Deriverbarhet
Hva betyr det at en funksjon er deriverbar? Vi minner om at den deriverte er stigningstallet til tangenten til et punkt på grafen til en funksjon. Hvis det ikke går an å tegne en entydig tangent i et punkt på grafen, vil derfor ikke funksjonen være deriverbar i dette punktet.
Spørsmålet om deriverbarhet er spesielt aktuelt for funksjoner med delt funksjonsforskrift. Er funksjonen deriverbar i det punktet der funksjonsuttrykket endres? Vi vil bruke eksemplene nedenfor til å komme fram til reglene for deriverbarhet.
I et av eksemplene på sida "Funksjoner med delt forskrift" (se lenke under relatert innhold) viser vi at funksjonen
ikke er kontinuerlig for
Grafisk betraktning
På bildet har vi tegnet grafen til funksjonen
Kan vi tegne en tangent i et endepunkt? Det kan vi egentlig ikke, for tangentlinja kan "snurre rundt" endepunktet. En tangent har derfor ikke mening i et endepunkt. Da kan vi heller ikke bestemme noe stigningstall til den, og den deriverte kan ikke eksistere i dette punktet. Konklusjonen må bli at funksjonen
Vi undersøker problemet ved regning
Hvis en funksjon
Fra læren om grenseverdier har vi at siden nevneren går mot null, må også telleren gå mot null for at denne grenseverdien skal eksistere. Vi må altså ha at
Hvilken grenseverdisetning har vi brukt i overgangen mellom den første og den andre linja?
Hvorfor kan vi bare fjerne den andre grenseverdien i linje 2 og erstatte den med
Å la
Dette er videre det samme som kreves for at en funksjon skal være kontinuerlig, se siden "Kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner" under relatert innhold. Et nødvendig krav for at en funksjon skal være deriverbar i et punkt, er altså at funksjonen er kontinuerlig i punktet. Derfor vil ikke eksempelfunksjonen vår være deriverbar for
Det første kravet for deriverbarhet
Det er nødvendig at en funksjon er kontinuerlig for
En annen måte å si dette på er:
Hvis en funksjon
I et annet av eksemplene på siden "Funksjoner med delt forskrift" viser vi at funksjonen
er kontinuerlig for
Vi kan se at grafen har et knekkpunkt for
Er det alltid slik at en funksjon er deriverbar hvis den er kontinuerlig?
Grafisk betraktning
Hvis vi tenker oss at vi prøver å tegne en tangent i knekkpunktet på grafen på bildet, får vi problemer med å bestemme tangenten entydig fordi tangenten kan vippe rundt knekken. Da får vi den samme situasjonen som i det forrige eksempelet, nemlig at vi ikke kan finne noe stigningstall, og den deriverte kan derfor ikke eksistere i punktet.
Funksjonen er kontinuerlig, men ikke deriverbar i knekkpunktet.
Vi undersøker problemet ved regning
Det at tangenten vipper rundt knekkpunktet, må bety at den deriverte nærmer seg én verdi når
For at
Før vi vet om funksjonen er deriverbar i punktet
Hvis
Vi får at
og
Dette viser at funksjonen ikke er deriverbar for
Det andre kravet for deriverbarhet
Det er nødvendig at
En annen måte å si dette på er som følger:
Dersom
Må vi sjekke begge de nødvendige kravene for deriverbarhet for å finne ut om en funksjon er deriverbar i et punkt?
Vi har en matematisk sammenheng som sier at
En funksjon er deriverbar
Vi har her valgt å alltid sjekke kontinuitet først, for så å sjekke grenseverdiene til den deriverte til funksjonen i området rundt punktet vi undersøker. Sammenhengen over sier oss at vi kan velge å gå den andre veien, det vil si å først undersøke deriverbarhet ved hjelp av definisjonen til den deriverte. Hvis vi kan vise at denne grenseverdien er den samme når
Definisjonen av den deriverte kjenner vi på formen
Vi ser igjen på funksjonen over:
Vi regner ut de to grenseverdiene i punktet
Vi observerer at de to grenseverdiene ikke er like, det vil si at grenseverdien ikke eksisterer, og dermed kan vi konkludere med at funksjonen ikke er deriverbar i punktet
Hva er egentlig forskjellen på det vi har gjort her, og det vi gjorde lenger oppe?
Legg merke til at vi ut fra konklusjonen ikke kan si om funksjonen er kontinuerlig eller ikke. Dersom vi finner at funksjonen ikke er deriverbar, må vi undersøke videre om funksjonen er kontinuerlig. Hadde vi funnet ut at funksjonen var deriverbar, kunne vi ha konkludert med at funksjonen også var kontinuerlig.
Relatert innhold
Her forklarer vi begrepet kontinuitet i forbindelse med funksjoner.