Eksakte trigonometriske verdier
Startøvelse
Vinklene det er enklest å finne eksakte trigonometriske verdier til, er de vinklene der koordinataksene er vinkelbein. Nedenfor kan du teste dette.
Husker du definisjonene av sinus og cosinus i forhold til enhetssirkelen?
Se enhetssirkelen nedenfor der du kan dra i punktet . Ut ifra den har vi at
-koordinaten til punktetcos v = x .P -koordinaten til punktetsin v = y .P
Eksakte trigonometriske verdier til vinklene 30° og 60°
Du husker kanskje at
Vi starter med en trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°.
Bruk kjente egenskaper til trekanter og forklar hvorfor den korteste kateten i trekanten over er halvparten så lang som hypotenusen.
Tips
Legg til en speilvendt kopi av trekanten slik figuren nedenfor viser.
Forklaring
I boksen "Tips til oppgaven" har vi tegnet inn med stiplede linjer en like stor, speilvendt trekant. Se figuren nedenfor.
Hele figuren blir en likesidet trekant fordi alle vinklene blir 60°. Sidene er det samme som hypotenusen i den opprinnelige trekanten. Grenselinja mellom de to trekantene deler den loddrette sida i to like deler siden de to trekantene er speilbilder av hverandre. Hver del er det samme som den korteste kateten i den opprinnelige trekanten. Derfor er den korteste kateten halvparten av hypotenusen i en trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°.
Forklar hvordan du kan bruke trekanten der vinklene er 30°, 60° og 90° til å finne at
Tips
Bruk definisjonene av sinus og cosinus ut ifra en rettvinklet trekant. Kall lengden av den korteste kateten for
Forklaring
Vi setter den korteste kateten lik
Sett fra vinkelen på 60° får vi at
Finn
Tips
Regn ut lengden av den lengste kateten først.
Resultat
Vi bruker pytagorassetningen til å regne ut lengden av den lengste kateten. Vi setter som før den korteste kateten lik
Da får vi
Finn
Resultat
Eksakte trigonometriske verdier til vinkelen 45°
Gjennomfør tilsvarende utregninger i en trekant med vinklene 45°, 45° og 90° for å finne
Tips
Start med å sette katetene lik
Resultat
De to katetene er like lange, og vi setter dem lik
Da får vi
Oppsummering
Gjør ferdig oversikten nedenfor.