Njuike sisdollui
Fágaartihkal

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens

Vi ønsker å kunne beregne for eksempel sinus til en vinkel uansett hvilken verdi denne vinkelen har. Det får vi til ved å definere sinus til en vinkel ved hjelp av enhetssirkelen.

Definisjon av sinus, cosinus og tangens til en vinkel mellom 0° og 90°

I matematikk 1T starter vi med å definere sinus, cosinus og tangens til en vinkel v i en rettvinklet trekant ved hjelp av forholdet mellom de ulike sidene i trekanten.

Husker du hva vi kaller de ulike sidene i trekanten nedenfor sett fra hjørnet B? Dra de tre navnene på rett plass i trekanten ABC.

Husker du hvordan vi definerte sinus, cosinus og tangens til vinkel v i en rettvinklet trekant? Dra rett uttrykk til rett sted i figuren nedenfor. Noen av uttrykkene brukes ikke og skal dras til feltet "Brukes ikke".

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens til en vinkel

Enhetssirkelen

I 1T definerer vi også de trigonometriske funksjonene ved hjelp av enhetssirkelen. Dette gjør at det for eksempel blir mulig å finne sinus til vinkler som er større enn 90 grader.

Figuren viser en sirkel med radius 1 og som er plassert med sentrum i origo i et koordinatsystem. En slik sirkel kaller vi enhetssirkelen. Et punkt P ligger på sirkelen. Vi kaller koordinatene til punktet for a,b, og vinkelen mellom linjestykket mellom origo og P og x-aksen kaller vi v.

Tenk over

Bruk figuren og definisjonene til sinus og cosinus til en vinkel i en rettvinklet trekant til å forklare hvorfor

  • sinv=b 

  • cosv=a

  • tanv=sinvcosv ,    cosv0

Forklaring

sinv:
Vi ser på den rettvinklede trekanten der hjørnene består av origo, punktet P og det røde punktet på x-aksen. Av figuren får vi at motstående katet til vinkel v er linjestykket mellom det røde punktet og P. Linjestykket har lengden b, som er y-koordinaten til P. Vi får

sinv=motstående katethypotenus=b1=b

cosv:
På samme måte får vi at den hosliggende kateten til vinkel v er linjestykket mellom origo og det røde punktet. Dette linjestykket har lengden a, som er x-koordinaten til P. Vi får

cosv=hosliggende katethypotenus=a1=a

tanv:
Til slutt får vi at

tanv=motstående katethosliggende katet=ba=sinvcosv

Merk at vi i definisjonen for tanv må kreve at cosv0.

Vi definerer sinus og cosinus til vinkel v slik:

  • cosv=x-koordinaten til punktet P

  • sinv=y-koordinaten til punktet P

  • tanv=sinvcosv

Punktet P ligger på enhetssirkelen. Med denne definisjonen er det ikke noe problem at vinkel v blir større enn 90°.

Kvadranter

I det videre arbeidet med vinkler i koordinatsystemet vil det være nyttig å dele koordinatsystemet i fire kvadranter. Se figuren.

Nummereringen følger den positive rotasjonsretningen i enhetssirkelen, som er mot klokka.

Vi plasserer en vinkel med toppunkt i origo og ett vinkelbein langs den positive x-aksen slik som i figurene over. Hvis det andre vinkelbeinet ligger i andre kvadrant, sier vi at vinkelen ligger i andre kvadrant. For eksempel vil vinkler mellom 90° og 180° ligge i andre kvadrant.

Tenk over

I hvilken kvadrant ligger vinkel v fra definisjonen over?

Svar

Vinkel v ligger i andre kvadrant.

I hvilken kvadrant ligger en vinkel på 200°?

Svar

Den andre kvadranten slutter på 180°, så vinkelen må ligge i tredje kvadrant. (Tredje kvadrant slutter på 270°.)

Utforsking av enhetssirkelen

Prøv selv

Dra i glidebryteren for å endre på vinkelen 𝑣 i det interaktive GeoGebra-arket nedenfor. Observer sammenhengen mellom vinkelen v og sinus- og cosinusverdien til vinkelen.

Aktiviteter til den interaktive enhetssirkelen

Bruk den interaktive enhetssirkelen når du svarer på spørsmålene.

Kan sin 𝑣 og cos 𝑣 ha negative verdier? For hvilke vinkler er funksjonene positive og negative?

Forklaring

Når punktet P kommer utenfor første kvadrant, blir minst en av de trigonometriske funksjonene negativ.

Hvis vi drar glidebryteren over hele området, får vi at sin 𝑣 er større enn eller lik null fra 0 grader til 180 grader. sinv er mindre enn null i intervallet fra 180 grader til 360 grader.

Vi får videre at cos 𝑣 er større enn null når vinkelen 𝑣 er mellom 0 og 90 grader og mellom 270 grader og 360 grader. cosv mindre enn null når vinkelen er mellom 90 grader og 270 grader.

Matematisk:

sinv>0  når  0°<v<180° (1. og 2. kvadrant)

sinv<0  når  180°<v<360° (3. og 4. kvadrant)

cosv>0  når  0°<v<90°    270°<v<360° (1. kvadrant og 4. kvadrant)

cosv<0  når  90°<v<270° (2. og 3. kvadrant)

Bruk det interaktive GeoGebra-arket til å finne cos120°, sin120° og tan120°.

Resultat

cos 120° = – 0,5sin120° = 0,866tan120° = 0,866-0,5=-1,732

Kan du finne to vinkler som har sinusverdi lik 0,5?

Resultat

Ved å dra i glidebryteren får vi at

sin30°=sin150°=0,5

Vi observerer at når vinkelen øker fra 0 grader til 90 grader, øker verdien for sin 𝑣 fra 0 til 1. Når vinkelen øker videre fra 90 grader til 180 grader, avtar verdien for sin 𝑣 fra 1 til 0. Det må bety at det finnes to vinkler som har samme sinusverdi i dette området, én vinkel mellom 0 grader og 90 grader og én vinkel mellom 90 og 180 grader.

I en av oppgavene skal du utforske mer om slike sammenhenger.

Hva tror du skjer med sinus, cosinus og tangens hvis v=360°?

Forklaring

Når v=360°, har vi den samme situasjonen som når v=0°. Det må bety at

cos360°= cos0°=1sin360°= sin0°=0tan360°= tan0°=01=0

Hvorfor kaller vi sirkelen vi har brukt på denne siden, enhetssirkelen, tror du?

Svar

Sirkelen kalles enhetssirkelen fordi den har radius lik 1.

Film om enhetssirkelen

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0