutt,Antall rektangler) for å gjøre den samme beregningen som i oppgave a).

Løsning

For å få frem GeoGebra-arket som er vist i oppgave a), definerer vi funksjonen og bruker SumUnder i algebrafeltet, som vist nedenfor. Arealet vil da angis i algebrafeltet.

Definisjon av funksjon i algebrafeltet i GeoGebra. På den øverste linja står det f av x er lik x i andre. På den nederste linja står det a er lik SumUnder parentes f komma 1 komma 6 komma 5 parentes slutt. Resultatet er 55. Skjermutklipp. — Image: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

c) Beregn et tilnærmet areal for samme område ved å dele området i 5 like brede trapeser som vist på figuren nedenfor. Løs også denne oppgaven uten å bruke digitale hjelpemidler, og sammenlign med resultatet i a). Kommenter.

Grafen til f i et koordinatsystem. Fem trapeser er tegnet fra x er lik 1 til x er lik 6, alle med bredde lik 1. Skjermutklipp. — Image: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

Løsning

$\begin{array}{ccl} A_{6} & = & \frac{1 + 4}{2} \cdot 1 + \frac{4 + 9}{2} \cdot 1 + \frac{9 + 16}{2} \cdot 1 + \frac{16 + 25}{2} \cdot 1 + \frac{25 + 36}{2} \cdot 1 \\ = & 2, 5 + 6, 5 + 12, 5 + 20, 5 + 30, 5 \\ = & 72, 5 \end{array}$

Kommentar: Vi ser at vi får et vesentlig større areal enn det vi fikk ved rektangelmetoden. Årsaken er at vi for dette området i større grad fyller ut området under grafen ved trapesmetoden. Dette kan vi tydelig se av figurene. 72,5 vil derfor være nærmere det eksakte arealet, men mest sannsynlig litt for stort, for vi kan se at trapesene er litt over grafen. Dette skyldes at grafen i dette området krummer oppover.

d) Lag et GeoGebra-ark der du bruker TrapesSum(Funksjon,Start,Slutt,Antall trapes) for å gjøre den samme beregningen som i oppgave c).

Løsning

For å få frem GeoGebra-arket som er vist i oppgave c), definerer vi funksjonen og bruker Trapessum i algebrafeltet, som vist nedenfor. Arealet vil da angis i algebrafeltet.

Utklipp fra algebrafeltet i GeoGebra. På den øverste linja står det f av x er lik x i andre. På den nederste linja står det b er lik TrapesSum parentes f komma 1 komma 6 komma 5 parentes slutt. Resultatet er 72,5. Skjermutklipp. — Image: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

3.1.2

I teoriartikkelen så vi på funksjonen $f$ gitt ved

$f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - x + 4$

a) I det interaktive GeoGebra-arket nedenfor kan du endre antallet rektangler ved å dra i glideren, og du kan se hva som da skjer med arealet. Test ut dette, og sammenlikn arealet av rektanglene med det faktiske arealet under grafen.

Files

Areal under en graf med rektangelsum(GGB)

b) Lag en algoritme for et program som bruker rektangelmetoden til å beregne en tilnærmet verdi for arealet under kurven til $f (x)$ .

Forslag til algoritme

Funksjonen $f (x)$ angis fra start i programmet.

Totalt areal må settes lik null fra start.

Programmet skal gi deg mulighet til å angi grenseverdiene $x_{1}$ og $x_{2}$ og antall rektangler som området skal deles inn i.

Startverdi for $x$ settes lik nedre grense for $x$ .

Bredden av hvert rektangel, $∆ x$ , beregnes ved å ta den totale bredden på området og dividere på antall rektangler.

Programmet skal beregne en tilnærmet verdi for arealet under kurven. Dette gjøres ved hjelp av ei løkke, der arealet til hvert rektangel beregnes, og dette legges til for hver runde i løkka i en totalsum.

Arealet til hvert rektangel beregnes ved å multiplisere høyden med bredden, det vil si $f (x_{n}) \cdot ∆ x_{n}$ .

For hver gang et areal er beregnet, øker $x$ -verdien med $∆ x$ , som er bredden av hvert rektangel.

Løkka gjentas så lenge $x$ -verdien er mindre eller lik $x_{2}$ .

Til slutt skal det totale arealet skrives ut.

c) Lag programmet.

Forslag til program

Program som beregner areal under kurve

1# Definerer funksjonen f
2def f(x):
3    return 1/4*x**2-x+4
4# Setter startverdier for arealet
5areal=0
6
7# Informasjon gis, og inndata registreres.
8print("Dette programmet finner en tilnærmet verdi for")
9print("arealet under kurven fra en x-verdi til en annen.")
10x1 = float(input("Skriv inn nedre grense:"))
11x2 = float(input("Skriv inn øvre grense:"))
12antallRektangler = float(input("Skriv inn antall rektangler:"))
13deltax = (x2-x1)/antallRektangler
14
15# Startverdi for x settes lik nedre grense for x.
16xVerdi=x1
17
18# Løkke som beregner areal av hvert rektangel og summerer etter hvert
19while xVerdi<x2:
20    rektangelAreal=f(xVerdi)*deltax
21    areal=areal+f(xVerdi)*deltax
22    # Beregner neste x-verdi
23    xVerdi=xVerdi+deltax
24    
25    #Vi legger til 0.00000000001 for å unngå binær/desimal-feil, se kommentar.
26    xVerdi=xVerdi+0.00000000001
27
28print(f"Arealet av rektanglene er {areal:.2f}.")

