Øv deg på å finne likningen til tangenten til en graf i et punkt.
2.4.80
Funksjonen er gitt ved fx=2x3-2x2+2.
a) Finn f'x.
Løsning
fx=2x3-2x2+2f'x=6x2-4x
b) Finn ved regning likningen for tangenten i (1,f1).
Løsning
Vi finner først y-verdien til punktet der tangenten skal treffe funksjonen:
f1=2·13-2·12+2=2-2+2=2
Stigningstallet til tangenten er det samme som den deriverte i dette punktet. Stigningstallet i (1,f1) er
f'1=6·12-4·1=2
Nå vet vi at tangenten går gjennom punktet (1,2) og har stigningstallet 2. Vi kan da bruke ettpunktsformelen for å finne likningen for tangenten.
y-y1=a(x-x1)y-2=2(x-1)y=2x
c) Tegn grafen til f og tangenten i et koordinatsystem, og finn den deriverte til f i punktet (1,2) grafisk.
Løsning
Vi bruker GeoGebra: Vi tegner grafen f. Så skriver vi (1,f(1)) inn i algebrafeltet og får et punkt. Vi bruker kommandoen "Tangent (<x-verdi>,<Funksjon>)" og får tangenten til f i punktet. Vi bruker kommandoen "Stigning (<Linje>)" og leser av a=2. Den deriverte til f i punktet (1,2) er 2.
2.4.81
Funksjonen f er gitt ved fx=x2-2x-2.
a) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen i punktene 0,-2,1,-3og2,-2.
Løsning
Vi deriverer f og finner vekstfarten i punktene.
f'x=2x-2f'0=2·0-2=-2f'1=2·1-2=0f'2=2·2-2=2
b) Finn likningen for tangentene i de tre punktene.
Løsning
Vi bruker ettpunktsformelen og finner tangentene.
Tangentlikningen i punktet (0,-2) blir
y--2=-2x-0y=-2x-2
Tangentlikningen i punktet (1, -3) blir
y--3=0x-1y=-3
Tangentlikningen i punktet (2, -2) blir
y--2=2x-2y=2x-6
c) Tegn grafen til f og de tre tangentene i det samme koordinatsystemet.
Løsning
Vi bruker GeoGebra og tegner grafen til f. Så skriver vi koordinatene til punktene inn algebrafeltet og får punktene på grafen. Vi bruker kommandoen "Tangent (<x-verdi>,<Funksjon>)" og får tangenten til f i punktene.
d) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den momentane vekstfarten og hvordan grafen endrer seg?
Løsning
Når vekstfarten er negativ, vil grafen synke. Ved vekstfart lik 0 vil grafen verken stige eller synke. I vårt tilfelle vil det si bunnpunktet. Når vekstfarten er positiv, er grafen voksende.