Hopp til innhold
Fagartikkel

Deriverbarhet

Er det slik at alle funksjoner er deriverbare i alle punkter? La oss først se på en funksjon som ikke er kontinuerlig.

Deriverbarhet

Hva betyr det at en funksjon er deriverbar? Vi minner om at den deriverte er stigningstallet til tangenten til et punkt på grafen til en funksjon. Hvis det ikke går an å tegne en entydig tangent i et punkt på grafen, vil derfor ikke funksjonen være deriverbar i dette punktet.

Spørsmålet om deriverbarhet er spesielt aktuelt for funksjoner med delt funksjonsforskrift. Er funksjonen deriverbar i det punktet der funksjonsuttrykket endres? Vi vil bruke eksemplene nedenfor til å komme fram til reglene for deriverbarhet.

Eksempel 1. Diskontinuerlig funksjon

I et av eksemplene på sida "Funksjoner med delt forskrift" (se lenke under relatert innhold) viser vi at funksjonen

fx={-14x2-1 ,  x<22x-8        ,  x2

ikke er kontinuerlig for x=2. Vi kan også si at funksjonen er diskontinuerlig for x=2.

Grafisk betraktning

På bildet har vi tegnet grafen til funksjonen f. Er funksjonen deriverbar for  x=2? Da må vi i tilfelle kunne tegne en tangent i punktet 2,f2, som blir i punktet 2,-4, endepunktet på den høyre delen av grafen.

Kan vi tegne en tangent i et endepunkt? Det kan vi egentlig ikke, for tangentlinja kan "snurre rundt" endepunktet. En tangent har derfor ikke mening i et endepunkt. Da kan vi heller ikke bestemme noe stigningstall til den, og den deriverte kan ikke eksistere i dette punktet. Konklusjonen må bli at funksjonen f ikke er deriverbar for  x=2  fordi funksjonen ikke er kontinuerlig.

Vi undersøker problemet ved regning

Hvis en funksjon f skal være deriverbar for  x=a, må grenseverdien nedenfor eksistere.

limΔx0fa+Δx-faΔx

Fra læren om grenseverdier har vi at siden nevneren går mot null, må også telleren gå mot null for at denne grenseverdien skal eksistere. Vi må altså ha at

limx0fa+x-fa = 0limx0fa+x-limx0fa = 0limx0fa+x-fa = 0limx0fa+x = fa

Hvilken grenseverdisetning har vi brukt i overgangen mellom den første og den andre linja?

Løsning

Her har vi brukt grenseverdisetningen som sier at vi kan dele opp grenseverdien til en sum (eller differanse) i grenseverdien til hvert av leddene.

Hvorfor kan vi bare fjerne den andre grenseverdien i linje 2 og erstatte den med fa?

Løsning

Uttrykket vi skal finne grenseverdien til, fa, inneholder ikke x, som er den variabelen vi skal teste på. fa er uavhengig av x.

Å la  x0  er det samme som at det som står inne i parentesen til venstre for likhetstegnet på nederste linje, skal nærme seg a. Det betyr at vi i stedet for å skrive  limx0fa+x  kan skrive  limxafx. Vi får derfor til slutt

limxafx=fa

Dette er videre det samme som kreves for at en funksjon skal være kontinuerlig, se siden "Kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner" under relatert innhold. Et nødvendig krav for at en funksjon skal være deriverbar i et punkt, er altså at funksjonen er kontinuerlig i punktet. Derfor vil ikke eksempelfunksjonen vår være deriverbar for  x=2.

Det første kravet for deriverbarhet

Det er nødvendig at en funksjon er kontinuerlig for x=a for at den skal være deriverbar for x=a.

En annen måte å si dette på er:

Hvis en funksjon f(x) ikke er kontinuerlig for x=a, er den heller ikke deriverbar (det kontrapositive utsagnet).

Eksempel 2. Knekkpunkt

I et annet av eksemplene på siden "Funksjoner med delt forskrift" viser vi at funksjonen

fx={14x2-4 ,     x<412x-2 ,      x4

er kontinuerlig for x=4.

Vi kan se at grafen har et knekkpunkt for x=4.

Er det alltid slik at en funksjon er deriverbar hvis den er kontinuerlig?

Grafisk betraktning

Hvis vi tenker oss at vi prøver å tegne en tangent i knekkpunktet på grafen på bildet, får vi problemer med å bestemme tangenten entydig fordi tangenten kan vippe rundt knekken. Da får vi den samme situasjonen som i det forrige eksempelet, nemlig at vi ikke kan finne noe stigningstall, og den deriverte kan derfor ikke eksistere i punktet.

Funksjonen er kontinuerlig, men ikke deriverbar i knekkpunktet.