Kommentar til programmet

Når vi bruker et flyttall (et tall med desimaler, float) i Python, vil det kunne dukke opp et problem hvis vi bruker dette flyttallet i sammenligning med andre tall. Våre tall er som regel desimaltall (titallsystemet), mens datamaskinen angir alle tall som binære tall (totallsystemet). Det viser seg at det kan være vanskelig å representere et desimaltall binært, så i mange tilfeller fører dette til små avrundingsfeil. Hvis vi oppdager slike avrundingsfeil, kan vi kompensere ved å legge til et lite desimaltall, som her, hvor vi legger til 0,00000000001.

d) Sammenlign resultatene programmet gir, for ulike verdier med resultatene GeoGebra-arket gir for tilsvarende verdier.

3.1.3

Riemannsummer kan beregnes på ulike måter, for vi kan velge hvor vi måler høyden i rektanglene. I oppgave 3.1.2 brukte vi høyden for den laveste $x$ -verdien (venstre endepunktsum), men det er også mulig å bruke høyden for den største av de to $x$ -verdiene (høyre endepunktsum) eller midtpunktet mellom de to $x$ -verdiene (midtpunktsum).

I figuren nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen $f$ gitt ved

$f (x) = x^{3} - 2 x + 2$

Vi har vist at tilnærming av areal under grafen for et område er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = - 1$ og $x = 2$ . Dette har vi gjort ved å tegne tre rektangler. I grafen til venstre har vi tatt utgangspunkt i laveste $x$ -verdi. I grafen i midten har vi brukt midtpunktet mellom $x$ -verdiene, og i grafen til høyre har vi brukt den største av de to $x$ -verdiene.

Tre koordinatsystemer der den samme grafen er gjengitt. Arealet under grafen er tilnærmet med rektangelmetoden i hvert koordinatsystem. I koordinatsystemet til venstre er laveste x-verdi brukt, i koordinatsystemet i midten er midtpunktet mellom x-verdiene brukt, og i koordinatsystemet til høyre er høyeste x-verdi brukt. Det er tydelig at arealene blir forskjellige. Skjermutklipp. — Image: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

Files

Tre metoder rektangel(GGB)

a) Sett opp uttrykk som viser hvordan du vil beregne arealet av rektangelet som er merket $A$ i hver av figurene.

Løsning

Figur til venstre: $A = f (- 1) \cdot 1$

Figur i midten: $A = f (- 0, 5) \cdot 1$

Figur til høyre: $A = f (0) \cdot 1$

b) Lag et program der du utforsker noe av dette for funksjonen som er gitt i oppgave a). Programmet skal beregne arealet under kurven ved bruk av de tre variantene av høyder av rektangler (som nevnt over) i beregning av riemannsummen.

Når du har fått programmet til å virke for den angitte funksjonen, kan du prøve det ut også for andre funksjoner.

Forslag til program

Program som beregner riemannsum på ulike måter

1def f(x):
2    return x**3-2*x+2
3# Setter startverdier for arealene
4arealV=0
5arealM=0
6arealH=0
7
8# Informasjon gis, og inndata registreres.
9print("Dette programmet finner en tilnærmet verdi for")
10print("arealet under kurven fra en x-verdi til en annen.")
11x1 = float(input("Skriv inn nedre grense:"))
12x2 = float(input("Skriv inn øvre grense:"))
13antallRektangler = float(input("Skriv inn antall rektangler:"))
14deltax=(x2-x1)/antallRektangler
15
16# Startverdi for x settes lik nedre grense for x.
17xVerdi=x1
18
19# Løkke som beregner areal av hvert rektangel og summerer etter hvert
20while xVerdi<x2:
21    arealV=arealV+f(xVerdi)*deltax
22    
23    midtpkt=(xVerdi+xVerdi+deltax)/2
24    arealM=arealM+f(midtpkt)*deltax
25    
26    arealH=arealH+f(xVerdi+deltax)*deltax
27    # Beregner neste x-verdi
28    xVerdi=xVerdi+deltax
29
30print(f"Arealet av rektanglene ved bruk av laveste x-verdi er {arealV:.2f}.")
31print(f"Arealet av rektanglene ved bruk av midtpunkt er {arealM:.2f}.")
32print(f"Arealet av rektanglene ved bruk av høyeste x-verdi er {arealH:.2f}.")
33

3.1.1

3.1.2

Files

3.1.3

Files

Rules for use of text "Definisjon av bestemt integral som grenseverdi"