De to grenseverdiene og funksjonsverdien er like, så funksjonen er kontinuerlig for x=1.
Så må vi sjekke om limx→1f'x eksisterer:
f'x=2x,x>12,x<1
limx→1+f'x=limx→1+2x=2·1=2
limx→1-f'x=limx→1-2=2
Grenseverdien f'1 eksisterer siden vi fikk to like resultater og funksjonen er kontinuerlig. Funksjonen er deriverbar for x=1.
Ut fra grafen kan det se ut som funksjonen er deriverbar for x=1 siden det er en jevn overgang uten knekk der. Vi kan likevel ikke fastslå ut ifra grafen at det ikke er et knekkpunkt. Øynene kan lure oss, for det kan være en liten knekk der som vi ikke ser. Vi må derfor alltid sjekke grenseverdiene for den deriverte.
f) Undersøk om funksjonen f er deriverbar for x=1. Tegn grafen.
fx=x2,x≥12x-2,x<1
Løsning
Vi sjekker først om funksjonen er kontinuerlig i punktet.
De to grenseverdiene er ikke like, så funksjonen er ikke kontinuerlig for x=1. Funksjonen er derfor heller ikke deriverbar for x=1.
Vi observerer at grafen ikke er kontinuerlig for x=1.
g) Kunne du ha svart på oppgave f) uten å regne, men ved å sammenlikne med funksjonen i oppgave e)?
Løsning
Hvis vi sammenlikner funksjonen i e) med funksjonen i f), er den eneste forskjellen at det andre funksjonsuttrykket i e) er 2x-1 mens det i f) er 2x-2. Det betyr at grafen som hører til funksjonsuttrykket i f) blir forskjøvet én enhet nedover i forhold til grafen til funksjonsuttrykket i e). Siden funksjonen i e) var kontinuerlig for x=1, kan derfor ikke funksjonen i f) være det. Konklusjonen blir at funksjonen i f) ikke kan være deriverbar for x=1.
2.4.92
Funksjonen f er gitt ved
fx=2x+b,x>ax2+2,x≤a
Hvilke verdier kan a og b ha for at funksjonen skal være deriverbar for x=a?
Løsning
Vi bruker de to kravene for deriverbarhet. Kravet om kontinuitet for x=a gir
limx→a-fx=limx→a+fx=fa
Den første likningen gir
limx→a-x2+2=limx→a+2x+ba2+2=2a+b
Vi regner så ut at fa=a2+2. Dette er det samme som den ene grenseverdien og gir derfor ikke noen nye løsninger (eller begrensninger).
Så må vi bruke kravet om at limx→af'x skal eksistere:
f'x=2,x>a2x,x<a
limx→a+f'x=limx→a-f'xlimx→a+2=limx→a-2x2=2aa=1
Vi setter dette inn i likningen over og får
a2+2=2a+b12+2=2·1+b3=2+bb=1
Tegn til slutt funksjonen med a=1∧b=1. Ser det ut som funksjonen er deriverbar for a=1?