Vi undersøker problemet ved regning

Det at tangenten vipper rundt knekkpunktet, må bety at den deriverte nærmer seg én verdi når  x4+  og en annen verdi når  x4-. Det er det samme som å si at grenseverdien til den deriverte ikke eksisterer for denne x-verdien. Dersom den deriverte nærmer seg den samme verdien fra begge kanter, vil ikke tangenten vippe, vi har ikke et knekkpunkt, og det kan ha mening å snakke om den deriverte for denne verdien.

For at f'x skal eksistere i punktet  x=4, må vi derfor ha at

limx4+f'x=limx4-f'x

Før vi vet om funksjonen er deriverbar i punktet  x=4 , kan vi bare si noe om den deriverte i alle andre punkter. Vi får da

f'x={12x   ,       x<412     ,       x>4

Hvis f'x skal eksistere for x=4, må vi som nevnt få den samme grenseverdien for f'x når x nærmer seg tallet 4 fra begge sider.

Vi får at

limx4-f'x=limx4-12x=12·4=2

og

limx4+f'x=limx4+12=12

Dette viser at funksjonen ikke er deriverbar for x=4 selv om den er kontinuerlig for denne x-verdien.

Det andre kravet for deriverbarhet

Det er nødvendig at limxa+f'x=limxa-f'x  for at en funksjon f skal være deriverbar for  x=a.

En annen måte å si dette på er som følger:

Dersom limxa+f'xlimxa-f'x er funksjonen f ikke deriverbar for x=a.

Hvordan forholder vi oss til disse to kravene om deriverbarhet?

Må vi sjekke begge de nødvendige kravene for deriverbarhet for å finne ut om en funksjon er deriverbar i et punkt?

Forklaring

Svaret på det er ja. Vi så i det andre eksempelet at en funksjon kunne være kontinuerlig, men ikke deriverbar i et punkt. I en av oppgavene vil du komme borti et eksempel på en funksjon der grenseverdien  limxa+f'x=limxa-f'x , men der funksjonen likevel ikke er deriverbar fordi den ikke er kontinuerlig i punktet.

Vi sier at hvert enkelt av de to kravene er nødvendig, men ikke tilstrekkelig, for at en funksjon skal være deriverbar i et punkt. Det betyr at hvis ett av kravene ikke er oppfylt i et bestemt punkt, er ikke funksjonen deriverbar i dette punktet. Det betyr også at grenseverdien

limΔx0fa+Δx-faΔx

ikke eksisterer.

Deriverbare funksjoner er kontinuerlige

Vi har en matematisk sammenheng som sier at

En funksjon er deriverbar en funksjon er kontinuerlig.

Vi har her valgt å alltid sjekke kontinuitet først, for så å sjekke grenseverdiene til den deriverte til funksjonen i området rundt punktet vi undersøker. Sammenhengen over sier oss at vi kan velge å gå den andre veien, det vil si å først undersøke deriverbarhet ved hjelp av definisjonen til den deriverte. Hvis vi kan vise at denne grenseverdien er den samme når Δx går mot 0 ovenfra og nedenfra i punktet x=a, eksisterer grenseverdien for den deriverte.

Definisjonen av den deriverte kjenner vi på formen

f'x=limΔx0fx+Δx-fxΔx

Vi ser igjen på funksjonen over:

fx={14x2-4 ,     x<412x-2 ,      x4

Vi regner ut de to grenseverdiene i punktet  x=4:

limΔx0+f4+Δx-f4Δx = limΔx0+124+Δx-2-12·4-2Δx= limΔx0+2+12Δx-2-2+2Δx = 12

limΔx0-f4+Δx-f4Δx = limΔx0-144+Δx2-4-12·4-2Δx= limΔx0-1416-8Δx+Δx2-4-2+2Δx= limΔx0-4+2Δx+14Δx2-4Δx = limΔx0-2Δx+14Δx2Δx= limΔx0-Δx2+14ΔxΔx= 2

Vi observerer at de to grenseverdiene ikke er like, det vil si at grenseverdien ikke eksisterer, og dermed kan vi konkludere med at funksjonen ikke er deriverbar i punktet  x=4.

Hva er egentlig forskjellen på det vi har gjort her, og det vi gjorde lenger oppe?

Forklaring

Når vi bruker regnereglene for derivasjon på hvert av uttrykkene, har vi allerede forutsatt at den deriverte eksisterer i de punktene vi ser på. Husk at regnereglene er forenklinger av definisjonen til den deriverte! Dermed har viktig informasjon gått tapt på veien, og vi kan risikere å få et falskt positivt resultat.

Legg merke til at vi ut fra konklusjonen ikke kan si om funksjonen er kontinuerlig eller ikke. Dersom vi finner at funksjonen ikke er deriverbar, må vi undersøke videre om funksjonen er kontinuerlig. Hadde vi funnet ut at funksjonen var deriverbar, kunne vi ha konkludert med at funksjonen også var kontinuerlig.


Relatert innhold