Grunnleggende regneregler for integrasjon

Det finnes integrasjonsregler som tilsvarer derivasjonsreglene. Selv om integrasjon ofte blir utført med digitale verktøy, er det viktig å kunne integrasjonsreglene, både for ubestemte og bestemte integraler.

Husk at integrasjonsreglene for ubestemte integraler kan bevises ved å derivere høyre side.

$$ \int k dx=kx+C$$

Eksempler

$$ \begin{array}{c}\int 5 dx=5x+C\end{array}$$

$$ \begin{array}{c}\int \left(-\frac{2}{3}\right) dx=-\frac{2}{3}x+C\end{array}$$

Hvordan kan integrasjonsregelen for en konstant begrunnes i det vi har sett tidligere om at resultatet av integrasjon av et polynom er en grad høyere enn funksjonen vi tok utgangspunkt i?

Dersom uttrykket som skal integreres, består av flere funksjoner, enten i form av summer, differanser eller produkter, gjelder følgende:

$$ \begin{array}{c}\int \left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx\\ \\ \int \left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx\\ \\ \int k·f\left(x\right)dx=k·\int f\left(x\right)dx\end{array}$$

$$ \int x^{r}dx=\frac{1}{r+1}{x}^{r+1}+C , r\ne -1$$

Eksempler

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\int x^{2}dx=\frac{1}{2+1}{x}^{2+1}+C=\frac{1}{3}{x}^3+C\end{array} \\ \end{gathered}$$

$$ \begin{array}{c}\int x^{3}dx=\frac{1}{3+1}{x}^{3+1}+C=\frac{1}{4}{x}^4+C\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{1}{x^3}dx & =& \int x^{-3}dx \\ & =& \frac{1}{-3+1}{x}^{-3+1}+C\\ & =& \frac{1}{2}{x}^{-2}+C \\ & =& \frac{1}{x^2}+C\\ & & \end{array}$$

Legg merke til at denne regelen ikke gjelder for $$ r=-1$$. Vi skal straks komme tilbake til hvordan vi skal utføre integrasjonen i dette spesielle tilfellet, men hvorfor vil det være umulig å bruke denne regelen når $$ r=-1$$?

Regelen for integrasjon av potensfunksjoner kan brukes på potenser med brøkeksponenter. Dette gjør at vi også kan bruke samme integrasjonsregel for rotuttrykk. Hva er sammenhengen mellom et rotuttrykk og en potens med brøkeksponent?

Bruk reglene for integrasjon av potensfunksjoner til å bestemme $$ \begin{array}{c}\int \sqrt{x}dx\end{array}$$.

Vi får som forklart over en spesiell situasjon når $$ r=-1$$ i integralet $$ \begin{array}{c}\int x^{r}dx\end{array}$$, det vil si hvis vi skal utføre integrasjonen $$ \begin{array}{c}\int x^{-1}dx\end{array}$$. For å finne en antiderivert i dette tilfellet kan vi bruke potensreglene og skrive om integranden: $$ \begin{array}{c}\int x^{-1}dx=\int \frac{1}{x}dx\end{array}$$.

Tenk tilbake til det du lærte om derivasjon i R1. Hvilken funksjon gir $$ \frac{1}{x}$$ som resultat etter derivasjon?

Ut fra det vi har lært om derivasjon, kommer vi med følgende påstand: Når $r=-1$, gjelder

$$ \int \frac{1}{x}dx=\ln x+C , x>0$$

Hvorfor skriver vi at $$ x$$ må være større enn $$ 0$$ her?

Vi skal nå se at det også er mulig å utføre integrasjonen $$ \int \frac{1}{x}dx$$ når $$ x<0$$. Funksjonen $$ \frac{1}{x}$$ er ikke definert for $$ x=0$$, altså eksisterer ikke integralet i dette punktet.

Funksjonen $$ \ln \left|x\right|$$ er definert for alle verdier av $x$ forskjellig fra null siden absoluttverdien av et negativt tall er lik et positivt tall med den samme tallverdien.

Her ser du grafen til funksjonen $$ f\left(x\right)=\ln \left|x\right|$$.

Ut fra definisjonen av absoluttverdi har vi at $$ f\left(x\right)=f\left(-x\right)$$, og grafen vil derfor speiles om $$ y$$-aksen.

Vi har tegnet tangenter til grafen for $x=2$ og for $x=-2$.

Stigningstallet til tangenten i et punkt er lik den deriverte i punktet.

Stigningstallet til tangenten når $x=-2$, er lik $$ -\frac{1}{2}$$. Det betyr at $$ f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{1}{2}$$.

Stigningstallet til tangenten når $x=2$, er lik $0,5=\frac{1}{2}$. Det betyr at $$ f^{\text{'}}\left(2\right)=\frac{1}{2}$$.

Det kan vises at det alltid gjelder at $$ {\left(\ln \left|x\right|\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x}$$.

Definisjonen av et ubestemt integral gir ut fra dette følgende integrasjonsregel:

$$ \int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C , x\ne 0$$

Fra derivasjonsreglene husker vi at den deriverte av $$ e^x$$ er $$ e^x$$. Det betyr at det samme gjelder for den integrerte, men den integrerte får som polynomfunksjonene en konstant i tillegg.

$$\begin{gathered} \\ \int e^{x}dx=e^x+C \\ \end{gathered}$$

Hvordan deriverer vi en funksjon av type $$ f\left(x\right)=e^{kx}$$?

Dersom vi har en funksjon av type $$ f\left(x\right)=e^{kx}$$, får vi følgende integrasjonsregel:

$$ \int e^{kx}dx=\frac{1}{k}{e}^{kx}+C$$

En generell utgave av eksponentialfunksjonen er at grunntallet kan være et vilkårlig tall, det vil si noe annet enn $$ e$$. Da vil integrasjonen i tillegg gi en brøk med $$ \ln $$ i nevneren.

$$ \int a^{x}dx=\frac{1}{\ln a}{a}^x+C , a>0$$

Vis ved derivasjon at denne regelen stemmer.

Eksempler

$$ \begin{array}{c}\int e^{7x}dx=\frac{1}{7}{e}^{7x}+C\end{array}$$

$$ \begin{array}{c}\int 3^{x}dx=\frac{1}{\ln 3}·3^x+C\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\int \left(5x^2-3e^{4x}\right)dx & =& 5\int x^{2}dx-3\int e^{4x}dx\\ & =& \frac{5}{3}{x}^3-\frac{3}{4}{e}^{4x}+C\end{array}$$

Hvordan kan vi bruke det vi vet om derivasjon av $$ \sin x$$, $$ \cos x$$ og $$ \tan x$$, til å lage regler for beregning av det ubestemte integralet til trigonometriske funksjoner?

Ved å bruke den deriverte til $$ \sin x$$ og $$ \cos x$$ finner vi at $$ \begin{array}{c}\int \cos xdx=\sin x+C\end{array}$$, og at $$ \begin{array}{c}\int \sin xdx=-\cos x+C\end{array}$$.

Vi kan ikke finne en regel for $$ \begin{array}{c}\int \tan xdx\end{array}$$ ved hjelp av denne metoden, så dette vil vi komme tilbake til når vi har lært en metode som kalles integrasjon ved variabelskifte. Vi kan derimot finne at $$ \tan x$$ er resultatet av et annet ubestemt integral:

$$ \begin{array}{rcl}{\left(\tan x\right)}^{\text{'}}& =& \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ \int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx& =& \tan x+C\end{array}$$