Kjerneregelen

Mange funksjoner er mer kompliserte enn dem vi har studert til nå, men ved nærmere ettersyn viser det seg ofte at de er satt sammen av enklere funksjoner. For eksempel kan funksjonen $f$ gitt ved $f\left(x\right)={\left(x^3+2\right)}^4$ oppfattes som en sammensatt funksjon. Først skal en gitt $x$-verdi opphøyes i tredje potens og adderes til tallet 2. Vi kaller denne funksjonen for $u$ og sier at $u\left(x\right)=x^3+2$ er kjernefunksjonen.

Da er for eksempel

$$ u\left(1\right)=1^3+2=3$$

Neste steg er at det resultatet som $u$ gir, skal opphøyes i fjerde potens. Vi oppfatter også dette som en egen funksjon, og vi kaller denne funksjonen for $g$. Merk at denne funksjonen ikke er en funksjon av $x$, den er en funksjon av $u$, og vi får at $g\left(u\right)=u^4$.

Da er

$$ g\left(3\right)=3^4=81$$

Den opprinnelige funksjonen $f$ er da gitt ved $f\left(x\right)=g\left(u\left(x\right)\right)$ og

$f\left(1\right)=g\left(u\right(1\left)\right)=g(1^2+2)=g\left(3\right)=3^4=81$

Poenget er at både $u$ gitt ved $u\left(x\right)=x^3+2$ og $g$ gitt ved $g\left(u\right)=u^4$ er funksjoner som vi kan derivere:

$\begin{array}{rcl}{u}^{\text{'}}\left(x\right)& = & 3x^2\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(u\right)& =& 4u^3\end{array}$

Funksjonen $u$ er derivert med hensyn på $x$, og funksjonen $g$ er derivert med hensyn på $u$.

Det kan bevises at kjerneregelen gjelder for derivasjon av sammensatte funksjoner:

$f\left(x\right)=g\left(u\right(x\left)\right)\begin{array}{ccc}& & \end{array}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=g^{\text{'}}\left(u\right)·u^{\text{'}}\left(x\right)$

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & {\left(x^3+2\right)}^4 \\ & & \\ g\left(u\right)& =& u^4 u\left(x\right)=x^3+2\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(u\right)& =& 4u^3 u^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& g^{\text{'}}\left(u\right)·u^{\text{'}}\left(x\right)\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& 4{\left(x^3+2\right)}^3·\left(3x^2\right)\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& 12x^2{\left(x^3+2\right)}^3\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & \sqrt{x-1}\\ & & \\ g\left(u\right)& =& \sqrt{u}, u\left(x\right)=x-1\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(u\right)& =& \frac{1}{2\sqrt{u}}, u^{\text{'}}\left(x\right)=1\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& g^{\text{'}}\left(u\right)·u^{\text{'}}\left(x\right)\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{1}{2\sqrt{x-1}}·1\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{1}{2\sqrt{x-1}}\end{array}$$