Beregne bestemte integraler og arealer ved regning

Vi har tidligere beregnet både bestemte og ubestemte integraler ved hjelp av CAS, men hvordan kan vi ut fra definisjonen beregne det bestemte integralet ved regning, uten digitale hjelpemidler?

Vi starter med å repetere at vi angir det ubestemte integralet til funksjonen $$ f\left(x\right)$$ som $$ \int f\left(x\right)dx$$ og det bestemte integralet for $$ f\left(x\right)$$ fra $$ x=a$$ til $$ x=b$$ som $$ {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$$.

Vi har også sett at det bestemte integralet tilsvarer arealet mellom grafen og $$ x$$-aksen, og at det defineres som

$$ {\int }_a^{b}f\left(x\right) dx=\underset{∆x\to 0}{\lim }\sum _a^{b}f\left(x\right)·∆x$$

Rektangelmetoden innebærer at hvis vi deler området under grafen i rektangler med lik bredde, finner vi et tilnærmet areal for området mellom $$ x$$-aksen og grafen ved å summere arealene av disse rektanglene. Når vi så lar bredden av rektanglene, $$ ∆x$$, gå mot 0, nærmer summen av rektanglene seg det eksakte arealet av området.

Er det en sammenheng mellom antiderivasjon og summen av arealene til rektanglene?

For å finne ut dette tar vi utgangspunkt i grafen til en vilkårlig funksjon $$ f$$ og markerer området mellom $$ x$$-aksen og grafen fra en gitt verdi $$ a$$ til en vilkårlig verdi $$ x$$. Arealet av det markerte området vil dermed være avhengig av $$ x$$, og det vil med andre ord være en funksjon av $$ x$$. Vi angir derfor arealet som $$ A\left(x\right)$$.

Hvis vi nå øker størrelsen på området i $$ x$$-retningen med $$ ∆x$$, vil vi få et totalt areal som går fra $$ a$$ til $$ \left(x+∆x\right)$$. Det totale arealet vil bli $$ A\left(x+∆x\right)$$, og arealet vi har lagt til ("tilleggsarealet"), vil kunne angis som $$ A\left(x+∆x\right)-A\left(x\right)$$.

Hvis vi nå lar $$ ∆x$$ bli mindre og mindre, vil tilleggsarealet nærme seg formen av et rektangel, og siden den laveste høyden av dette rektangelet er gitt ved $$ f\left(x\right)$$, vil størrelsen på dette tilleggsarealet nærme seg $$ f\left(x\right)·∆x$$.

Ut fra dette kan vi sette opp følgende sammenheng når $$ ∆x\to 0$$ :

$$ A\left(x+∆x\right)-A\left(x\right)\approx f\left(x\right)·∆x$$

Uttrykket kan videre omformes ved å dele på $$ ∆x$$ på begge sider:

$$ \frac{A\left(x+∆x\right)-A\left(x\right)}{∆x}\approx f\left(x\right)$$

Vi ser at venstre side minner om definisjonen av den deriverte, så når $$ ∆x$$ går mot 0, får vi at

$$ A^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right)$$

Her kan vi integrere på hver side og får

$$ \begin{array}{c}A\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx\end{array}$$

Hvis vi bruker $$ F\left(x\right)$$ som betegnelse for den antideriverte til $$ f\left(x\right)$$, får vi følgende sammenheng for arealet fra $$ x=a$$ til $$ x=b$$:

$$ A\left(x\right)=F\left(x\right)+C $$

Hvis vi skulle beregne arealet $$ A\left(a\right)$$, må det være lik 0. Hva er grunnen til det?

$$ \begin{array}{rcl}A\left(a\right) & =& 0\\ F\left(a\right)+C & =& 0\\ C & =& -F\left(a\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}A\left(b\right) & =& F\left(b\right)+C \\ & =& F\left(b\right)+\left(-F\left(a\right)\right)\\ & =& F\left(b\right)-F\left(a\right)\end{array}$$

Siden $$ A\left(b\right)={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$$, kan vi sette opp følgende sammenheng:

$$ {\int }_a^{b}f\left(x\right) dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$$

Denne sammenhengen kalles, som nevnt i en tidligere artikkel, for analysens fundamentalteorem. Det bygger på at derivasjon og integrasjon er motsatte operasjoner.

Når vi beregner det bestemte integralet, er det vanlig å synliggjøre det ubestemte integralet i en mellomregning. Vi angir dette med firkantparenteser der grenseverdiene til det bestemte integralet angis ved endeparentesen:

$$ {\int }_a^{b}f\left(x\right) dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$$

Legg merke til at integrasjonskonstanten ikke har betydning i beregningen av det bestemte integralet.

