Oppgaver og aktiviteter

Den deriverte til funksjoner med flere ledd

Øv deg på å derivere uttrykk med flere ledd med og uten hjelpemidler som graftegner, CAS og programmering.

2.4.20

Deriver funksjonsuttrykkene ved hjelp av reglene du har lært.

a) $f (x) = 4 x^{3} - 7 x$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 4 x^{3} - 7 x \\ f^{'} (x) & = & 4 \cdot 3 x^{3 - 1} - 7 \\ f^{'} (x) & = & 12 x^{2} - 7 \end{array}$

b) $g (x) = 3 x^{3} + x - 2$

Løsning

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & 3 x^{3} + x - 2 \\ g^{'} (x) & = & 3 \cdot 3 x^{3 - 1} + 1 \\ g^{'} (x) & = & 9 x^{2} + 1 \end{array}$

c) $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 7$

Løsning

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 7 \\ g^{'} (x) & = & \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x^{2 - 1} - 2 \\ g^{'} (x) & = & x - 2 \end{array}$

d) $g (t) = 2 (2 t^{3} + 3)$

Løsning

$\begin{array}{rcl} g (t) & = & 2 (2 t^{3} + 3) \\ g (t) & = & 2 (2 \cdot 3 t^{3 - 1}) \\ g^{'} (t) & = & 2 (6 t^{2}) \\ g^{'} (t) & = & 12 t^{2} \end{array}$

e) $\begin{array}{rcl} h (x) & = & (2 x + 3) (x + 1) \end{array}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} h (x) & = & (2 x + 3) (x + 1) \\ h (x) & = & 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 3 \cdot x + 3 \cdot 1 \\ h (x) & = & 2 x^{2} + 2 x + 3 x + 3 \\ h (x) & = & 2 x^{2} + 5 x + 3 \\ h^{'} (x) & = & 2 \cdot 2 x^{2 - 1} + 5 \\ h^{'} (x) & = & 4 x + 5 \end{array}$

f) $i (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{4}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} i (x) & = & \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{4} \\ i (x) & = & \frac{1}{3} \cdot x^{3} + \frac{1}{4} \cdot x^{4} \\ i^{'} (x) & = & \frac{1}{3} \cdot 3 x^{3 - 1} + \frac{1}{4} \cdot 4 x^{4 - 1} \\ i^{'} (x) & = & x^{2} + x^{3} \end{array}$

2.4.21

Deriver funksjonsuttrykkene ved hjelp av reglene du har lært. Finn deretter $f^{'} (0)$ og $f^{'} (2)$ .

a) $f (x) = x^{2} - 6$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{2} - 6 \\ f^{'} (x) & = & 2 x \\ f^{'} (0) & = & 2 \cdot 0 = 0 \\ f^{'} (2) & = & 2 \cdot 2 = 4 \end{array}$

b) $f (x) = - 3 x^{3} + 5 x^{2} - 2$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & - 3 x^{3} + 5 x^{2} - 2 \\ f^{'} (x) & = & - 3 \cdot 3 x^{3 - 1} + 5 \cdot 2 x^{2 - 1} \\ f^{'} (x) & = & - 9 x^{2} + 10 x \\ f^{'} (0) & = & 0 \\ f^{'} (2) & = & - 9 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2 \\ f^{'} (2) & = & - 16 \end{array}$

c) $f (x) = 3 x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 3 x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x \\ f^{'} (x) & = & 3 \cdot 3 x^{3 - 1} - \frac{1}{2} \cdot 2 x^{2 - 1} + 5 \\ f^{'} (x) & = & 9 x^{2} - x + 5 \\ f^{'} (0) & = & 9 \cdot 0^{2} - 0 + 5 \\ f^{'} (0) & = & 5 \\ f^{'} (2) & = & 9 \cdot 2^{2} - 2 + 5 \\ f^{'} (2) & = & 39 \end{array}$

d) $f (x) = \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x)$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x) \\ f^{'} (x) & = & \frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 2 x - \frac{1}{2}) \\ f^{'} (x) & = & \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x - \frac{1}{2}) \\ f^{'} (x) & = & \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \\ f^{'} (0) & = & \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} \\ f^{'} (0) & = & - \frac{1}{4} \\ f^{'} (2) & = & \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{4} \\ f^{'} (2) & = & \frac{1}{4} \end{array}$

2.4.22

Vi tester ut derivasjon med ulike hjelpemidler. Prøv først uten hjelpemidler, deretter med digital graftegner og CAS, og til slutt med programmering.

