Hopp til innhold
Oppgave

Likningen for tangenten til en graf i et punkt

Øv deg på å finne likningen til tangenten til en graf i et punkt.

2.4.80

Funksjonen f er gitt ved  fx=2x3-2x2+2.

a) Finn f'x.

Løsning

fx = 2x3-2x2+2f'x = 6x2-4x

b) Finn ved regning likningen for tangenten i (1, f1).

Løsning

Vi finner først y-verdien til punktet der tangenten skal treffe funksjonen:

f1= 2·13-2·12+2= 2-2+2= 2

Stigningstallet til tangenten er det samme som den deriverte i dette punktet. Stigningstallet i (1, f1) er

f'1 = 6·12-4·1= 2

Nå vet vi at tangenten går gjennom punktet (1, 2) og har stigningstallet 2. Vi kan da bruke ettpunktsformelen for å finne likningen for tangenten.

y-y1 = a(x-x1)y-2 = 2(x-1)y = 2x

c) Tegn grafen til f og tangenten i et koordinatsystem, og finn den deriverte til f i punktet (1, 2) grafisk.

Løsning

Vi bruker GeoGebra: Vi tegner grafen f. Så skriver vi (1,f(1)) inn i algebrafeltet og får et punkt. Vi bruker kommandoen "Tangent (<x-verdi>,<Funksjon>)" og får tangenten til f i punktet. Vi bruker kommandoen "Stigning (<Linje>)" og leser av  a=2. Den deriverte til f i punktet (1, 2) er 2.

2.4.81

Funksjonen f er gitt ved  fx = x2-2x-2.

a) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen i punktene 0,-2, 1,-3 og 2,-2.

Løsning

Vi deriverer f og finner vekstfarten i punktene.

f'x = 2x-2f'0 = 2·0-2= -2f'1 = 2·1-2 = 0f'2 = 2·2-2= 2

b) Finn likningen for tangentene i de tre punktene.

Løsning

Vi bruker ettpunktsformelen og finner tangentene.

Tangentlikningen i punktet (0, -2) blir

y--2 = -2x-0y = -2x-2

Tangentlikningen i punktet (1, -3) blir

y--3 = 0x-1y = -3

Tangentlikningen i punktet (2, -2) blir

y--2 = 2x-2y = 2x-6

c) Tegn grafen til f og de tre tangentene i det samme koordinatsystemet.

Løsning

Vi bruker GeoGebra og tegner grafen til f. Så skriver vi koordinatene til punktene inn algebrafeltet og får punktene på grafen. Vi bruker kommandoen "Tangent (<x-verdi>,<Funksjon>)" og får tangenten til f i punktene.

d) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den momentane vekstfarten og hvordan grafen endrer seg?

Løsning

Når vekstfarten er negativ, vil grafen synke. Ved vekstfart lik 0 vil grafen verken stige eller synke. I vårt tilfelle vil det si bunnpunktet. Når vekstfarten er positiv, er grafen voksende.