Gjennomsnittet av en funksjon ved integrasjon

Uten hjelpemidler:

$$ \begin{array}{rcl}\overline{f} & =& \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\\ & =& \frac{1}{2-0}{\int }_0^2\left(3x+4\right)dx\\ & =& \frac{1}{2}{\left[\frac{3}{2}{x}^2+4x\right]}_0^2\\ & =& \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}·2^2+4·2\right)\\ & =& \frac{1}{2}·14\\ & =& 7\end{array}$$

Med CAS i GeoGebra (der $$ f_m$$ står for gjennomsnittsverdien av $$ f$$):

Siden grafen i a) er ei rett linje, kan vi også beregne gjennomsnittsverdien ved å finne gjennomsnittet av $$ f\left(0\right)$$ og $$ f\left(2\right)$$.

$$ \overline{f}=\frac{f\left(0\right)+f\left(2\right)}{2}=\frac{4+10}{2}=7$$

Vi skriver inn funksjonen $$ g\left(x\right)=1,5x^2+4$$ og bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktene mellom $$ f$$ og $$ g$$. Resultatet viser at $$ g\left(0\right)=f\left(0\right)$$ og $$ g\left(2\right)=f\left(2\right)$$.

Selv om $$ g\left(0\right)=f\left(0\right)$$ og $$ g\left(2\right)=f\left(2\right)$$, vil gjennomsnittsverdien $$ \overline{g}$$ være mindre enn $$ \overline{f}$$ fordi grafen til $$ g$$ ligger under grafen til $$ f$$ i hele intervallet $$ [0,2]$$.

Uten hjelpemidler:

$$ \begin{array}{rcl}\overline{g} & =& \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}g\left(x\right)dx\\ & =& \frac{1}{2-0}{\int }_0^2\left(\frac{3}{2}{x}^2+4\right)dx\\ & =& \frac{1}{2}{\left[\frac{1}{2}{x}^3+4x\right]}_0^2\\ & =& \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}·2^3+4·2\right)-0\\ & =& \frac{1}{2}\left(4+8\right)\\ & =& 6\end{array}$$

Med CAS i GeoGebra:

$$ \begin{array}{rcl}\overline{f }& =& \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\\ & =& \frac{1}{2-\left(-1\right)}{\int }_{-1}^2\left(x^2-2x\right)dx\\ & =& \frac{1}{3}{\left[\frac{1}{3}{x}^3-x^2\right]}_{-1}^2\\ & =& \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}·2^3-2^2-\left(\frac{1}{3}{\left(-1\right)}^3-{\left(-1\right)}^2\right)\right)\\ & =& \frac{1}{3}\left(\frac{8}{3}-4+\frac{1}{3}+1\right)\\ & =& 0\end{array}$$

Når gjennomsnittet blir lik 0, betyr det at det er like mye areal under $$ x$$-aksen som over den i det aktuelle området .

Opplysningen gir oss at

$$ \begin{array}{rcl}\frac{1}{5-\left(-1\right)}{\int }_{-1}^{5}f\left(x\right)dx & =& 3\\ \frac{1}{6}{\int }_{-1}^{5}f\left(x\right)dx & =& 3\\ {\int }_{-1}^{5}f\left(x\right)dx & =& 18\end{array}$$

Fra utgangspunktet $$ \overline{f}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$$ får vi at

$$ {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\overline{f}·\left(b-a\right)$$

Høyresiden kan dermed oppfattes som arealet av rektangelet som er beskrevet i oppgaveteksten. Se også teorisiden. Siden arealet av rektangelet er 4, får vi at

$$ {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=4$$

Bruk CAS og sett opp en likning.

Vi må løse likningen $$ \overline{f}=\frac{1}{b-1}{\int }_1^{b}f\left(x\right)dx=4$$.

Vi får at $$ b=4,32$$ gir en gjennomsnittsverdi på 4.

Her brukte vi funksjonen "NLøs" fordi funksjonen "Løs" ikke klarte å finne løsningen.

Vi må løse likningen

$$ \overline{f}=\frac{1}{b-\left(-3\right)}{\int }_{-3}^{b}f\left(x\right)dx=2$$

Vi må være på vakt og se etter flere løsninger. Derfor tegnet vi først grafen i denne oppgaven. Den første løsningen kommer automatisk når vi skriver inn likningen uten å angi noen verdi for $$ b$$ ($$ b=1$$ kommer automatisk). Hvis vi studerer grafen, ser vi at gjennomsnittsverdien vil fortsette å synke om $$ b$$ blir større enn $$ -1,85$$. Men siden grafen er stigende for positive $$ x$$-verdier, må gjennomsnittsverdien etter hvert øke og passere 2 for en verdi for $$ b$$ som er større enn 0. For å finne denne verdien for $$ b$$ gjentar vi likningen fra linje 2, men prøver oss med en større verdi for $$ b$$, se linje 3. Da får vi $$ b=4,85$$ som løsning.

Flere løsninger kan det ikke være siden funksjonen fortsetter å vokse etter som $$ x$$ øker. Gjennomsnittsverdien er 2 når

$$ b=-1,85 \vee b=4,85$$

Vi tar utgangspunkt i algoritmen i oppgave 3.1.2, der vi bruker venstre endepunktsum i beregningen av integralet.

Funksjonen $$ f\left(x\right)$$ angis fra start i programmet.

Totalt integral må settes lik null fra start.

Programmet skal gi deg mulighet til å angi det antallet rektangler som området skal deles inn i.

Startverdi for $$ x$$ settes lik nedre grense for $$ x$$, som er $$ a$$.

Bredden av hvert rektangel, $$ ∆x$$, beregnes ved å ta den totale bredden på området og dividere på antall rektangler.

Programmet skal først beregne en tilnærmet verdi for integralet. Dette gjøres ved hjelp av ei løkke, der arealet til hvert rektangel beregnes, og dette legges til for hver runde i løkka i en totalsum.

Arealet til hvert rektangel beregnes ved å multiplisere høyden med bredden, det vil si $$ f\left(x_n\right)·∆x_n$$.

For hver gang et areal er beregnet, øker $$ x$$-verdien med $$ ∆x$$, som er bredden av hvert rektangel.

Løkka gjentas så lenge $$ x$$-verdien er mindre enn eller lik $$ x_2$$.

Til slutt skal det totale integralet deles på differansen $$ b-a$$, og resultatet, som blir gjennomsnittstemperaturen, skrives ut.