Vi har funksjonen $$ f\left(x\right)=x^3-3x^2+x$$, og vi ønsker å beregne det bestemte integralet fra $$ x=1$$ til $$ x=2$$.

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}{\int }_1^2\left(x^3-3x^2+x\right) dx\\ \begin{array}{c} \end{array}={\left[\frac{1}{4}{x}^4-3·\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2\right]}_1^2\\ \begin{array}{c} \end{array}=\frac{1}{4}·2^4-2^3+\frac{1}{2}·2-\left(\frac{1}{4}·1^4-\frac{1}{3}·1^3+\frac{1}{2}·1^2\right)\\ \begin{array}{c} \end{array}=-2-\left(-\frac{1}{4}\right)\\ \begin{array}{c} \end{array}=-2+\frac{1}{4}\\ \begin{array}{c} \end{array}=-\frac{7}{4}\end{array} \\ \end{gathered}$$

Resultatet som vi får ved beregning av det bestemte integralet, har vi tidligere sett har sammenheng med arealet av området det bestemte integralet representerer. Men hvorfor er ikke det bestemte integralet alltid det samme som arealet av området som det bestemte integralet definerer?

Figuren nedenfor viser grafen til $$ f$$ fra eksempelet over, og området som det bestemte integralet definerer, er markert. Vi ser at grafen er under $$ x$$-aksen i hele dette området, og det bestemte integralet er derfor negativt, $$ -1,75$$. Arealet av området vil være absoluttverdien av det bestemte integralet, det vil si $$ 1,75$$.

Hvordan beregner vi det bestemte integralet og arealet dersom grafen både er over og under $$ x$$-aksen i området som det bestemte integralet definerer?

Vi har følgende funksjon:

$$ f\left(x\right)=x^3-x$$

Vi ønsker å beregne det bestemte integralet $$ \begin{array}{c}{\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx\end{array}$$ og arealet av området som det bestemte integralet definerer.

Vi beregner først det bestemte integralet:

$$ \begin{array}{rcl}{\int }_{-1}^1(x^3-x)dx & =& {\left[\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2\right]}_{-1}^1\\ & =& \frac{1}{4}·1^4-\frac{1}{2}·1^2-\left(\frac{1}{4}·{\left(-1\right)}^4-\frac{1}{2}{\left(-1\right)}^2\right)\\ & =& -\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{4}\right)\\ & =& 0\end{array}$$

Siden det bestemte integralet blir 0, skjønner vi at grafen er både over og under $$ x$$-aksen i det angitte området.

For å kunne beregne arealet riktig må vi undersøke om funksjonen har nullpunkt i det aktuelle intervallet.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^3-x & =& 0\\ x\left(x^2-1\right) & =& 0\\ x\left(x-1\right)\left(x+1\right) & =& 0\end{array}$$

$$ x=-1 \vee x=0 \vee x=1$$

Vi ser at funksjonen har tre nullpunkter, og alle nullpunktene er i det aktuelle intervallet. Vi beregner det bestemte integralet mellom to og to påfølgende nullpunkter:

$$ \begin{array}{rcl}{\int }_{-1}^0\left(x^3-x\right)dx & =& {\left[\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2\right]}_{-1}^0\\ & =& \frac{1}{4}·0^4-\frac{1}{2}·0^2-\left(\frac{1}{4}·{\left(-1\right)}^4-\frac{1}{2}{\left(-1\right)}^2\right)\\ & =& \frac{1}{4}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{\int }_0^1\left(x^3-x\right)dx & =& {\left[\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^1\\ & =& \frac{1}{4}·1^4-\frac{1}{2}·1^2-\left(\frac{1}{4}·0^4-\frac{1}{2}{0}^2\right)\\ & =& -\frac{1}{4}\end{array}$$

Vi kan enten beregne arealet som summen av absoluttverdiene til hvert av de bestemte integralene, eller vi kan trekke fra den negative verdien. Vi velger å bruke metoden med å summere absoluttverdier:

Arealet $$ =\left|{\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)dx\right|+\left|{\int }_0^{1}f\left(x\right)dx\right|=\left|\frac{1}{4}\right|+\left|-\frac{1}{4}\right|=\frac{1}{2}$$

Vi ser at det bestemte integralet ble 0, mens arealet av det avgrensede området ble $$ \frac{1}{2}$$.

Nedenfor har vi tegnet grafen til $$ f$$ i GeoGebra og markert arealet. Integralet blir, som vi ser nedenfor, 0 hvis arealet over $$ x$$-aksen er like stort som arealet under $$ x$$-aksen.