Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens
Definisjon av sinus, cosinus og tangens til en vinkel mellom 0° og 90°
I matematikk 1T starter vi med å definere sinus, cosinus og tangens til en vinkel i en rettvinklet trekant ved hjelp av forholdet mellom de ulike sidene i trekanten.
Husker du hva vi kaller de ulike sidene i trekanten nedenfor sett fra hjørnet
Husker du hvordan vi definerte sinus, cosinus og tangens til vinkel
Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens til en vinkel
Enhetssirkelen
I 1T definerer vi også de trigonometriske funksjonene ved hjelp av enhetssirkelen. Dette gjør at det for eksempel blir mulig å finne sinus til vinkler som er større enn 90 grader.
Figuren viser en sirkel med radius 1 og som er plassert med sentrum i origo i et koordinatsystem. En slik sirkel kaller vi enhetssirkelen. Et punkt
Tenk over
Bruk figuren og definisjonene til sinus og cosinus til en vinkel i en rettvinklet trekant til å forklare hvorfor
sin v = b cos v = a tan v = sin v cos v , cos v ≠ 0
Forklaring
Vi ser på den rettvinklede trekanten der hjørnene består av origo, punktet
På samme måte får vi at den hosliggende kateten til vinkel
Til slutt får vi at
Merk at vi i definisjonen for
Vi definerer sinus og cosinus til vinkel
-koordinaten til punktetcos v = x P -koordinaten til punktetsin v = y P tan v = sin v cos v
Punktet
Kvadranter
I det videre arbeidet med vinkler i koordinatsystemet vil det være nyttig å dele koordinatsystemet i fire kvadranter. Se figuren.
Nummereringen følger den positive rotasjonsretningen i enhetssirkelen, som er mot klokka.
Vi plasserer en vinkel med toppunkt i origo og ett vinkelbein langs den positive
Tenk over
I hvilken kvadrant ligger vinkel
Svar
Vinkel
I hvilken kvadrant ligger en vinkel på 200°?
Svar
Den andre kvadranten slutter på 180°, så vinkelen må ligge i tredje kvadrant. (Tredje kvadrant slutter på 270°.)
Utforsking av enhetssirkelen
Prøv selv
Dra i glidebryteren for å endre på vinkelen 𝑣 i det interaktive GeoGebra-arket nedenfor. Observer sammenhengen mellom vinkelen
Fiillat
Aktiviteter til den interaktive enhetssirkelen
Bruk den interaktive enhetssirkelen når du svarer på spørsmålene.
Kan sin 𝑣 og cos 𝑣 ha negative verdier? For hvilke vinkler er funksjonene positive og negative?
Forklaring
Når punktet
Hvis vi drar glidebryteren over hele området, får vi at sin 𝑣 er større enn eller lik null fra 0 grader til 180 grader.
Vi får videre at cos 𝑣 er større enn null når vinkelen 𝑣 er mellom 0 og 90 grader og mellom 270 grader og 360 grader.
Matematisk:
Bruk det interaktive GeoGebra-arket til å finne
Resultat
Kan du finne to vinkler som har sinusverdi lik 0,5?
Resultat
Ved å dra i glidebryteren får vi at
Vi observerer at når vinkelen øker fra 0 grader til 90 grader, øker verdien for sin 𝑣 fra 0 til 1. Når vinkelen øker videre fra 90 grader til 180 grader, avtar verdien for sin 𝑣 fra 1 til 0. Det må bety at det finnes to vinkler som har samme sinusverdi i dette området, én vinkel mellom 0 grader og 90 grader og én vinkel mellom 90 og 180 grader.
I en av oppgavene skal du utforske mer om slike sammenhenger.
Hva tror du skjer med sinus, cosinus og tangens hvis
Forklaring
Når
Hvorfor kaller vi sirkelen vi har brukt på denne siden, enhetssirkelen, tror du?
Svar
Sirkelen kalles enhetssirkelen fordi den har radius lik 1.