a) Uten hjelpemidler: Deriver funksjonen $f (x) = 4 x^{2} + 5 x$ , og finn $f^{'} (0) og f^{'} (1)$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 4 x^{2} + 5 x \\ f^{'} (x) & = & 4 \cdot 2 x^{2 - 1} + 5 \\ f^{'} (x) & = & 8 x + 5 \\ f^{'} (0) & = & 8 \cdot 0 + 5 = 5 \\ f^{'} (1) & = & 8 \cdot 1 + 5 = 13 \end{array}$

b) Deriver funksjonen, og finn stigningen i punktene på grafen til $f$ der $x = 0$ og $x = 1$ ved hjelp av CAS.

Løsning

Vi bruker CAS til å løse oppgaven:

CAS-utregning i GeoGebra. På linje 1 står det f av x kolon er lik 4 x i andre pluss 5 x. Svaret er det samme. På linje 2 står det f av x. Under dette står det Derivert kolon 8 x pluss 5. På linje 3 står det f derivert av 0. Svaret er 5. På linje 4 står det f derivert av 1. Svaret er 13. Skjermutklipp.

c) Bruk digital graftegner til å finne den momentane vekstfarten til funksjonen når $x = 0$ og $x = 1$ .

Løsning

Vi skriver inn funksjonsuttrykket. Vi bruker kommandoen Tangent(<x-verdi>,<Funksjon>) og tegner tangenter som berører grafen i punktene $x = 0$ og $x = 1$ . Vi bruker Stigning(<Linje>) og finner stigningen på tangentene. I punktet $x = 0$ er stigningen 5, og i punktet $x = 1$ er stigningen 13.

Grafen til funksjonen 4 x i andre pluss 5 x er tegnet for x-verdier mellom minus en halv til 4 komma 5. Grafen har en tangent i punktet der x er lik 0, og den har stigning lik 5. Grafen har også en tangent i punktet der x er lik 1, og den har stigning lik 13. Illustrasjon.

d) Programmeringsoppgave: Skriv algoritmen til et program som gir deg $f^{'} (0) og f^{'} (1)$ til funksjonen $f (x) = 4 x^{2} + 5 x$ .

Løsning

Programmet definerer funksjonen.
Programmet definerer den deriverte funksjonen.
Programmet setter $x$ -verdiene 0 og 1 inn i funksjonen og inn i den deriverte til funksjonen og skriver ut funksjonsverdiene og funksjonsverdiene til den deriverte.

e) Skriv koden til algoritmen i d) som gir deg $f^{'} (0) og f^{'} (1)$ til funksjonen $f (x) = 4 x^{2} + 5 x$ .

Løsningsforslag

Funksjonsverdier til den deriverte av f(x)

1print("Dette programmet gir deg funksjonsverdien og \nfunksjonsverdien til den deriverte til en gitt funksjon.")
2#\n deler opp setningen min
3
4def funksjonsverdi(x):      #definerer funksjonen
5    return  4*x**2+5*x  
6
7def derivert(x):            #definerer den deriverte av funksjonen
8    return 8*x+5    
9    
10print("f(x) = 4x² + 5x")
11print("f'(x) = 8x + 5")
12
13print("f(0) = ", funksjonsverdi(0))    #skriver ut funsjonsverdi når x er 0
14print("f(1) = ", funksjonsverdi(1))    #skriver ut funsjonsverdi når x er 1
15
16print("f'(0) = ", derivert(0))         #skriver ut den deriverte når x er 0
17print("f'(1) = ", derivert(1))         #skriver ut den deriverte når x er 1

f) Hvis funksjonsuttrykket $f (x) = 4 x^{2} + 5 x$ viser antall bakterier i en liten bakteriekultur og $x$ er antall minutter etter midnatt, hva viser da $f^{'} (0) og f^{'} (1) ?$

Løsning

$f^{'} (0) = 5$ forteller oss at ved midnatt vokste bakteriekulturen med 5 bakterier i minuttet, mens $f^{'} (1) = 13$ forteller oss at kl. 01.00 om natten vokste bakteriekulturen med 13 bakterier i minuttet.

