Definisjon av bestemt integral som grenseverdi
3.1.1
Vi har funksjonen gitt ved
a) Et område er avgrenset av grafen til
Løsning
Tilnærmet areal under kurven fra
b) Lag et GeoGebra-ark der du bruker SumUnder(Funksjon,Start,Slutt,Antall rektangler)
for å gjøre den samme beregningen som i oppgave a).
Løsning
For å få frem GeoGebra-arket som er vist i oppgave a), definerer vi funksjonen og bruker SumUnder i algebrafeltet, som vist nedenfor. Arealet vil da angis i algebrafeltet.
c) Beregn et tilnærmet areal for samme område ved å dele området i 5 like brede trapeser som vist på figuren nedenfor. Løs også denne oppgaven uten å bruke digitale hjelpemidler, og sammenlign med resultatet i a). Kommenter.
Løsning
Kommentar: Vi ser at vi får et vesentlig større areal enn det vi fikk ved rektangelmetoden. Årsaken er at vi for dette området i større grad fyller ut området under grafen ved trapesmetoden. Dette kan vi tydelig se av figurene. 72,5 vil derfor være nærmere det eksakte arealet, men mest sannsynlig litt for stort, for vi kan se at trapesene er litt over grafen. Dette skyldes at grafen i dette området krummer oppover.
d) Lag et GeoGebra-ark der du bruker TrapesSum(Funksjon,Start,Slutt,Antall trapes)
for å gjøre den samme beregningen som i oppgave c).
Løsning
For å få frem GeoGebra-arket som er vist i oppgave c), definerer vi funksjonen og bruker Trapessum i algebrafeltet, som vist nedenfor. Arealet vil da angis i algebrafeltet.
3.1.2
I teoriartikkelen så vi på funksjonen
a) I det interaktive GeoGebra-arket nedenfor kan du endre antallet rektangler ved å dra i glideren, og du kan se hva som da skjer med arealet. Test ut dette, og sammenlikn arealet av rektanglene med det faktiske arealet under grafen.
Files
b) Lag en algoritme for et program som bruker rektangelmetoden til å beregne en tilnærmet verdi for arealet under kurven til
Forslag til algoritme
Funksjonen
Totalt areal må settes lik null fra start.
Programmet skal gi deg mulighet til å angi grenseverdiene
Startverdi for
Bredden av hvert rektangel,
Programmet skal beregne en tilnærmet verdi for arealet under kurven. Dette gjøres ved hjelp av ei løkke, der arealet til hvert rektangel beregnes, og dette legges til for hver runde i løkka i en totalsum.
Arealet til hvert rektangel beregnes ved å multiplisere høyden med bredden, det vil si
For hver gang et areal er beregnet, øker
Løkka gjentas så lenge
Til slutt skal det totale arealet skrives ut.
c) Lag programmet.
Forslag til program
Kommentar til programmet
Når vi bruker et flyttall (et tall med desimaler, float) i Python, vil det kunne dukke opp et problem hvis vi bruker dette flyttallet i sammenligning med andre tall. Våre tall er som regel desimaltall (titallsystemet), mens datamaskinen angir alle tall som binære tall (totallsystemet). Det viser seg at det kan være vanskelig å representere et desimaltall binært, så i mange tilfeller fører dette til små avrundingsfeil. Hvis vi oppdager slike avrundingsfeil, kan vi kompensere ved å legge til et lite desimaltall, som her, hvor vi legger til 0,00000000001.
d) Sammenlign resultatene programmet gir, for ulike verdier med resultatene GeoGebra-arket gir for tilsvarende verdier.
3.1.3
Riemannsummer kan beregnes på ulike måter, for vi kan velge hvor vi måler høyden i rektanglene. I oppgave 3.1.2 brukte vi høyden for den laveste
I figuren nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen
Vi har vist at tilnærming av areal under grafen for et område er avgrenset av grafen til
Files
a) Sett opp uttrykk som viser hvordan du vil beregne arealet av rektangelet som er merket
Løsning
Figur til venstre:
Figur i midten:
Figur til høyre:
b) Lag et program der du utforsker noe av dette for funksjonen som er gitt i oppgave a). Programmet skal beregne arealet under kurven ved bruk av de tre variantene av høyder av rektangler (som nevnt over) i beregning av riemannsummen.
Når du har fått programmet til å virke for den angitte funksjonen, kan du prøve det ut også for andre funksjoner.