Likningen for tangenten til en graf i et punkt

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 2x^3-2x^2+2\\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& 6x^2-4x\end{array}$$

Vi finner først $$ y$$-verdien til punktet der tangenten skal treffe funksjonen:

$$ $ \begin{array}{rcl}f\left(1\right)& =& 2·1^3-2·1^2+2\\ & =& 2-2+2\\ & =& 2\\ & & \end{array}$$$

Stigningstallet til tangenten er det samme som den deriverte i dette punktet. Stigningstallet i $$ (1, f\left(1\right))$$ er

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(1\right) & =& 6·1^2-4·1\\ & =& 2\end{array}$$

Nå vet vi at tangenten går gjennom punktet $$ (1, 2)$$ og har stigningstallet 2. Vi kan da bruke ettpunktsformelen for å finne likningen for tangenten.

$$ \begin{array}{rcl}y-y_1 & =& a(x-x_1)\\ y-2 & =& 2(x-1)\\ y & =& 2x\end{array}$$

Vi bruker GeoGebra: Vi tegner grafen $$ f$$. Så skriver vi (1,f(1)) inn i algebrafeltet og får et punkt. Vi bruker kommandoen "Tangent (<x-verdi>,<Funksjon>)" og får tangenten til $$ f$$ i punktet. Vi bruker kommandoen "Stigning (<Linje>)" og leser av  $$ a=2$$. Den deriverte til $$ f$$ i punktet $$ (1, 2)$$ er $$ 2.$$

Vi deriverer $$ f$$ og finner vekstfarten i punktene.

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 2x-2\\ f^{\text{'}}\left(0\right) & =& 2·0-2\\ & =& -2\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(1\right) & =& 2·1-2\\ & =& 0\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(2\right) & =& 2·2-2\\ & =& 2\end{array}$$

Vi bruker ettpunktsformelen og finner tangentene.

Tangentlikningen i punktet $$ (0, -2)$$ blir

$$ \begin{array}{rcl}y-\left(-2\right) & =& -2\left(x-0\right)\\ y & =& -2x-2\end{array}$$

Tangentlikningen i punktet (1, -3) blir

$$ $ \begin{array}{rcl}y-\left(-3\right) & =& 0\left(x-1\right)\\ y & =& -3\end{array}$$$

Tangentlikningen i punktet (2, -2) blir

$$ $ $ \begin{array}{rcl}y-\left(-2\right) & =& 2\left(x-2\right)\\ y & =& 2x-6\end{array}$$$$

Vi bruker GeoGebra og tegner grafen til $$ f$$. Så skriver vi koordinatene til punktene inn algebrafeltet og får punktene på grafen. Vi bruker kommandoen "Tangent (<x-verdi>,<Funksjon>)" og får tangenten til f i punktene.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Når vekstfarten er negativ, vil grafen synke. Ved vekstfart lik 0 vil grafen verken stige eller synke. I vårt tilfelle vil det si bunnpunktet. Når vekstfarten er positiv, er grafen voksende.