Likningen for tangenten til en graf i et punkt

En funksjon $f$ er gitt ved

$f\left(x\right)=3x^3-2x^2-1$

Hva er stigningen i punktet $$ x=1$$?

Vi finner likningen for tangenten til grafen når $x=1$.

Vi vet at tangenten må gå gjennom punktet $\left(1, f\left(1\right)\right)$. Derfor finner vi først $f\left(1\right)$:

$\begin{array}{rcl}f\left(1\right)& = & 3·1^3-2·1^2-1\\ & & \\ & =& 3-2-1=0\end{array}$

Vi vet at stigningstallet til tangenten er lik den deriverte i tangeringspunktet. Tangeringspunktet er der $$ x=1$$. Vi finner derfor $f^{\text{'}}\left(x\right)$ først:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=9x^2-4x$

Så vil vi finne tangenten når $x=1$. Vi regner ut $f^{\text{'}}\left(1\right)$:

$f^{\text{'}}\left(1\right)=9·1^2-4·1=9-4=5$

Nå vet vi at tangenten går gjennom punktet $\left(1, 0\right)$ og har stigningstall $5$. Vi kan da bruke ettpunktsformelen og finne likningen for tangenten:

$\begin{array}{rcl}y-y_1& = & a\left(x-x_1\right)\\ & & \\ y-0& =& 5\left(x-1\right)\\ & & \\ y& =& 5x-5\end{array}$

Utforsking

Vis at du kan komme fram til denne løsningen uten å bruke ettpunktsformelen.