Vi ønsker å kunne beregne for eksempel sinus til en vinkel uansett hvilken verdi denne vinkelen har. Det får vi til ved å definere sinus til en vinkel ved hjelp av enhetssirkelen.
Definisjon av sinus, cosinus og tangens til en vinkel mellom 0° og 90°
I matematikk 1T starter vi med å definere sinus, cosinus og tangens til en vinkel i en rettvinklet trekant ved hjelp av forholdet mellom de ulike sidene i trekanten.
Husker du hva vi kaller de ulike sidene i trekanten nedenfor sett fra hjørnet B? Dra de tre navnene på rett plass i trekanten ABC.
Husker du hvordan vi definerte sinus, cosinus og tangens til vinkel v i en rettvinklet trekant? Dra rett uttrykk til rett sted i figuren nedenfor. Noen av uttrykkene brukes ikke og skal dras til feltet "Brukes ikke".
Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens til en vinkel
Enhetssirkelen
I 1T definerer vi også de trigonometriske funksjonene ved hjelp av enhetssirkelen. Dette gjør at det for eksempel blir mulig å finne sinus til vinkler som er større enn 90 grader.
Figuren viser en sirkel med radius 1 og som er plassert med sentrum i origo i et koordinatsystem. En slik sirkel kaller vi enhetssirkelen. Et punkt P ligger på sirkelen. Vi kaller koordinatene til punktet for a,b, og vinkelen mellom linjestykket mellom origo og P og x-aksen kaller vi v.
Tenk over
Bruk figuren og definisjonene til sinus og cosinus til en vinkel i en rettvinklet trekant til å forklare hvorfor
sinv=b
cosv=a
tanv=sinvcosv,cosv≠0
Forklaring
sinv: Vi ser på den rettvinklede trekanten der hjørnene består av origo, punktet P og det røde punktet på x-aksen. Av figuren får vi at motstående katet til vinkel v er linjestykket mellom det røde punktet og P. Linjestykket har lengden b, som er y-koordinaten til P. Vi får
sinv=motståendekatethypotenus=b1=b
cosv: På samme måte får vi at den hosliggende kateten til vinkel v er linjestykket mellom origo og det røde punktet. Dette linjestykket har lengden a, som er x-koordinaten til P. Vi får
cosv=hosliggendekatethypotenus=a1=a
tanv: Til slutt får vi at
tanv=motståendekatethosliggendekatet=ba=sinvcosv
Merk at vi i definisjonen for tanv må kreve at cosv≠0.
Vi definerer sinus og cosinus til vinkel v slik:
cosv=x-koordinaten til punktet P
sinv=y-koordinaten til punktet P
tanv=sinvcosv
Punktet P ligger på enhetssirkelen. Med denne definisjonen er det ikke noe problem at vinkel v blir større enn 90°.
Kvadranter
I det videre arbeidet med vinkler i koordinatsystemet vil det være nyttig å dele koordinatsystemet i fire kvadranter. Se figuren.
Nummereringen følger den positive rotasjonsretningen i enhetssirkelen, som er mot klokka.
Vi plasserer en vinkel med toppunkt i origo og ett vinkelbein langs den positive x-aksen slik som i figurene over. Hvis det andre vinkelbeinet ligger i andre kvadrant, sier vi at vinkelen ligger i andre kvadrant. For eksempel vil vinkler mellom 90° og 180° ligge i andre kvadrant.
Tenk over
I hvilken kvadrant ligger vinkel v fra definisjonen over?
Svar
Vinkel v ligger i andre kvadrant.
I hvilken kvadrant ligger en vinkel på 200°?
Svar
Den andre kvadranten slutter på 180°, så vinkelen må ligge i tredje kvadrant. (Tredje kvadrant slutter på 270°.)
Utforsking av enhetssirkelen
Prøv selv
Dra i glidebryteren for å endre på vinkelen 𝑣 i det interaktive GeoGebra-arket nedenfor. Observer sammenhengen mellom vinkelen v og sinus- og cosinusverdien til vinkelen.
Bruk den interaktive enhetssirkelen når du svarer på spørsmålene.
Kan sin 𝑣 og cos 𝑣 ha negative verdier? For hvilke vinkler er funksjonene positive og negative?
Forklaring
Når punktet P kommer utenfor første kvadrant, blir minst en av de trigonometriske funksjonene negativ.
Hvis vi drar glidebryteren over hele området, får vi at sin 𝑣 er større enn eller lik null fra 0 grader til 180 grader. sinv er mindre enn null i intervallet fra 180 grader til 360 grader.
Vi får videre at cos 𝑣 er større enn null når vinkelen 𝑣 er mellom 0 og 90 grader og mellom 270 grader og 360 grader. cosv mindre enn null når vinkelen er mellom 90 grader og 270 grader.
Matematisk:
sinv>0når0°<v<180° (1. og 2. kvadrant)
sinv<0når180°<v<360° (3. og 4. kvadrant)
cosv>0når0°<v<90°∧270°<v<360° (1. kvadrant og 4. kvadrant)
cosv<0når90°<v<270° (2. og 3. kvadrant)
Bruk det interaktive GeoGebra-arket til å finne cos120°, sin120° og tan120°.
Resultat
cos 120°=– 0,5sin120°=0,866tan120°=0,866-0,5=-1,732
Kan du finne to vinkler som har sinusverdi lik 0,5?
Resultat
Ved å dra i glidebryteren får vi at
sin30°=sin150°=0,5
Vi observerer at når vinkelen øker fra 0 grader til 90 grader, øker verdien for sin 𝑣 fra 0 til 1. Når vinkelen øker videre fra 90 grader til 180 grader, avtar verdien for sin 𝑣 fra 1 til 0. Det må bety at det finnes to vinkler som har samme sinusverdi i dette området, én vinkel mellom 0 grader og 90 grader og én vinkel mellom 90 og 180 grader.
I en av oppgavene skal du utforske mer om slike sammenhenger.
Hva tror du skjer med sinus, cosinus og tangens hvis v=360°?
Forklaring
Når v=360°, har vi den samme situasjonen som når v=0°. Det må bety at
cos360°=cos0°=1sin360°=sin0°=0tan360°=tan0°=01=0
Hvorfor kaller vi sirkelen vi har brukt på denne siden, enhetssirkelen, tror du?
Svar
Sirkelen kalles enhetssirkelen fordi den har radius lik 1.