Vi skal nå se hvordan vi ved hjelp av to kjente rettvinklede trekanter kan finne eksakte verdier for sinus, cosinus og tangens til vinkler på 30°, 45° og 60°. Disse verdiene er det en stor fordel å huske.
Startøvelse
Vinklene det er enklest å finne eksakte trigonometriske verdier til, er de vinklene der koordinataksene er vinkelbein. Nedenfor kan du teste dette.
Husker du definisjonene av sinus og cosinus i forhold til enhetssirkelen?
Se enhetssirkelen nedenfor der du kan dra i punktet . Ut ifra den har vi at
cosv=x-koordinaten til punktet P.
sinv=y-koordinaten til punktet P.
Eksakte trigonometriske verdier til vinklene 30° og 60°
Du husker kanskje at sin30°=12? Vi skal nå finne flere slike eksakte trigonometriske verdier uten hjelp av GeoGebra eller kalkulator.
Vi starter med en trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°.
Bruk kjente egenskaper til trekanter og forklar hvorfor den korteste kateten i trekanten over er halvparten så lang som hypotenusen.
Tips
Legg til en speilvendt kopi av trekanten slik figuren nedenfor viser.
Forklaring
I boksen "Tips til oppgaven" har vi tegnet inn med stiplede linjer en like stor, speilvendt trekant. Se figuren nedenfor.
Hele figuren blir en likesidet trekant fordi alle vinklene blir 60°. Sidene er det samme som hypotenusen i den opprinnelige trekanten. Grenselinja mellom de to trekantene deler den loddrette sida i to like deler siden de to trekantene er speilbilder av hverandre. Hver del er det samme som den korteste kateten i den opprinnelige trekanten. Derfor er den korteste kateten halvparten av hypotenusen i en trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°.
Forklar hvordan du kan bruke trekanten der vinklene er 30°, 60° og 90° til å finne at
sin30°=cos60°=12
Tips
Bruk definisjonene av sinus og cosinus ut ifra en rettvinklet trekant. Kall lengden av den korteste kateten for x.
Forklaring
Vi setter den korteste kateten lik x. Da blir hypotenusen 2x. Sett fra vinkelen på 30° får vi at
sin30°=motståendekatethypotenus=x2x=12
Sett fra vinkelen på 60° får vi at
cos60°=hosliggendekatethypotenus=x2x=12
Finn sin60° og cos30° på tilsvarende måte.
Tips
Regn ut lengden av den lengste kateten først.
Resultat
Vi bruker pytagorassetningen til å regne ut lengden av den lengste kateten. Vi setter som før den korteste kateten lik x, som gir at hypotenusen blir 2x. Den lengste kateten blir