2.4.23

Løs oppgavene ved regning uten hjelpemidler.

a) Finn $f^{'} (1)$ når $\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2 x^{4} - x^{2} + π \end{array}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2 x^{4} - x^{2} + π \\ f^{'} (x) & = & 2 \cdot 4 x^{4 - 1} - 2 x^{2 - 1} \\ f^{'} (x) & = & 8 x^{3} - 2 x \\ f^{'} (1) & = & 8 \cdot {(1)}^{3} - 2 \cdot 1 = 6 \end{array}$

b) Finn $f^{'} (0, 5)$ når $\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2 a + 3 x^{2} \end{array}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2 a + 3 x^{2} \\ f^{'} (x) & = & 0 + 3 \cdot 2 x^{2 - 1} \\ f^{'} (x) & = & 6 x \\ f^{'} (0, 5) & = & 6 \cdot 0, 5 = 3 \end{array}$

c) Finn $f^{'} (0)$ når $f (x) = 3 x^{2} - b^{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 3 x^{2} - b^{2} \\ f^{'} (x) & = & 3 \cdot 2 x^{2 - 1} - 0 \\ f^{'} (x) & = & 6 x \\ f^{'} (0) & = & 6 \cdot 0 = 0 \end{array}$

d) Finn $f^{'} (- 1, 5)$ når $f (t) = 2 x + 3 t^{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (t) & = & 2 x + 3 t^{2} \\ f^{'} (t) & = & 0 + 3 \cdot 2 t \\ f^{'} (t) & = & 6 t \\ f^{'} (- 1, 5) & = & 6 \cdot (- 1, 5) \\ f^{'} (- 1, 5) & = & - 9 \end{array}$

2.4.24

Deriver uttrykkene under uten hjelpemidler.

a) $f (x) = 3 x^{2} - z^{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 3 x^{2} - z^{2} f (x) viser at vi skal \\ derivere med hensyn på x . \\ f^{'} (x) & = & 3 \cdot 2 x \\ f^{'} (x) & = & 6 \end{array}$

b) $f (t) = 2 x^{3} - 4 t^{2} + t$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (t) & = & 2 x^{3} - 4 t^{2} + t f (t) viser at vi skal \\ derivere med hensyn på t . \\ f^{'} (t) & = & 0 - 4 \cdot 2 t + 1 \\ f^{'} (t) & = & - 8 t + 1 \end{array}$

c) $g (x) = x^{3} - 2 z^{2} + x + π$

Løsning

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & x^{3} - 2 z^{2} + x + π \\ g^{'} (x) & = & 3 x^{2} - 0 + 1 + 0 \\ g^{'} (x) & = & 3 x^{2} + 1 \end{array}$

d) $\begin{array}{rcl} g (z) & = & x^{3} - 2 z^{2} + x + π \end{array}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} g (z) & = & x^{3} - 2 z^{2} + x + π \\ g^{'} (z) & = & 0 - 2 \cdot 2 z + 0 + 0 \\ g^{'} (z) & = & - 4 z \end{array}$

2.4.25

Vi har uttrykket $x^{2} + 2 z - 2 x z$ .

a) Deriver uttrykket med hensyn på $x$ .

Løsning

$2 x + 0 - 2 z = 2 x - 2 z$

b) Deriver uttrykket med hensyn på $z$ .

Løsning

$0 + 2 - 2 x = 2 - 2 x$

c) Deriver uttrykket med hensyn på $t$ .

Løsning

$0 + 0 - 0 = 0$

2.4.26

Vi har uttrykket $3 x^{4} - 7 x y^{2} + 2 x z - \frac{1}{3} z^{3}$ .

a) Deriver uttrykket med hensyn på $x$ .

Løsning

$3 \cdot 4 x^{4 - 1} - 7 y^{2} + 2 z - 0 = 12 x^{3} - 7 y^{2} + 2 z$

b) Deriver uttrykket med hensyn på $y$ .

Løsning

$0 - 7 x \cdot 2 y + 0 - 0 = 14 x y$

c) Deriver uttrykket med hensyn på $z$ .

Løsning

$0 - 0 + 2 x - \frac{1}{3} \cdot 3 z^{3 - 1} = 2 x - z^{2}$

d) Deriver uttrykket med hensyn på $t$ .

Løsning

$0 - 0 + 0 - 0 = 0$

CC BY-SASkrevet av Viveca Thindberg.

Sist faglig oppdatert 18.01.2023

Den deriverte til funksjoner med flere ledd

2.4.20

2.4.21

2.4.22

Funksjonsverdier til den deriverte av f(x)

2.4.23

2.4.24

2.4.25

2.4.26

Regler for bruk