Den deriverte til logaritmefunksjonen

Den deriverte til logaritmefunksjonen er en potensfunksjon:

$$ f\left(x\right)=\ln x\begin{array}{ccc}& \begin{array}{ccc}& \Rightarrow & \end{array}& \end{array}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{x}=x^{-1}$$

Bevis

Definisjonen på den naturlige logaritmen sier at ethvert positivt tall $x$ kan skrives som $e$ opphøyd i logaritmen til $x$. Det gir at

$x=e^{\ln x}$

Når to funksjoner er like, er også deres deriverte funksjoner like. Vi deriverer venstre og høyre side av likningen over hver for seg:

Venstre side: $x\text{'}=1$

Vi bruker kjerneregelen

$$ $ f\left(x\right)=g\left(u\right(x\left)\right)\begin{array}{ccc}& & \end{array}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=g^{\text{'}}\left(u\right)·u^{\text{'}}\left(x\right)$$$

til å derivere høyre side:

$$ {\left(e^{\ln x}\right)}^{\text{'}}={\left(e^u\right)}^{\text{'}}·u^{\text{'}}=e^u·u^{\text{'}}=e^{\ln x}·{\left(\ln x\right)}^{\text{'}}=x·{\left(\ln x\right)}^{\text{'}}$$

Da er

$$ \begin{array}{rcc}x·{\left(\ln x\right)}^{\text{'}}& = & 1\\ & \Downarrow & \\ (\ln x{)}^{\text{'}}& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Eksempel 1

$$ \begin{array}{l}\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& 2\ln x\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& 2·\frac{1}{x}\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{2}{x}\end{array}\end{array}$$

Eksempel 2

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & 2\ln \left(x^2+2\right)\\ & & \\ g\left(u\right)& =& 2\ln u u=x^2+2\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(u\right)& =& 2·\frac{1}{u} u^{\text{'}}\left(x\right)=2x\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& g^{\text{'}}\left(u\right)·u^{\text{'}}\left(x\right)\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& 2·\frac{1}{x^2+2}·2x\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{4x}{x^2+2}\end{array}$$