Beregne bestemte integraler og arealer ved regning
Vi har tidligere beregnet både bestemte og ubestemte integraler ved hjelp av CAS, men hvordan kan vi ut fra definisjonen beregne det bestemte integralet ved regning, uten digitale hjelpemidler?
Utledning av formel for bestemt integral
Vi starter med å repetere at vi angir det ubestemte integralet til funksjonen som
Vi har også sett at det bestemte integralet tilsvarer arealet mellom grafen og
Rektangelmetoden innebærer at hvis vi deler området under grafen i rektangler med lik bredde, finner vi et tilnærmet areal for området mellom
Er det en sammenheng mellom antiderivasjon og summen av arealene til rektanglene?
For å finne ut dette tar vi utgangspunkt i grafen til en vilkårlig funksjon
Hvis vi nå øker størrelsen på området i
Hvis vi nå lar
Ut fra dette kan vi sette opp følgende sammenheng når
Uttrykket kan videre omformes ved å dele på
Vi ser at venstre side minner om definisjonen av den deriverte, så når
Her kan vi integrere på hver side og får
Hvis vi bruker
Hvis vi skulle beregne arealet
Forklaring
Siden
Denne sammenhengen kalles, som nevnt i en tidligere artikkel, for analysens fundamentalteorem. Det bygger på at derivasjon og integrasjon er motsatte operasjoner.
Når vi beregner det bestemte integralet, er det vanlig å synliggjøre det ubestemte integralet i en mellomregning. Vi angir dette med firkantparenteser der grenseverdiene til det bestemte integralet angis ved endeparentesen:
Legg merke til at integrasjonskonstanten ikke har betydning i beregningen av det bestemte integralet.
Regneeksempel
Vi har funksjonen
Resultatet som vi får ved beregning av det bestemte integralet, har vi tidligere sett har sammenheng med arealet av området det bestemte integralet representerer. Men hvorfor er ikke det bestemte integralet alltid det samme som arealet av området som det bestemte integralet definerer?
Svar
Det bestemte integralet er positivt hvis det tilhørende området er over
Et areal av et område definert av et bestemt integral er derimot alltid positivt, uansett om det er over eller under
Figuren nedenfor viser grafen til
Hvordan beregner vi det bestemte integralet og arealet dersom grafen både er over og under
Svar
Definisjonen av det bestemte integralet som er gitt over, gjelder uansett om grafen er over eller under
For arealet blir det litt mer komplisert siden vi skal regne med absoluttverdier. Arealet må derfor beregnes i flere deler når området er både over og under
Beregne bestemt integral og areal
Vi har følgende funksjon:
Vi ønsker å beregne det bestemte integralet
Vi beregner først det bestemte integralet:
Siden det bestemte integralet blir 0, skjønner vi at grafen er både over og under
For å kunne beregne arealet riktig må vi undersøke om funksjonen har nullpunkt i det aktuelle intervallet.
Vi ser at funksjonen har tre nullpunkter, og alle nullpunktene er i det aktuelle intervallet. Vi beregner det bestemte integralet mellom to og to påfølgende nullpunkter:
Vi kan enten beregne arealet som summen av absoluttverdiene til hvert av de bestemte integralene, eller vi kan trekke fra den negative verdien. Vi velger å bruke metoden med å summere absoluttverdier:
Arealet
Vi ser at det bestemte integralet ble 0, mens arealet av det avgrensede området ble
Nedenfor har vi tegnet grafen til
Video om beregning av bestemte integraler