Gjennomsnittet av en funksjon ved integrasjon
Hva mener vi med gjennomsnittet av en funksjon?
Gjennomsnittet av noen tall finner vi generelt ved å legge sammen alle tallene og dividere på antall tall. Dersom vi har tall
Hva blir så gjennomsnittsverdien til en funksjon
For eksempel kan vi ønske å finne gjennomsnittsverdien til funksjonen
i intervallet
Gjennomsnittet ut ifra 4 funksjonsverdier
Ville vi ha fått en bedre tilnærming for gjennomsnittet dersom vi regnet ut flere funksjonsverdier enn de 4 over og brukt disse i utregningen? Ja, helt klart! Den beste tilnærmingen vil være å bruke uendelig mange funksjonsverdier i intervallet
Intervallet mellom 1 og 4 blir her delt opp i uendelig mange deler. Uttrykket på høyre side likner litt på en riemannsum. Hva er det som mangler i uttrykket for at summen skal være en riemannsum?
Mangel i uttrykket
Det mangler en
der
Hvis vi setter
At
I nest siste linje får vi en riemannsum, og resultatet er at vi kan finne den gjennomsnittlige funksjonsverdien, eller gjennomsnittet av en funksjon, ved å regne ut et integral.
Gjennomsnittet av en funksjon
Gjennomsnittet
Bruk formelen på funksjonen
Gjennomsnittet av funksjonen i eksempelet
Geometrisk tolking av gjennomsnittsverdien f
Start med formelen
Utregning
Venstre side over kan tolkes som arealet av et rektangel med bredde
På figuren har vi tegnet inn begge deler for funksjonen