Njuike sisdollui
Fágaartihkal

Eksakte trigonometriske verdier

Vi skal nå se hvordan vi ved hjelp av to kjente rettvinklede trekanter kan finne eksakte verdier for sinus, cosinus og tangens til vinkler på 30°, 45° og 60°. Disse verdiene er det en stor fordel å huske.

Startøvelse

Vinklene det er enklest å finne eksakte trigonometriske verdier til, er de vinklene der koordinataksene er vinkelbein. Nedenfor kan du teste dette.

Husker du definisjonene av sinus og cosinus i forhold til enhetssirkelen?

Se enhetssirkelen nedenfor der du kan dra i punktet P. Ut ifra den har vi at

  • cosv=x-koordinaten til punktet P.

  • sinv=y-koordinaten til punktet P.

Eksakte trigonometriske verdier til vinklene 30° og 60°

Du husker kanskje at sin30°=12? Vi skal nå finne flere slike eksakte trigonometriske verdier uten hjelp av GeoGebra eller kalkulator.

Vi starter med en trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°.

Bruk kjente egenskaper til trekanter og forklar hvorfor den korteste kateten i trekanten over er halvparten så lang som hypotenusen.

Tips

Legg til en speilvendt kopi av trekanten slik figuren nedenfor viser.

Forklaring

I boksen "Tips til oppgaven" har vi tegnet inn med stiplede linjer en like stor, speilvendt trekant. Se figuren nedenfor.

Hele figuren blir en likesidet trekant fordi alle vinklene blir 60°. Sidene er det samme som hypotenusen i den opprinnelige trekanten. Grenselinja mellom de to trekantene deler den loddrette sida i to like deler siden de to trekantene er speilbilder av hverandre. Hver del er det samme som den korteste kateten i den opprinnelige trekanten. Derfor er den korteste kateten halvparten av hypotenusen i en trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°.

Forklar hvordan du kan bruke trekanten der vinklene er 30°, 60° og 90° til å finne at

sin30°=cos60°=12

Tips

Bruk definisjonene av sinus og cosinus ut ifra en rettvinklet trekant. Kall lengden av den korteste kateten for x.

Forklaring

Vi setter den korteste kateten lik x. Da blir hypotenusen 2x. Sett fra vinkelen på 30° får vi at

sin30°=motstående katethypotenus=x2x=12

Sett fra vinkelen på 60° får vi at

cos60°=hosliggende katethypotenus=x2x=12

Finn sin60° og cos30° på tilsvarende måte.

Tips

Regn ut lengden av den lengste kateten først.

Resultat

Vi bruker pytagorassetningen til å regne ut lengden av den lengste kateten. Vi setter som før den korteste kateten lik x, som gir at hypotenusen blir 2x. Den lengste kateten blir

2x2-x2=3x2=3x

Da får vi

sin60°=motstående katethypotenus=3x2x=32=123
cos30°=hosliggende katethypotenus=3x2x=32=123

Finn tan30° og tan60° på tilsvarende måte.

Resultat

tan30°= motstående katethosliggende katet=x3x=13= 1·332=133tan60°= motstående katethosliggende katet=3xx=3

Eksakte trigonometriske verdier til vinkelen 45°

Gjennomfør tilsvarende utregninger i en trekant med vinklene 45°, 45° og 90° for å finne sin45°, cos45° og tan45°.

Tips

Start med å sette katetene lik x. Tegn trekanten.

Resultat

De to katetene er like lange, og vi setter dem lik x. Så bruker vi pytagorassetningen til å regne ut hypotenusen, som blir

x2+x2=2x2=2x

Da får vi

sin45°= motstående katethypotenus=x2x=12=122= cos45°

tan45°=motstående katethosliggende katet=xx=1

Oppsummering

Gjør ferdig oversikten nedenfor.

Video om eksakte verdier til vinkler på 30 og 60 grader

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om eksakte trigonometriske verdier til vinkel på 45 grader

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0